(完整word版)一元一次不等式组解题技巧

1、次不等式组解题技巧、重点难点提示重点：理解一元一次不等式组的概念及解集的概念。难点：一元一次不等式组的解集含义的理解及一元一次不等式组的几个基本类型解集的确定。二、学习指导：1、几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。但这“几个一元一次不等式”2、前面学习过的二元一次方程组是由二个一次方程联立而成，在解方程组时，两个方程不是独立存在的（代入法和加减法本是独立的，而且组成不等式组的不等式的个数可以是三个或多个。（课本上主要学习由两个一元一次不等式组成的不等式组）。3、在不等式组中，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。（注意借助于数轴4、一

2、元一次不等式组的基本类型（以两个不等式组成的不等式组为例）类型（设 a>b）不等式组的解集数轴表示）同大型，同大取大）2）同小型，同小取小）（一大一小型，小大之间）4）比大的大，比小的小空集）无解三、一元一次不等式组的解法例 1. 解不等式组并将解集标在数轴上分析： 解不等式组的基本思路是求组成这个不等式组的各个不等式的解集的公共部分，在解的过程中各个不等式彼此之间无关 组”的角度去求“组”的解集，在此可借助于数轴用数形结合的思想去分析和解决问题。步骤：解：解不等式 （1） 得 x>解不等式 （2） 得 x41）分别解不等式组的每一个不等式（2）求组的解集借助数轴找公共部分）利用数

3、轴确定不等式组的解集）原不等式组的解集为<x3）写出不等式组解集4）将解集标在数轴上解： 解不等式 (1) 得 x>-1,解不等式 (2) 得 x 1,解不等式 (3) 得 x<2,在数轴上表示出各个解为：原不等式组解集为 -1<x -1 而包括注意： 借助数轴找公共解时，应选图中阴影部分，解集应用小于号连接，由小到大排列，解集不包括2)来画。例3. 解不等式组解： 解不等式 (1) 得 x>-1,解不等式 (2),5, -5 x5,将 (3)(4) 解在数轴上表示出来如图，原不等式组解集为 -1<x 四、一元一次不等式组的应用例 4. 求不等式组的正整数解

4、步骤：解：解不等式 3x-2>4x-5 得： x<3,1、先求出不等式组解不等式1 得 x2,的解集。2、在解集中找出它原不等式组解集为 x所要求的特殊解，正整数解这个不等式组的正整数解 1、 2例 5 m为何整数时，方程组的解是非负数？件列出不等式组寻求 m 的取值范围，最后切勿忘记确定m的整数值解： 解方程组方程组的解是非负数，即解不等式组 此不等式组解集为 m又 m 为整数， m=3 或 m=4。例 6 解不等式<0.两个数的商为负数这两个数异分析： 由“ ”这部分可看成二个数的 “商” 此题转化为求商为负数的问题。或(2)因此，本题可转化为解两个不等式组。解： <

5、;0, 或 (2)由 （1） 无解，由(2)原不等式的解为 - <x< .例 7. 解不等式 -3 3x-1<5.解法（ 1） : 原不等式相当于不等式组解不等式组得 - ， 原不等式解集为 - 解法（ 2）: 将原不等式的两边和中间都加上1，得 -2 3x<6,将这个不等式的两边和中间都除以 3 得，- 原不等式解集为 - 例 8. x 取哪些整数时，代数式与代数式 的差不小于 6 而小于 8分析： (1) “不小于 6”即 6, (2) 由题意转化成不等式问题解决，解： 由题意可得， 6- <8,将不等式转化为不等式组，解不等式 (1) 得 x 原不等式组解集

6、为解不等式 (2) 得 x>-<x -<x6 的整数解为 x=±3, ±2, ±1, 0, 4, 5, 6.当 x 取±3，±2，±1，0，4，5，6 时两个代数式差不小于6而小于 8例 9. 有一个两位数，它十位上的数比个位上的数小2，如果这个两位数大于 20 并且小于 40 ，求这个两位数分析： 这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知识来解决。题目中有两个主要未 关系：个位上的数 =十位上的数 +2, 一个不等关系： 20< 原两位数 <40。解法( 1) : 设

