正项级数的敛散性判别方法探究

1、正项级数的敛散性判别方法探究摘 要：正项级数是一类重要的级数，对于研究一般项级数及函数项级数的敛散性有十分重要的意义本文主要讨论了判别正项级数敛散性的一些常用方法，并进行了推广，使其适用范围更加广泛，计算更加方便然后，讨论各个判别法之间的联系，判断其强弱性最后，结合典型例题验证本文中判别法的有效性关键词：正项级数；敛散性；判别法1 引言级数的收敛性是用部分和数列的极限来定义的一般来说，部分和不易求得，需要依靠级数敛散性的判别法来进行判定就正项级数而言，从部分和有界这个充要条件出发，推出了比较判别法它需要用已知敛散性的级数作为比较对象若用等比级数作为比较对象，就得到了柯西判别法和达朗贝尔判别法但

2、当极限为1时，这两个判别法失效若要得出结果，需要找出比等比级数收敛的更慢的级数作为比较级数，分别以级数和级数作为比较对象，得到了拉贝判别法和高斯判别法，它们的判别范围要广泛得多此外，可以利用非负函数的单调性及其积分性质，把无穷区间上的广义积分作为比较对象来判别正项级数的敛散性，称为积分判别法与之对应的还有导数判别法2 正项级数的相关概念1定义1 设是可列无穷个实数，我们称它们的“和” 为数项级数(简称级数)，记为，其中称为级数的通项或一般项定义2 如果级数的各项都是非负实数，即，则称此级数为正项级数定义3 取级数的前项之和，记为，则称为级数的部分和，为级数的部分和数列定义4 如果部分和数列收敛

3、于有限数，则称级数收敛，且称它的和为，记为；如果部分和数列发散，则称级数发散3 正项级数收敛性的常用判别法3.1 比较判别法1定理1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界定理2 (比较判别法) 设与是两个正项级数，若存在常数，成立，则(1) 当收敛时，也收敛；(2) 当发散时，也发散推论 (比较判别法的极限形式) 设与是两个正项级数，如果与是同阶无穷小量，即，则(1) 当时，与同时收敛或同时发散；(2) 当且级数收敛时，级数也收敛；(3) 当且级数发散时，级数也发散3.2 柯西判别法与达朗贝尔判别法根据比较原则，可利用已知收敛或发散的级数作为比较对象来判别其他级数的敛散性柯西判别法

4、与达朗贝尔判别法是以等比级数作为比较对象而得到的3.2.1柯西判别法及其推广2定理3 设是正项级数，则当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散 推论1 (广义柯西判别法1) 设为正项级数，如果()，则当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散 证 因为，即对任意正数，存在正整数，当时，有 (1)对于任意常数，总存在，当时，有 (2)取，当时，式(1)和式(2)同时成立(1) 当时，取足够小，使由上述讨论，存在，当时，有，正项级数收敛，由比较判别法，级数收敛(2) 当时，取足够小，使由上述讨论，存在，当时，有，正项级数发散，由比较判别法，级数发散(3) 当时

5、，取，那么对任意和常数，有而级数发散，级数收敛故不能确定级数收敛或发散推论2 (广义柯西判别法2) 设为正项级数，如果(其中且)，则当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散 证 因为，即对任意正数，存在正整数，当时，有当时，取足够小，使由上述讨论，存在，当时，有因为，又正项级数收敛，由比较判别法知，级数收敛当时，取足够小，使由上述讨论，存在，当时，有，那么，所以级数发散当时，取，那么， 而级数发散，级数收敛故不能确定级数收敛或发散例1 讨论下列级数的敛散性(1)； (2)解 (1) 若采用柯西判别法，需要计算，较为繁琐而由广义柯西判别法1知，该级数收敛(2) 因为，由广义柯

6、西判别法2知原级数收敛3.2.2 达朗贝尔判别法及其推广定理4 设是正项级数，且，则(1) 当时，级数收敛；(2) 当或时，级数发散；(3) 当时，无法判断级数的敛散性推论 (广义的达朗贝尔判别法)设是正项级数，则(1) 当时，级数收敛；(2) 当或时，级数发散证 (1) 当时，对，存在，当时，有即设，则，即，从而其中是任意正整数，可见，对，都有考虑级数的部分和序列即有上界，从而存在，设注意到故，即，所以收敛(2) 如果，则从某项开始，此时，故原级数发散例2 讨论下列级数的敛散性(1)； (2)解 (1) 取，由于，所以原级数收敛(2) 取 ，由于，所以原级数收敛引理3 设与是两个正项级数，若

