第7课数列通项公式的求法

1、第七课数列通项公式的求法(3) 1, -1/2, 1/3, -1/4常用数列通项公式：(1) 1 , -2, 3, -4, 5(2) 1, 0, 1, 0,(4) 1/2, 34, 5/8, 716 (5) 1 , 11, 111 , 1111、直接定义法：这种方法适用于已经知道数列类型的题目，通过求出首项和公差或公比，直接利用等差或等比数列的定义写出通项。例1.等比数列an中，已知a12,a416 (I)求数列a.的通项公式;2123(n)若a3,a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的通项公式及前n项和Sn。解：(I)设an的公比为q 由已知得16 2q3，解得q 2(n)由

2、(I)得 a2 8 , a5 32，则 6 8 ,5 32设bn的公差为d，则有bb2d4d8解得b32 d1612从而 bn16 12(n 1) 12n28所以数列bn的前n项和Snn( 16例2.等差数列解：设数列 anan是递增数列，前公差为d(d0)n项和为Sn ,' a1,a3,a9成等比数列,且a1, a3, a 9成等比数列,2a3a1a9,S512n2a；.求数列的通项公式.理6n222n即(a1 2d )2a1 (a18d)d2/ d 0,.a1d / S5a；5a 12d (a14d)联立解得:a13 (n 1) 3 3n555练习:1.等差数列中,a11,a3a5

3、14，则数列的通项公式为 an2.等比数列中,a32, a2a4an的通项公式。二、公式法:这种方法适用于已经给出了数列的前n项和Sn的情况。S n 1 一种是利用Sn和an的关系，一种是直接用公式：anSnSn 1n 2例1.已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an (1)n,n1，求数列an的通项公式。解：由a1 S|2a1 1 a11 当n 2时，有anSnSn 12(anan1) 2 ( 1)n,an 2an 12n 1(1), an1 2a n 22(1)n2,a22a12.故 an 2n 1a12n 1 ( 1)2n 2 ( 1)22(1)n12n1(1)n( 2)n1(2)n 2

4、 L(2)2n1(1)n21 (2)n-|2n2 ( 1)n133经验证a1也满足上式，所以2rn2/ <dn1i.an 3 2( 1), n 1.例2.设数列an是公差不为零的等差数列,2Sn是数列an的前n项和，且S1 9S2, S4 4S2，求数列an的通项公式.解：设等差数列an的公差为d，由Sn na1 凹 1)d及已知条件得22(3a1 3d)9(2a1 d)，4a1 6d 4(2a1 d),24由得d 2ai，代入有a； -a1解得9oa14 - 9a1当a10时,d0,舍去.因此ai 4,d 8.故数列an的通项公式an99(n1)49(2n 1).练习：11. 已知数列

5、an的前n项和Sn an ()n1 2( n为正整数)。令g 2$，求证数列bn是等差数2列，并求数列 an的通项公式。2. 已知数列 an的前n项和Sn满足：2Snn 2 an 1，求数列 an的通项公式。三、累加法和累乘法：1.累加法：递推公式满足 an 1 an f n，则转化为an 1 ann ，逐项累加即可。2.累乘法：递推公式满足an 1an 1an，则转化为an，逐项累乘即可。例1在数列an中，a12,an 1anln 111 ，则数列的通项公式为nan解：由条件得an 1 anIn 口 InnIn n，故 anan 1an 1 an 2 In n 1In na2aiIn 2 I

6、n1将以上n 1个式子进行累加得:an31InIn1故an 2In n。例2已知数列a满足：a11,2n 1anan 1则数列的通项公式为 an =解：由an1an 121，同理有an 1an 2an 2an 3a 1,所有项相乘得:2a1aa1练习:1.已知数列1an满足a1anan。2.已知数列an满足ai2 , a. i3-an，求 an。1an kan 1 bn( k, b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转四、待定系数法：形如an kan 1 b 化为公比为k的等比数列后，再求 anan kan 1 b解法：把原递推公式转化为：an 1 tp(an t)，其中t ，再利用换元法转化

7、为1 P等比数列求解。例1.已知数列an中，a1 1，an 1 2an 3，求an.解：设递推公式an1 2an3可以转化为an 1 t2(ant)即an12ant t 3 .故递推公式为b n 1a“ 1 3an 1 3 2( an 3),令 bn an 3，则 D a1 3 4,且 口 口 2bn an 3 所以bn是以b 4为首项，2为公比的等比数列，则 bn 4 2n 1 1(n 1) 3 1 (n 1) 3anan a13n 2 2n1,所以an 2n 1 3.ankan 1 bn解法：该类型较类型 要复杂一些。般地，要先在原递推公式两边同除以，得:肘 ? n引入辅助数列bn (其中

8、bn n)，得：bn 1bn再应用a* kan 1 b的方法q q q qqq q解决。5 11例 2.已知数列an 中，a1-,an1a.(-)n1，求 a.。6 32112解：在 an 1-an()n1 两边乘以 2n 1 得：2n1?an1 (2n?an)13232 2b11令 bn 2n ?an，则 bn 1bn 1 ,得：bn 3 2( ) “，所以 an n 3()n 2()n3 32n23练习：已知印1,an 3an 1 2，求a.；已知印1,an 3an 1 2n，求a.；a五、取倒数法：形如 an口的递推数列都可以用倒数法求通项。kan 1 b例 3. an色 , a1 13