7、十位上的数为 x, 则个位上的数为 (x+2), 原两位数为 10x+(x+2),由题意可得： 20<10x+(x+2)<40,解这个不等式得， 1 <x<3 , x 为正整数， 1 <x<3 的整数为 x=2 或 x=3 ， 当 x=2 时，当 x=3 时， 10x+(x+2)=35,答：这个两位数为 24 或 35。解法( 2) : 设十位上的数为 x, 个位上的数为 y, 则两位数为 10x+y,由题意可得 (这是由一个方程和一个不等式构成的整体，既不是方程组也不是不等将(1) 代入 (2) 得， 20<11x+2<40,解不等式得： 1

8、<x<3 , x 为正整数， 1 <x<3 的整数为 x=2 或 x=3, 当 x=2 时， y=4 ，当 x=3 时， y=5, 答：这个两位数为 24 或 35。20 且小于 40，所以它十位上的数只能是解法( 3) :可通过“心算”直接求解。方法如下：既然这个两位数大于 时，个位数为 5 ，所以原两位数分别为 24 或 35。例 10. 解下列不等式：(1) | | (2) <0;(3) (3x-6)(2x-1)>0.1) 分析： 这个不等式不是一元一次不等式，因此，不能用解一元一次不等式的方法来解。但由绝对值的知识若 |x|>a, (a>

9、0) 则 x>a 或 x<-a.解： | | -4 4,即解不等式 (1) ，去分母：3x-1 由绝对值的定义可转化为：移项： 3x 合并同类项： 3x 系数化为 1， -解不等式 (2) 去分母： 3x-1 8,移项： 3x 8+1,合并同类项： 3x 9,系数化为 1 ： x 3,它可以理 3.(2)分析： 不等式的左边为是两个一次式的比的形式 (也是以后要讲的分式形式) ，右边是零。由除法的符号法则可知，只要被除式与除式异号，商就为负值。因此这个不等式的求解问题，可以转化为解一元一次解：<0, 3x-6 与 2x+1 异号，或 II, 不等式组无解，解 II 的不等式组

10、得 , 不等式组的解集为<x<2,原不等式的解集为 - <x<2.3) 分析： 不等式的左边是 (3x-6)(2x+1) 为两个一次式的积的形式，右边是零。它可以理解为“当 x 取何值时，只要两个因式同号，积就为正值。因此这个不等式的求解问题，也可以转化为解一元一次不等式组的问题。解： (3x-6)(2x+1)>0, (3x-6) 与 (2x+1) 同号，即I或 II解I 的不等式组得不等式组的解集为 x>2,解 II 的不等式组得不等式组的解集为 x<-原不等式的解集为 x>2 或 x<-说明： ab>0（或>0） 与 ab&

11、lt;0（或<0）这两类不等式都可以转化为不等式组的形式，进行分类讨论。这类问1）ab>0（或>0）, 、b 同号，再分别解不等式组如例 10 的（ 3）题。I 和 II ，（2） ab<0（或<0） , ab<0（ 或 <0）, 、 b 异号，即I或 II ,试求代数式再分别解不等式组 I 和不等式组 II 。例 11. 已知整数 x 满足不等式 3x-4 6x-2 和不等式-1< , 并且满足方程 3（x+a）=5a-2分析： 同时满足两个不等式的解的x 值实际是将这两个不等式组成不等式组，这个不等式组的解集中的整数为x值求出 a 值，再将

12、a 代入代数式 5a3-即可解： 整数 x 满足 3x-4 -1< x 为，解集的整数值，解不等式 (1) ，得 x- , 解不等式 (2) 得， x<1, 的解集为 - - x<1 的整数 x 为 x=0, a=1,又 x=0 满足方程 3(x+a)=5a-2,将 x=0 代入 3(x+a)=5a-2 中 ,当 a=1 时， 5a3-=5× 13-=4 ,答：代数式 5a3-的值为 4. 。测试选择题1解下列不等式组 , 结果正确的是( )A、不等式组的解集是 x>3B、不等式组的解集是 -3<x<-2C、不等式组的解集是 x<-1D、不等