7、存在自然数，当时，不等式与成立，则(1) 若级数收敛，则级数收敛；(2) 若级数发散，则级数发散证 由已知条件，存在自然数，当时，不等式成立不妨取自然数，并令当时，；当时，则唯一存在一个自然数，使，故若，则；若，则唯一存在一个自然数，使，其中，于是有，且由于，经过有限步，假设第步，必有，于是由定理2即可证明定理5 设是正项级数，如果，那么当时，级数收敛；当时，级数发散4证 (1) 当时，可以选取，使得，根据极限定义，应有正整数，使当时，有与又因为，可选实数，使令，则级数收敛，且由极限的性质，存在，使得当时，有成立取，则当时，根据引理，级数收敛(2) 当时，选取，使得，根据极限定义，应有正整数，

8、使当时，有与令，则级数发散，且，根据引理，级数发散例3 讨论下列级数的敛散性(1)； (2)解 (1) 因为则由定理5可知，级数收敛(2) 因为则由定理5可知，级数收敛3.2.3 柯西判别法与达朗贝尔判别法的关系性质 若，则证 令，则，且，可以推出定理6 设为正项级数，若，则当时，级数收敛；当时，级数发散证 由上述性质可知，可得于是由柯西判别法，便可得证例4 判定下列级数的敛散性(1)； (2)解 (1) 设，则，由于，根据定理6知，原级数收敛(2) 设，则根据定理6，当时，原级数收敛；时，原级数发散3.3 积分判别法和导数判别法定理7 (积分判别法) 对于正项级数，设单调递减，作单调递减的连

9、续减函数，使，则级数与广义积分同时收敛，同时发散定理8 (导数判别法) 设在的某邻域内有定义且，且在处存在，则级数收敛的充分必要条件是：证 不妨设对一切，都有，由在处存在，易知在处连续，且在的某邻域内可导充分性：由，令，则有，又级数收敛，由比较判别法可知级数收敛必要性：设级数收敛，则如果，则，于是有由级数发散，知级数发散，与已知条件矛盾，故假设不成立，即例5 讨论级数的敛散性，其中为常数解 取它在上非负，单调减少且连续当时，；当时， 故级数，当收敛，当时发散例6 判别级数的敛散性解 令，则又，故即在处二阶可导，由导数判别法知级数收敛3.4 拉贝判别法与高斯判别法5柯西判别法和达朗贝尔判别法是基

10、于把所要判别的级数与某一等比级数相比较的想法得到的也就是说，如果给定级数通项收敛于零的速度比某收敛的等比级数的通项收敛于零的速度快，则能判定该级数收敛如果级数的通项收敛于零的速度较慢，则无法判断拉贝以级数作为比较对象，得到了拉贝判别法高斯以级数作为比较对象，得到了高斯判别法2定理9 (拉贝判别法) 设为正项级数，且极限存在，则当时，级数收敛；当时，级数发散定理10 (高斯判别法) 如果正项级数满足条件则当时级数收敛；时级数发散证 (1) 当，取适合，我们证明，当时，有不等式为此目的，我们注意，所以根据已知条件，就有 ()因为，故当时，上式取正值，即这说明当充分大时，数列是单调减的，因而有界：，

11、即从而级数收敛(2) 当时，在式()中取就有故当充分大时有，即数列是单调增的于是当时有即，所以级数发散推论 设为正项级数，且极限存在，则当时，级数收敛；当时，级数发散例7 设，试讨论级数的敛散性解 当时，原级数可化为，此时级数发散当时，(1) 采用拉贝判别法则时，原级数收敛；时，原级数发散(2) 采用高斯判别法则时，原级数收敛；时，原级数发散注 虽然高斯判别法要比拉贝判别法更加精密，但是其运算过程也相对复杂从理论上讲，按照这个思路进行下去，还可以找到新的、判别范围更广泛的判别法，但这些判别法也更加复杂4 结束语判断正项级数敛散性的方法是多种多样的，文中仅列出了一些常用的判别方法在使用的过程中，

12、需要根据不同题目的特点，选取适宜的判别方法进行判断同时，本文选取了一些典型例题，用以检验相关理论的有效性正项级数敛散性判别法也可用于判定负项级数及一般项级数的绝对收敛性，也可以推广到函数项级数的敛散性判别中参考文献1 陈纪修等数学分析(下册)M北京，高等教育出版社2004：15-252 刘三阳，李广民数学分析十讲M北京，科学出版社2011：131-1453 李铁烽正项级数判敛的一种新的比值判别法J数学通报，1990(1)：46-474 吴慧伶正项级数收敛性判别的一个推广J丽水学院学报，2006，28(5)：24-265 何琛，史济怀，徐森林数学分析(第三册)M北京，高等教育出社1985：34-

13、35The Study of Positive Series Convergence and Divergence DiscriminanceAbstract：Series of positive terms is a kind of important series, it has a very important significance to the study of other series. This paper studies the discrimination of positive series convergence and divergence of some commonly used methods, has methods promoted，making them applicable to a wider range and calculates more convenient. And then we discuss the link between