高数A下总复习

1、1. 设区域 ，则 = 。2设是单位球面的外侧，则曲面积分：=（ ）。CA B. C D. 3 对于二元函数 ，极限为（ ）。 BA不存在 B. 0 C1 D. 无穷大4改变积分次序后 =（ ）。AA B C D 5.计算 ，其中是球面 被平面 所截得的圆周。解：由对称性知道所以 6. 应用格林公式计算曲线积分：，其中是以为顶点的三角形，方向取正向。解：三条线段的方程为： 而 ，从而其中三角形区域（如图），分成两部分。7. 计算二重积分，其中是由直线 围成的三角形区域。解：设 型区域：，分成：从而 8. 应用幂级数性质求 。解：令 ，由于 即收敛区域为：，由逐项微分之性质， ，由逐项积分之性质

2、，所以，从而，因此，9.对于二元函数 ，极限为（ ）。AA不存在 B. 0 C1 D. 无穷大10. 改变积分次序后 =（ ）。C A B C D 11. 计算第一型曲线积分：，其中是以为顶点的三角形。12.应用格林公式计算曲线积分：，为由到经过圆上半部的路线。13. 求级数 的收敛域及和函数，并求 。级数的收敛域为 级数的和函数为 幂级数中取得数项级数 14 设 是由方程所确定的隐函数，其中具有连续的偏导数，且，则 。1 15改变积分次序后 =（ ）。CA. , B. C. , D. 16. 若级数收敛，则级数 _ D A. 一定绝对收敛； B. 一定条件收敛； C. 一定发散； D. 可能

3、收敛也可能发散17. 求二重积分，其中D为三直线 所围成的平面区域 18. 利用格林公式计算曲线积分，其中曲线L为的上半圆左端点A（-1，0）到右端点B（1，0）的有向弧线段。解：补充由格林公式得, 所以 19. 求幂级数的收敛域与和函数。20. 向量在向量 上的投影为 21. 函数在点处沿从点到点的方向导数为 ，最大方向导数为：_22. 求幂级数的收敛域。23. 计算曲面积分：，其中是锥面 与平面所围空间区域的表面，方向取外侧。24. 设，证明：在原点处连续，且偏导数存在，但不可微分。证明：令，从而因此在原点处连续。因此在原点偏导数存在。考虑极限 因此，极限不存在，从而在原点不可微。25.

4、求级数 的和函数，并求 的和。收敛区域为。26. 设方程组确定隐函数，求第二学期模拟题目（说明：本题目只是为了帮学生再一次梳理知识作用）1函数 （ A ）。 （A）处处连续 （B）处处有极限，但不连续 （C）仅在（0，0）点连续 （D）除（0，0）点外处处连续同类题目1：函数在点处连续是它在该点偏导数存在的：(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件。同类题目2：在点处可微的充分条件是（ ）（A）的所有二阶偏导数连续 （B）连续 （C）的所有一阶偏导数连续 （D）连续且对的偏导数都存在。同类题目3：函数在点具有偏导数，则它在点有极值的（

5、）为。A、必要条件； B、充分条件； C、充要条件； D、既非充分又非必要条件同类题目4：函数在点存在 ，则有（ ）。 A、函数在点有定义；B、函数在点存在极限C、函数在点连续； D、函数在点可微。同类题目5：是级数收敛的 （ ）A、必要条件； B、充分条件； C、充要条件；D、既非充分又非必要条件同类题目6：是级数发散的 。A、 必要条件； B、充分条件； C、充要条件； D、既非充分又非必要。同类题目7：若级数和都发散，则（ ）A、必发散； B、发散；C、必发散； D、以上说法都不对。同类题目8：若函数在区域内具有二阶偏导数则（ ）A、必有= B、在内连续C、在内可微 D、A、B、C结论都

6、不对同类题目9：下列级数中条件收敛的是（ ）A、 B、C、 D、同类题目10：若，则在点处函数是（ ）A、连续； B、不连续； C、可微； D、都不定。同类题目11：设函数在点不连续，则在点处 （ ）A、偏导数一定不存在 B、全微分一定不存在C、至少有一个方向的方向导数不存在 D、以上说法都不对2.设为平面在第一卦限的部分，则（B ） （A） （B） （C） （D）3若，则（A） （B）（C） （D）同类题目1：设，其中存在二阶连续偏导数，求。答案：2分 8分4.设C为正向圆周，则 答案：1/2 a4同类题目1：设L是圆周：的正向，则（ ）（A） （B）0 （C） （D）。答案：D5.设函数由

7、方程所确定，则 6设在内连续，为使它在区间上的傅里叶展开式具有形式，须将作何种延拓？ 偶延拓 ， 同类题目1：周期为的函数的傅里叶级数中， 。同类题目2：周期函数的傅里叶展开式中，系数（ ）。A、； B、；C、 ； D、同类题目3：若在上满足狄里赫条件，则=。 答案：同类题目4：设是以为周期的周期函数，在上的表达式为，则在处的傅里叶级数收敛于 。7.设，由二重积分的几何意义知8.设是连续函数，改变二次积分的积分次序。答案：同类题目1：设为连续函数，交换下列积分的积分次序，并写出该积分在极坐标系中先积r后积的二次积分。解：同类题目2：设f(x,y)为连续函数，交换二次积分 的积分次序。答案：原式

