第三讲度量空间与连续映射

1、§ 2.1度量空间与连续映射首先回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义函数f ：RR称为在点处是连续的，如果对于任意实数&>0,存在实数S>Q 9使得对于任何xeR ,当x-Xq <5时，有f(x)- f (蜀)为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要 用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的其他性质无关以下, 我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念定义211设X是一个集合，q:XxXtR如果对于任何 x, y , z g X ,有（1）（正定性）p（x,y）0 ,并且p（x,y） = 0当且仅当x= y ；（2）（对称性）p（x,y） = p

2、（y?x）；（3）（三角不等式）Q（x,z）SQ（x,y） + Q（y,z）；则称p是集合X的一个度:如果Q是集合X的一个度量，则称偶对(X,。)是一个度量空 间，或称X是一个对于q而言的度量空间此外，对于任意两点X,yeX,实数(xy)称为从点x到点y的距离.例211实数空间R1对于实数集合R,定义如下：对于任意x, yeR,令p(x,y) = |x-y|溶易验证。是R的一个度量，因此偶对 (R °)是一个度量空间这里定义的度量q称为R的通常度量.M 2.1.2 n维欧氏空间R"对于实数集合R的n重笛卡儿积Rn =RxRx.xR定义z?:RnxRnR如下：对于任意 x=(

3、x1,x2?-,xn)y = (y】，y_，yn)GRn令coo(%y) =刘谷-y1=1卩是朝的一个度量，因此偶对（朝亠）是一个度量空间这个度量空间特别地称为n维欧氏空间.例214离散的度量空间.设（X"）是一个度量空间淋（X,。）是离散的，或者称Q是X的一个离散度量，如果对于每一个XG X ,存在一个实数戈 0 使得Q（x,y）戈对于任何ycX, xHy成立.例如我们假定X是一个集合，定义q:XxXtR使得对于任何x,yeX,有o(&y) =O,如果x= y1,如果xh y易验证Q是X的一个离散的度量，因此度量空间（X, °）是离散的.f定义2丄2设（X, &#

4、176;）是一个度量空间，xeX.对于任意给定 的实数&>0,集合 X|p（x,y）<记作E（£g）,或B,x）,称为一个以x为中心，以£为半径的球形邻域，简称为X的一个球形邻域，有时也称为X的一个8 -邻域.此处的球形邻域是球状的吗？定理211度量空间（X,p）的球形邻域具有以下基本性质:(1)每一点xe X ,至少有一个球形邻域，并且点x属于它的每一个球形邻域;(2)对于点xeX的任意两个球形邻域，存在x的一个球形邻域同时包含于两者;(3)如果yeX属于xeX的某一个球形邻域，则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域.定义2.1.3设A是度量空间X的

5、一个子集.如果A中的每个点都有一个球形邻域包含于A (即对于每一个ae A存在实数& > 0使得E(a, &) u A),则称A是度量空间X中的一个开集.注意：此处的开集仅是度量空间的开集.例2.1.5实数空间R中的开区间都是开集.定理2.1.2度量空间X中的开集具有以下性质:(1)集合X本身和空集0都是开集；(2)任意两个开集的交是一个开集；(3)任意一个开集族(即由开集构成的族)的并是一个开集.证明根据定理2.1.1此外根据定理211 (3)可见每一个球形邻域都是开集.球形邻域与开集有何联系？为了讨论问题的方便我们将球形邻域的概念稍稍作一点推 广.定义214设x是度量

6、空间X中的一个点,U是X的一个子 集.如果存在一个开集V满足条件：xuVuU,则称U是点x 的个邻域.定理213设x是度量空间X中的一个点.则X的子集U是x 的一个邻域的充分必要条件是x有某一个球形邻域包含于U定义2.1.5设X和Y是两个度量空间,f:XY,以及cX 如果对于f (xq)的任何一个球形邻域E( f (观),&),存在笛的某一 个球形邻域B(%5),使得珥3(笛0)<=攻珥笛)间则称映射 在点金处是连续的.如果映射f在X的每一个点xeX处连续，则称f是一个连续映射.下面的这个定理是把度量空间和度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的出发点.定理2.1.4设X和Y是两个度量空间，f :XtY,以及 X.GX则下述条件（1）和（2）分别等价于条件（1） *和（2） * （1） f在点蜀处是连续的；（1）* f （%）的每一个邻域的原像是观的一个邻域；（2）f是连续的；（2） * Y中的每一个开集的原像是X中的一个开集.从这个定理可以看出：度量空间之间的一个映射是否是连续的,或者在某一点处是否是连续的,