13、式组的解集是 -4<x<22不等式组的解集是（ ）A、x>1B 、x<3C、x<1 或 x>3 D 、 1<x<33 不等式组的解集是（ ）A、x<1B 、x>1C、x<2 D、无解4如果不等式组有解，那么 m 的取值范围是：（）A、m>8B、m 8C、m<8D、m85 使两个代数式 x-1 与 x-2 的值的符号相同的 x 取值范围是（ ）A、x>2B 、 x<1C、x<1 或 x>2D 、x>1 或 x<2答案与解析答案： 1、D 2 、D 3 、D 4 、 C 5 、C 解析

14、：D。答案： D2. 分析： 由（ 1）得 x<3 ，由（ 2）得 x>1 1<x<3 答案： D3. 分析： 先解不等式，看是否有解，由（1）得 x<1 ， 由（ 2）得 x>2，两者无公共部分，所以选 5. 因 x-1 与 x-2 的值的符号相同，所以可求得 x>2 或 x<1.所以选 C.次不等式和它的解法0 的不等式，叫一元一次不等式其标ax>b 或 ax<b ，其中 x 是未知数，ax>b 或 ax<b a )后，3 的运用该题可先去分母(不要漏乘注： 比较简单，应该全部正确。一元一考点扫描 :1了解一元一次不等

15、式的概念2会用不等式的基本性质解一元一次不等式名师精讲 :一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1 ，系数不等于 1一元一次不等式经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为 2一元一次不等式的解法步骤与解一元一次方程类似，基本思想是化为最简形式( 都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变中考典例 :1解不等式(x 1)<1 ，并把它的解集在数轴上表示出来考点： 一元一次不等式的解法评析： 一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法相类似，只要注意不等式性质 后得出解集，解题过程如下：解：原不等式化为： x22(x 1)<2x 2 2x+2<2即：

16、- < 2 x> 2它在数轴上表示为：2（河北省）在一次“人与自然”知识竞赛中, 竞赛试题共有 25 道题 , 每道题都给出 4 个答案 , 其中只有一个答案分,不选或选错倒扣 2分如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于60分,那么,他至少选对了 道题考点： 一元一次不等式的应用评析：可设选对了 x 道，那么选错或不选的共有（ 25x）道题。根据题意，可以列不等式为4x 2（25 x） 60，解说明： 列不等式解的应用题，一般所求问题有至少、或最多、或不低于等词的要求，要正确理解这几个词的含义3商场出售的 A型冰箱每台售价 2190 元，每日耗电量为 1 度，而 B型节能冰箱每台售价

17、虽比 A型冰箱高出 10%售（打一折后的售价为原价的 ），问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为 10 年，每年 365 天，每度电 0 考点： 一元一次不等式的应用评析：列一元一次不等式解应用题首先要弄清题意，设出适当的未知数消费者要买A型冰箱， 10 年的花费用比 B型少才+365×10×1×0.40 ，B型 10年的费用为 2190 ×（ 1+10%）+365 × 10× 0.55 ×0.40 ，根据题意得不等式 2190×+36×0.40解得 x 8，所以至少打八折，解题过程如下：解：设商

18、场将 A型冰箱打 x 折出售，消费者购买才合算依题意，有2190×+365×10×1×0.4 × （1+10%）+365 ×10×0.55 ×0.4即 219 1460 803解这个不等式，得 x 答：商场应将 A 型冰箱至少打八折出售，消费者购买才合算真题专练 :1不等式 72x> 1 的正整数解是2若代数式+2x 的值不大于代数式 8 的值，那么 x 的正整数解是 3恩格尔系数表示家庭日常饮食开支占家庭经济总收入的比例，它反映了居民家庭的实际生活水平，各种类型家家庭类型贫困家庭温饱家庭小康家庭发达国家家庭

