不等式恒成立、能成立、恰成立问题的解题策略

1、不等式恒成立、能成立、恰成立问题的解题策略一、不等式恒成立问题的常规处理方方法1、转换求函数的最值：（1）若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上，的下界大于A（2）若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上,的上界小于A2、分离变量法：在同一个等式或不等式中，将主元与辅元分离（常用的运算技巧）3、数形结合：（凡是能与六种基本函数联系起来的相关问题，都可以考虑此法）例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x-1,+时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。)当=4（a-1）(a+2)<0时，）当=4（a-1）(a+2) 0综合可得a的取值范围为-3，1例2、已知对任意恒成立,试求实数的取值范

2、围;对任意恒成立等价于对任意恒成立,又等价于时,的最小值成立.由于在上为增函数,则,所以 例3 定义在R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有恒成立，求实数m的取值范围.解析由得到：t=mtg(t)o·1图1因为为奇函数，故有恒成立，又因为为R减函数，从而有对恒成立t=mtg(t)o·1图2设，则对于恒成立，在设函数,对称轴为.当时，即，又t=mtg(t)o·1图3(如图1)当，即时,即,又,(如图2)当时，恒成立.(如图3)故由可知：.例4、已知不等式对任意的恒成立，求实数k的取值范围例5、（09年江西卷文17）设函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

3、（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值。（节选）解析：(1) , 对, 即 在上恒成立, , 得，即的最大值为。例6、（07年重庆卷理20)已知函数在处取得极值，其中、为常数.（1）试确定、的值； （2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围。解：（1）（2）略（3）由（2）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.要使恒成立，只需.即，从而. 解得或. 的取值范围为.二、主参换位法例1、若不等式对恒成立，求实数a的取值范围例2、若对于任意，不等式恒成立，求实数x的取值范围例3、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。分

4、析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。略解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x<-1或x>3.例4（07辽宁卷文科22)已知函数，且对任意的实数 均有，.() 求函数的解析式；()若对任意的，恒有，求的取值范围.解析： () ，而，恒成立.则由二次函数性质得 ，解得， 。（）.令，则 即.由于，则有. 解得 .所以的取值范围为。例5、(0

5、8安徽文科20)已知函数，其中为实数（）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围（节选）分析：已知参数的范围，要求自变量的范围，转换主参元和的位置，构造以为自变量作为参数的一次函数，转换成，恒成立再求解。解析：由题设知“对都成立，即对都成立。设（），则是一个以为自变量的一次函数。恒成立，则对，为上的单调递增函数。 所以对，恒成立的充分必要条件是，于是的取值范围是。三、分离参数法 利用分离参数法来确定不等式,（ ,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:（1） 将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2） 求在上的最大（或最小）值；（3） 解不等式(或) ，得的取值范围。适用题型：（1

6、） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。例1 （07年山东卷文15)当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .解析: 当时，由得.令，则易知在上是减函数，所以时，则.例2（09年山东卷文21）已知函数,其中 w.w.w.k.s.5。（1） 当满足什么条件时,取得极值?（2） 已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.解析：(2) 在区间上单调递增在上恒成立恒成立，。设，令得或(舍去)，当时,，当时，单调增函数；当时，单调减函数, 。当时，此时在区间恒成立，所以在区间上单调递增，。综上，当时, ； 当时，。四、数形结合（对于型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）若把等式或

7、不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。O例1 (07安徽理科3)若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是(A) (B) (C) （D） 解析：对,不等式恒成立则由一次函数性质及图像知，即。例2、（1）当x(1,2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范围。1<a2.（2）不等式成立，则x的取值范围例3、不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。解：画出两个凼数和在上的图象xy03如图知当时，当时总有所以二、能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间

8、上；若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.例1、已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围_（答：）例2、若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是 第二个填空是不等式能成立的问题. 设.则关于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或例3、已知函数，. 若，且存在单调递减区间，求a的取值范围； 分析及解只研究第（I）问.，则因为函数存在单调递减区间，所以有解.由题设可知,的定义域是 ,而在上有解,就等价于在区间能成立,即, 成立, 进而等价于成立,其中.由得,.于是,由题设,所以a的取值范围是例4、不等式有解，求的取值范围。解：不等式有解有解有解，所以。例5、对

9、于不等式，存在实数，使此不等式成立的实数的集合是；对于任意，使此不等式恒成立的实数的集合为，求集合解：由又有解，所以令恒成立所以三、恰好成立例1、已知当的值域是,试求实数的值.第(问是一个恰成立问题,这相当于的解集是.当时,由于时, ,与其值域是矛盾,当时, 是上的增函数,所以,的最小值为,令,即例2、已知两函数f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数。（1）对任意x-3，3，都有f（x)g(x)成立，求k的取值范围；（2）存在x-3，3，使f（x)g(x)成立，求k的取值范围；（3）对任意x1、x2-3，3，都有f（x1)g(x2)，求k的取值范围。解析：（

10、1）设h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3x2-12x+k，问题转化为x-3，3时，h(x)0恒成立，故h(x)0.令h (x)=6x2-6x-12=0，得x= -1或2。由h(-1)=7+k，h(2)=-20+k，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故h(x)=-45+k，由k-450，得k45.（2）据题意：存在x-3，3，使f（x)g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)0在x-3，3有解，故h(x)0，由（1）知h（x）=k+7，于是得k-7。（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1，x2-3，3，都有f（x1)g(x2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1，x2的