9、 an 1113 a 111解：取倒数： ' 3 ， 是等差数列，anan 1an 1an13练习：已知数列满足ai=i, , an?. an. aarr，求an ；2.在数列an中，若:ai3 n 1，则该数列的通项公式为an六、练习题1.在数列an中，若：a1511 n 1，an1an()n 1 ,求an。63221 +1, a22, an 2an 1-an，求 an。332an1,an i3.已知数列an中，a14.已知数列 an中，a12,an 14an 6 n 1，则该数列的通项公式为an2.已知数列an中，印1,an 12an 2n 1，求 an。3.已知数列 an中，满足

10、&=6, a* 112(a*1) (nN ),求数列an的通项公式。4.已知数列an中,a n > 0,且 a1 = 3,+ 1( n N ),求数列an的通项公式5.已知数列an中,a1 =3,ann + 1( n N),求数列an的通项公式6.已知数列an中,a1=1,an!=3an+2，求数列an的通项公式7.已知数列an中,0,a1 = 2am =_1 2an(n N )求 an8.设数列a满足a1=4,a 2 =2, a 3 =1若数列an1 an成等差数列，求a9.设数列a中，a1=2,an 1 =2an+1求通项公式an10.已知数列an 中，a1=1, 2a n

11、1 = aan第八课 数列求和的常用方法、直接定义法： 适用已知数列为等差、等比情况。、分组转化法： 把数列的每一项分成若干项（或把数列的项重新组合），使其转化成等差或等比数列的 求和，这一求和方法称为分组转化法。例1数列an 2n 3n，求Sn解：Sn日2 Lan(2+3)+ (22、 -2+3) + (2 3+33)+(2 n+3n)=2(1+2+3+- +n)23+ (3+3 +3 +3n) =n(n +1)+ -(3n 1)2例2已知数列a n中，a11, a2 练习：求数列的前n项和：11,'a21, a31 222 2 1 ,a41222 2322! 21 ,.求数列an的

12、前n项和Sn.解：数列an的通项公式是:an12 222n 12n 2 22 2 1(12222n1)(2n22“ 3222 1)12n1 2n1(2n1)(2n1 1)3 2n 12 ,121 2Sn(31 2)(3 22)(3 2：2 2)+ (3 2n12)2n 13(1 2 22) 2 n3(1 2n)2nn3 23 2n12114， 27,n 13n2，aa，在求和时一些、裂项相消法： 把数列的通项拆成两项之差（即数列的每一项都按此法拆成两项之差）正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干项之和，这一求和方法称为裂项相消法。常用裂项公式:1 1 1n(n 1) n n 11 1 (

13、1 (2n 1)(2 n 1)2(2 n 112n练习：求数列11n(n1)(n2)11(.n(n2)2(1 111-)(-)(-3243111nn1)例求数列an1Sn2(1n(n 1)(n 1)(n-）的前n项和2(-n1)2(1的前n项和.三、错位相减法： 数列an bn的各项是由一个等差数列an与一个等比数列bn对应项乘积组成时,求它和可采用错位相减法。步骤如下：（1）写出前n项和Sn的表达式；（2）将上式两边乘以等比数列 bn的公比q，得q Sn的表达式;（3）将两式相减得 Sn- q Sn ,即可转化为求一个等比数列的和例1求数列an（2n 1）3n的前n项和.解： Sn1 3 3

14、 32 5 33(2n3)3n 1(2n1)3n 3Sn 1 323 335 34(2n3)3n (2n1)3n两式相减得：-2Sn132 322 332 3n 12 3n(2n1)3n 12 n 123(31)3 1n 1(2n1)32(nn 1n 11)3 Sn3 (n 1)31例2求和Sn =2解：由原式乘以公比原式与上式相减，得Sn2n 3亍S =丄旦n 22 23Sn=-+12即 '丄1(12 22n 12n 31222n2n2n12 n 12n2* 12 n 1 ）1厂2将一个数列倒过来排列（倒序）2n 132n 1 22n2n 3，当它与原数列各项相加时，若有公因式可提，

15、并且提例1已知函数f x对任意x R都有f （x）f (1 x)12，Sn f (0)f(丄)f(-)f () + f(n2) f(n 1)f (1),(n Nnnnnnttn t1解：令x(t=0,1,2,，n),则有 f()f()-nnn21、23n2n1V Snf(0)f()f() f()+f()f()f(1)nnnnn又Snf(1)f(n 1)f(n 2)f(n 3)+f（丄）f (0)nnnn1 + 得 2Snf (0) f(1) f (丄)f(n 1)f(n1)1 f()nnnnf(1)f(0)(n 1)1 S丄（n 1)四、倒序相加法：取公因式后剩余的各项的和易于求得，这一求和方

16、法称为倒序相加法。倒序相加法的操作是：把“正着 写的和”与“倒着写的和”相加，再去求解.),求 Sn例 2 求 sin21 sin2 2 sin2 3sin2 88 sin2 89 的值解：设 S sin21sin2 2sin 2 3sin2 88 sin2 892S sin 89sin2 88sin 2 3sin2 2sin21又因为 sin xcos( 90x), sincos2 x1 ,+得22S (si n21cos21 )(sin2 22cos 2 )2 2(sin 89 cos 89 ) = 89 / S = 44.5练习：已知函数akkf()，,nf(x)訂，数列31n 1an 1f (), annan 中，ai123f (), a2 f (),氏 f () ,nnnf(n)，求数列a*的前n项和Sn . n五、公式法求和：所给数列的通项 an是关于n的多项式，此时求和可用公式法求和。常用公式有: Sn =1+2+3+ +n = nn 1 ; Sn=12 22 322n2n(n 1)(2n 1);62 Sn=13 23 33n3 n n 1；等等。2六、作业1.数列an的通项an = n(n+1),求Sn ；2.数列an的通项an =(2