19、最富思格尔系数（n）75%以上50%75%40% 49%20%39%则用含 n 的不等式表示小康家庭的恩格尔系数为 4（杭州市） x 的 2倍减 3 的差不大于 1，列出的不等式是 （ ）A、2x 1B、2x31C、 2x3< 1D、2x 3> 15 （内江市）解不等式 6（安徽省）解不等式 3x2（1 2x） 1，并把解集在数轴上表示出来7（陕西省）乘某城市的一种出租汽车起价是10 元（即行驶路程在 5km以内都需付 10 元车费），达到或超过1km 计）现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地，支付车费172 元，从甲地到乙地的路大约是多少？答案：1、1，2；2、1， 2，3（提示：

20、根据题意得不等式+2x 解不等式得 x， 正整数解为 1，2，3）；3、40%n49%4、A；5、解： 去分母得 8x420x215x60移项合并同类项得 27x 54解得 x26、解： 3x 2+4x1，7x3，x 所以 原不等式的解集为 x 在数轴上表示为：7、解： 设从甲地到乙地的路程大约是xkm，根据题意，得16<10+1.2(x 5) 17.2解此不等式组，得10<x11答：从甲地到乙地的路程大于10km，小于或等于 11km元一次不等式组和它的解法考点扫描 :1了解一元一次不等式组及其解集的概念2掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴确定一元一次不等式组的解集名师精讲 :

21、1一元一次不等式组及其解集：几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组几个一元一次不等式的解集的公共部分 2求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组3解一元一次不等式组的步骤：1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集中考典例 :1不等式组的解集是 考点： 一元一次不等式组的解法评析： 分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，解不等式(1) 得 x<4，解不等式 (2) 得 x<5，公共部分是 x<4 ，即为不2若不等式组的解集为 1<x<1, 那么( a+1 ) (b 1

22、) 的值等于考点： 不等式组解集的应用评析： 此题类型是；已知不等式组的解集，求其中字母系数，进而求关于字母系数的代数式的值。这类问题解法是：先解不等数的值，进而代入所给代数式，求出代数式的值，具体解法如下：解：由 2 < 1x<；由 2b>3 得 x>3+2b，因为方程组有解，所以，> 3+2b，方程组的解<1， =1 ，= -2 (a+1)(b-1) =-63不等式组的最小整数解为(B、 0C、 1D、4考点： 不等式组的整数解评析：解不等式 (2) 得 x 4，所以不等式组的解集为< x 4，在此不等式中最小整数为0，所以选 B说明：解此类问题是

23、先求出不等式组的解集，然后在解集中，求整数值真题专练 :1不等式组的解集是这个不等式组的最小整数解是2不等式组的解集是3不等式组的解集是4不等式组的解集是5不等式组的解集是6若不等式组有三个整数解则 a 的取值范围是7不等式组的解集是（ ）A、x>1B、x<6C、1< x <6D、 x<1 或 x>68 不等式组 的解在数轴上可表示为（ ）9不等式组的解集（ ）A、x1B、x<2C、1<x<2D、1x< 2的整数解是（ ）A、 1， 0，1B、 1，1C、 1，0D、 0， 111 不等式组成的整数解的个数是 （ ）A、1个B、2 个

24、C、3 个D、4 个12一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A、B、C、13不等式组的解集是（）A、 2<x<1B、x<1C、x> 2D、无解14不等式组的解集是（ ）A、 4<x<1B、 4<x<1C、 1<x<4D、 1<x<415 不等式组的整数解的个数是（）A、1B、 2C、 3D、 416 有解集为 2<x<3 的不等式组是（A、B、17解不等式组18解不等式组19求不等式组20解不等式组21解不等式组22解不等式组，的整数解并把解集在数轴上表示出来24解不等式组25解不等式组并在数轴上表

