巧用因式分解解题

1、- 1 - 巧用因式分解解题因式分解是数学中一种重要的恒等变形，它的应用十分广泛，变化灵活多样，几乎涉及到数学的各个领域。本文略举数例加以说明。一、 用于计算、求值。例 1 计算 1012992. 解：原式 =（101+99） （10199）=200 2=400。例 2 已知 a+b=3,ab=2,求 a3b+2a2b2+ab3的值。解：当 a+b=3,ab=2 时原式 =ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=2 32=18。二、 用于解决整除问题。例3设ab是一个两位数（ab） ,则(ab)2（ba）2必能被 99 整除。解：因为ab=10a+b, ba=10b+a 所以 (ab)2

2、（ba）2 =(10a+b)2(10b+a)2=(10a+b)+ (10b+a) (10a+b) (10b+a)=99(a+b)(ab)。由于 a+b,ab 是整数，故 (ab)2（ba）2必能被 99 整除。三、 用于确定多项式的某些特征。例4试说明四个连续整数的积加上1，是一个奇数的平方。解：设这四个连续的整数分别为n,n+1,n+2,n+3,则n（n+1） （n+2） （n+3）+1=n（n+3） （n+1） （n+2） +1 =(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2（ n2+3n)+1 =(n2+3n+1)2。由于 n2+3n+1= n2+n+2n+1=n(n+1)

3、+(2n+1), 而 n(n+1)是连续两个整数的积，必是偶数；又 2n+1 是奇数，所以n2+3n+1 是奇数。故四个连续整数的积加上1，是一个奇数的平方。四、用于确定多项式的系数。例 5当 m 为何整数时，二次三项式x2+mx+2 能分解成两个一次因式的积。解：因为 2=21=（ 2） (1), - 2 - 所以当 x2+mx+2=(x+1)(x+2) 时，可得 m=3；当 x2+mx+2=(x 1)(x 2)时，可得 m= 3。因此，当 m=3， 3 时，二次三项式x2+mx+2 能分解成两个一次因式的积。五、用于求方程的整数解。例 6求方程 x2 y2=29 的整数解。解：原方程可化为

4、（x+y） （xy）=29,而 29=291=(29) (1),又 x+y,x y 都是整数，故得当 x+y=29 时,xy=1 此时 x=15,y=14 ； 当 x+y= 29 时,xy=1, 此时 x=15,y=14；当 x+y=1 时,xy=29 ,此时 x=15,y= 14；当 x+y=1 时,xy=29, 此时 x=15,y=14。六、用于几何说理例 7已知a、b、c 分别是abc的三边长，且bcbacb22，试说明abc是等腰三角形。解：由bcbacb22，得022bcbacb所以02accb。因 a、b、c 分别是abc的三边长，所以02ac，所以0cb，即cb。所以abc是等腰

5、三角形。巧用“借术”分解因式有一次学生遇到了一道难题，把44a分解因式，讨论未果后，学生拿来问我。我看后笑着对学生说：“ 我先给你们讲 一个阿拉伯民间流传的故事” 。一个老牧民有19 匹马。临终前对他的三个儿子说：“ 我死后，你们要按,老大得一半，老二得四分之一，老三得五分之一?的比例把马分了，但不能把马杀了来分” 。不久，这位老人就见 “ 真主 ” 去了。这三个兄弟想尽了各种办法，总是不能按老人的遗愿把马分了。无奈，他们只好去请问他们聪明的舅舅。舅舅想了一会儿，就把自己的那一匹马拉去，添加到这兄弟的 19 匹马中， 刚好一共20 匹马，然后，再按老人的分马办法来分。于是，很容易的得出：老大得

6、 10 匹，老二得5 匹，老三得4 匹，最后，剩下的一匹马物归原主，由舅舅拉回。- 3 - 这则故事所寓意的道理，反映在数学上就叫“ 借术 ” 。同学们，我们可否用数学上的“ 借术” 思想来分解此因式？有同学马上就能想到“ 借式还式 ” ，立即有人写出解题过程如下：22444444aaaa（借式还式）=2224)2(aa=)22)(22(22aaaa其它同学也都恍然大悟，这样， 学生既聆听了故事，也培养了思维能力，打开了解题的思路，生动有趣地掌握了一种数学解题技巧“ 借术 ” 。类似的例子还有：1、求（ 2+1） （22+1） （42+1） （322+1）的值？解析：学生如用一般方法进行乘积计算，算了半天还怀疑自己有否算错。用“ 借” 与“ 还”的方法，利用平方差借一个（21）来乘 (实际上是乘一个1，并未改变原式的值)，这样马上可算出它的乘积值为6421。2、已知 xy3， yz2，求 x2y2z2xy yz xz 的值？解析：这道题学生一般会考虑采用代入法求，但怎样使式子中出现x-y,y-z,x-z 呢?这时，如果采用 “ 借” 与“ 还” 法，那么就十分简单了，先乘以2(借个 2)，再除以2(还个 2)，原式 （xy）2（ yz）2（ xz）2 2（ 9425） 219