探究与正方形有关的线段之间的数量关系

1、    探究与正方形有关的线段之间的数量关系    正方形作为最特殊的四边形之一，具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，因而，以正方形为背景的几何综合题层出不穷.在题目中可以求线段之间的数量关系、位置关系、线段的长度、角的度数等等，解题时需要特别明确正方形的性质，善于动手操作、大胆猜想，联想学过的几何基本图形，恰当的添加辅助线，运用几何推理方可得出结论.1 与正方形有关的两条线段的相等关系例1 如图1，在正方形abcd中，bd是一条对角线.点p在线段cd上（与点c，d不重合），连接ap，平移adp，使点d移动到点c，得到bcq，过点q作qhbd于点h，连

2、接ah，ph.1.依题意补全图1;2.判断ah与ph的数量关系与位置关系并加以证明;分析 1.依题意补全图1，如图2，主要关注：（1）平移adp：平移的方向是沿着dc的方向，平移的距离是dc的长度;（2）过点q作qhbd于点h：明确过点q，作qhbd于点h，垂足是h;（3）连接ah，ph.2.判断ah与ph的数量关系与位置关系，这里包含两层意思（1）ah和ph的数量关系，是相等还是不相等，还是几倍的关系.（2）ah和ph的位置关系是平行还是垂直.本题解题时首先应该利用刻度尺和量角器度量后进行猜想，发现ah=ph，ahph.然后联想学过证明线段相等的方法：三角形全等、等角对等边、平行四边形对边相

3、等.联想证明垂直的方法：直角三角形两锐角互余，矩形四个角为直角.结合本题条件，发现ah和ph所在的三角形，had和hpq可以全等.因平移adp，使点d移动到点c得到bcq，知dc=pq.由正方形abcd可得da=dc=pq，bda=bdc=45°.qhbd于点h，hdq=hqd=bda=45°，hq=hd，所以hadhpq，ha=hp、ahd=phq.由dhp+phq=90°，所以，dhp+ahd=90°，ahp=90°，hahp.反思 本题中正方形abcd提供了以下重要条件：边相等da=dc、bda=bdc=45°，然后再充分利用其

4、他条件进行证明即可.2 与正方形有关的两条线段的倍数关系例2 如圖3，在正方形abcd中，e是边ab上的一动点（不与点a，b重合），连接de，将线段ed绕点e顺时针旋转90°得到线段ef，连接bf.1.依题意补全图;2.用等式表示线段bf与ae的数量关系并证明.分析 1.依题意补全图形，如图4，主要关注：（1）将线段ed绕点e顺时针旋转90°：旋转中心是点e，旋转方向顺时针，旋转角度是90°（2）连接bf.2.用等式表示线段bf与ae的数量关系.解题时首先应该利用刻度尺度量，发现bf和ae不是相等关系.然后通过计算，猜想bf和ae具有 2倍的关系，因此，可以构造等

5、腰直角三角形，让bf作为斜边，ae的长度作为直角边，可以过f做ab的延长线的垂线，通过证明daeehf从而达到目的.因四边形abcd是正方形，则ab=ad，a=90°.由线段ed绕点e顺时针旋转90°得到线段ef，则de=ef，def=90°.因1+2=90°，1+3=90°，所以2=3，daeehf，得出ae=fh，ad=eh，ab=eh，ae=bh，fh=bh，bfh是等腰直角三角形，bf=2fh=2ae.反思 本题中正方形abcd提供了以下重要条件：ab=ad，a=90°，通过做辅助线，然后再充分利用其他条件进行证明即可.3 与

6、正方形有关的三条线段的关系3.1 与正方形有关的三条线段的一次关系例3 如图5，在正方形abcd中，点e是bc边上一动点（不与点b、c重合），过点b作bfde，交射线de于点f，连接cf.1.依题意补全图形;2.判断线段bf，cf，df之间的数量关系，并证明.分析 1.依题意补全图，如图6，主要关注：（1）过点b作bfde，交射线de于点f;（2）连接cf.2.判断线段bf，cf，df之间的数量关系.解题时首先应该利用刻度尺度量，发现bf，cf，df之间没有明确的两条线段之和等于第三条线段关系.然后通过计算，猜想df大约等于bf加上cf的 2倍的关系，df=dm+mf=bf+2cf.因此，可以

7、在df上截取dm=bf，连接cm，构造等腰直角三角形cmf，让cf作为直角边，再证明mf=2cf，从而达到目的.由正方形abcd知bc=cd，bdc=dbc=45°，bcd=90°，cdm=cbf，cdmcbf（sas）.则dm=bf，cm=cf，dcm=bcf.mcf=bcf+mce=dcm+mce=bcd=90°所以mf= 2cf，df=dm+mf=bf+2cf.反思 本题中正方形abcd提供了以下重要条件：bc=cd，bdc=dbc=45°，bcd=90°，通过添加辅助线，然后再充分利用其他条件进行证明即可.3.2 与正方形有关的三条线段

8、的二次关系例4 如图7，正方形abcd中，点p是线段ac上的一个动点，连接bp，将线段bp绕点b顺时针旋转90°得到线段be，连接ce.1.依题意补全图形;2.求证：pa2+pc2=2pb2.分析 1.依题意补全图形如图8，主要关注：（1）将线段bp绕点b顺时针旋转90°得到线段be，旋转中心是点b，旋转方向顺时针，旋转角度是90°（2）连接ce.2.求证pa2+pc2=2pb2，发现是线段的平方关系，而且有2pb2，因此，猜想构造等腰直角三角形是关键.由四边形abcd是正方形，得cb=ab，1=2=45°，3+4=90°.因将线段bp绕点b顺时针旋转90°得到线段be，所以be=bp，5+4=90°.pe=2pb，5=3.cbeabp（sas），因此ec=pa，6=1=45°.pce=2+6=90°.得ec2+pc2=pe2，由ec=pa，pe=2pb，pa2+pc2=2pb2.反思 本题中正方形abcd提供了以下重要条件：bc=ab，1=2=45°，bcd=90°，通过添加辅助线，然后再充分利用其他条件进行证明即可.与