因式分解最全培优题

1、八年级数学培优因式分解知识介绍：多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法本讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍（补充分组分解法和十字相乘法等）一、提公因式法： ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法：在整式的乘法中，学过几个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，（1）(a+b)

2、(a -b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a -b)；(2) (ab)2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2；下面再补充三个常用的公式： (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(5) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；练习： （1）1)2(2)2(22xxxx（2）66yx三、分组分解法：（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式：bnbmanam分析：从“整体”看，这个多项式

3、的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式 =)()(bnbmanam=)()(nmbnma每组之间还有公因式=)(banm例 2、分解因式：bxbyayax5102解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式 =)5()102(bxbyayax原式=)510()2(byaybxax=)5()5(2yxbyxa=)2(5)2(baybax=)2)(5(bayx=)5)(2(yxba练习： （1）b

4、cacaba2（2）1yxxy（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式：ayaxyx22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式 =)()(22ayaxyx=)()(yxayxyx=)(ayxyx例 4、分解因式：2222cbaba解：原式 =222)2(cbaba=22)(cba=)(cbacba练习： （1）yyxx3922（2）yzzyx2222四、十字相乘法：（一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式)()(2qxpxpqxqpx进行分解。特点： （1）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）

5、一次项系数是常数项的两因数的和。例 5、分解因式：652xx分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于 6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中发现只有 23 的分解适合，即 2+3=5。1 2 解：652xx=32) 32(2xx1 3 =)3)(2(xx12+13=5 关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的和要等于一次项的系数。练习： （1）24142xx（2）542xx（3）1522yy（二）二次项系数不为1 的二次三项式cbxax2条件： （1）21aaa1a1c（2）21ccc2a2c（3）1221cacab1221cacab分解结果：cbx

6、ax2=)(2211cxacxa例 6、分解因式：101132xx分析：1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11 解：101132xx=)53)(2(xx练习： （1）6752xx（2）101162yy（三）二次项系数为1 的齐次多项式例 7、分解因式：221288baba分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：221288baba=)16(8)16(82bbabba=)16)(8(baba练习： (1)2223yxyx(2)2286nmnm（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例 8、226

7、72yxyx例 9、2322xyyx1 -2y 把xy看作一个整体1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式 =)32)(2(yxyx解：原式 =)2)(1(xyxy练习： （1）224715yxyx（2）8622axxa五、换元法：例 10、分解因式2005) 12005(200522xx解：设 2005=a，则原式 =axaax) 1(22=)(1(axax=)2005)(12005(xx练习：222222)3(4)5()1(aaa精选练习：（1）qpqpm)(2（2）3223yxyyxx（3）234352xxx（4）22151112yxyx（5）10)(3)(2yxyx（6）226baba（7）344)(2baba（8）3424422yxyxyx（9）2222)(2)(11)(12yxyxyx（10）222416xx总结归纳：因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，学习本讲知识时，应注意以下几点：1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