8、= 同类题目3：积分换序 :将下积分化为先对X后对Y的积分 答案： 同类题目4：设f(x,y)是连续函数，交换二次积分的积分次序后的结果为 答案：C同类题目5：更换积分次序：答案如下：9. 计算曲线积分。式中由极坐标方程所表示的曲线上从到的一段。答案：解：积分与路径无关，选择沿坐标轴由点(2,0)到(0,1)原积分同类题目1：计算积分 式中L是从点O(0，0)沿曲线y=sinx到点A(，0)的弧段。10. 计算，其中为球面的外侧。答案：解：由高斯公式，原积分同类题目1： 设空间区域由曲面和平面所围，为的表面外侧，求：解：原积分同类题目2：计算其中是z=1x2y2在xoy面上方的部分曲面的上侧。

9、答案如下：解：补一平面块1：z=0,x2+y21，取下侧，和1围成立体，由高斯公式同类题目3：计算。其中为锥面介于到之间部分的下侧，为在点处的法向量的方向余弦。答案如下：添加曲面的上侧，在曲面上用高斯公式得：所以。11. 求函数在（1，1）点沿方向的方向导数。同类题目1：函数在点（1，2，1）处沿哪个方向的方向导数值最大，并求此最大方向导数的值。答案如下：解：(4分)设则，其中为与的夹角。所以当与同向时，=取最大值。 (10分)同类题目2：求函数u=在点（1，1，4）处沿曲线在该点切线方向的方向导数。答案：在点处对应的t0= 1，切线方向1,2t,9t²t=1=1,2,9cos= c

10、os= cos= 同类题目3：设则在点处方向导数的最大值为 （A ）A、 B、 C、 D、以上都不对同类题目4：设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量，则在点P沿方向的方向导数为（ ）（A）0 （B） （C） （D）2 12. 求幂级数的收敛区间及和函数。答案如下：同类题目1：试求幂函数的收敛域及和函数。解：收敛x=1与x=-1时数项级数一般项不趋于0，故皆发散，收敛区间为(-1,1)。设和函数S(x)= 同类题目2：求幂级数的收敛区间与和函数答案如下：，收敛区间为同类题目3：求级数在其收敛域中的和函数。答案如下：=5分令，8分，则=12分13. 设都是具有二阶连续偏导数的二元函数，且

11、使曲线积分与都与积分路径无关。试证：对于函数，恒有。答案如下：同类题目1：验证(sin y-y sin x+x)dx+(cos x+x cos y+y)dy是某函数u(x,y)的全微分，并求出该函数u(x,y).14. 设是由及所围的有界闭区域。试计算。答案如下：15. 周期为2的函数，设它在一个周期上的表达式为，将展成傅立叶级数。答案如下：16. 设，求 答案：2x17. 设幂级数的收敛域为（4，2），则幂级数的收敛区间为 。答案：（0，6）18. 在圆的部分上找点P，使其到点M(2,1)的距离为最小。答案如下：解：设所求点 最小，条件极值由拉格朗日乘数法设：解出：19. 证明不存在。提示：

12、取y=kx即可验证。20. 计算二重积分，其中D：答案如下：同类题目1：，其中是由和所围成。答案：4分8分同类题目2：设，则。同类题目3：计算。答案：Y X =5分=10分21. 求幂级数的收敛域。当x=1时，是绝对收敛还是条件收敛？并给出证明。答案如下：解：收敛半径R1当x=1时令 ，当 时， 单调减 当 又 故为莱布尼兹级数收敛，从而原级数收敛。 一般项加绝对值后，当时， ，故 发散。 故原级数条件收敛。当x= -1时即由上面讨论知发散。收敛域(-1,122. 求正数，使曲面与椭球面在某点有相同的切平面，并写出切点的坐标。答案如下：解：设在点处相切则即由此及，故相应点是22. 设由确定则=

13、23. 曲线积分，其中是圆心在原点，半径为的圆周，则积分面积是（ C ）A、； B、； C、； D、。24. 曲面2在点(2,-2,2)处的切平面方程为 答案：25. 将坐标面上的曲线饶轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 。26. 直线与平面的位置关系是（ ）A、直线与平面平行； B、直线与平面垂直；C、直线在平面上； D、直线与平面只有一个交点，但不垂直。27. 设，其中存在二阶连续偏导数，求答案：2分6分28. 计算球面与旋转锥面之间包含轴的部分的体积。简要答案：由,因此。29. 证明是某个函数的全微分，并求出。答案如下：因为所以是某个函数的全微分。并且。30. 已知，则当 时，向量。1、数

14、项级数敛散性判断；利用比较法证明数项级数收敛。2、求数项级数的和；求幂级数的收敛域与和函数。1、数项级数敛散性判断；利用比较法证明数项级数收敛。数项级数敛散性判断:（1）必要性，（2）正项级数的判别法：比较(通常与等比级数或P-级数作比较),方法一：直接比，放大或缩小不等式；方法二:比较判别法的极限形式)，比值，根值比较 (3) 交错级数的审敛法，绝对收敛与条件收敛例1：（1）（09-2-A， 一（5）若级数收敛，则级数 _ A. 一定绝对收敛； B. 一定条件收敛； C. 一定发散； D. 可能收敛也可能发散（如例：）（2） 08年一（2）若级数在处收敛，在发散，则该幂级数（ ） A必在处发散； B必在处收敛 C必在处发散； D.其收敛区间为 （3） 08年一（5）级数=（ ） (10:)A发散 B条件收敛 C绝对收敛 D以上结论都不对（4） 06年试题：一（5）级数 收敛，则=（ ） （答案 -2）例2：级数A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 收敛性与a有关 例3：下列正确的是（ ）A B C D（例4：判断级数的敛散性，如收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛（1）；（2）；（3）（4）例4 （1）条件；（2）绝对；（3）绝对；（4）绝对例5 ：书P225, 1, 8，9（必须作）2求数项级数的和；求幂级数的收敛域与和函数。幂级数的收敛半径与