25、示解集26求不等式组的整数解答案： 1、 4< x< 2， 3；2、 2x<4 ；3、1x<2；4、x< 3；5、 10<x 26 、 0<a 1(提示由已知得 x> a ，x，则其解集为 a<x 3，故 a 的范围为 0<a1；7、C8、 A9、D10、C11、D12、C13、 A14、A15、 C16、C17 、解：解不等式 (1) ，得 x<3解不等式 (2) ，得 x+8> 3xx> 2在数轴上表示不等式 (1) ， (2) 的解集不等式组的解集为 -2<< 318 、解：解 10 3) 2 (x

26、 1) ，得 x4解 x > ， 得 x > 不等式组的解集为 < x 19、解：解 3x+7<5(x+2) ，得 x>解 ，得 x < 2 不等式组的解集为<x< 2在< x<2 中的整数有 1、 0、 1不等式组的整数解是：、 0、 120、解：解不等式得x<2 解不等式得x 1所以不等式组的解集是 1 x<2得 x<321、解：解不等式 2x+53(x+2), 得 x 1解不等式x<3 原不等式组的解集是不等式组的整数解是22、解：由不等式 x4（x5）> 8得 x<4 由不等式 不等式组的解

27、集是这个不等式组的解集在数轴上表示如下：23、提示：原不等式变为解得解集为 1 x< 9 在数轴上表示如图所示24、提示：解不等式得x< ，解不等式得 x0，所以不等式组解集为0x<25、提示：解不等式得x>1，解不等式得 x< 4，所以不等式组的解集为1<x<4在数轴上表示如图所示26、解：由得> - ，由 得 原不等式组的解集为： - < 为整数， -1 ， 0， 1即不等式组的整数解为 -1 ，0， 1一次不等式（组）中参数取值范围求解技巧已知一次不等式（组）的解集（特解），求其中参数的取值范围，以及解含方程与不等式的混合组中参变量（

28、参这类问题综合性强，灵活性大，蕴含着不少的技能技巧。下面举例介绍常用的五种技巧方法。一、化简不等式（组），比较列式求解例 1 若不等式的解集为，求 k 值。解： 化简不等式，得 x5k，比较已知解集，得 ， 。例 2 （山东威海市中考题）若不等式组的解集是 x>3，则 m 的取值范围是（ ）。A、mB、m=3C、m<3D、 m解： 化简不等式组，得 ，比较已知解集 x>3 ，得 3m, 选 D。例 3 （重庆市中考题）若不等式组的解集是 -1<x<1 ，那么 （a+1）（b-1） 的值等于 解： 化简不等式组，得它的解集是 -1<x<1 ， 也为其解集

29、，比较得 （a+1）（b-1）=-6.评述： 当一次不等式（组）化简后未知数系数不含参数（字母数）时，比较已知解集列不等式（组）或列方程组、结合性质、对照求解例 4 （江苏盐城市中考题）已知关于x 的不等式 (1-a)x>2的解集为则 a 的取值范围是（ ）A、a>0B 、a>1 C、a<0D、a<1解：对照已知解集，结合不等式性质3得： 1-a<0, 即a>1，选 B。例 5（湖北荆州市中考题）若不等式组的解集是 x>a，则 a 的取值范围是A、 a<3B 、 a=3 C 、 a>3D 、 a解： 根确定不等式组解集法则：“大大取较大”，对照已知解集 x>a, 得 a3,选 D。三、利用性质，分类求解例 6 已知不等式的解集是a 的取值范围解： 由解集得 x-2<0, 脱去绝对值号，得当 a-1>0 时，得解集与已知解集矛盾；当 a-1=0 时，化为 0· x>0 无解；当 a-1<0 时，得解集 与解集 等价。例 7 若不等式组有解，且每一个解x 均不在 -1 x 4范围内，求 a 的取值范围解： 化简不等式组，得 它有解， 5a- 6<3aTa<3;利用解集性质， 题意转化为： 其每一解在 x<-1 或 x>4 内。于是分类求解， 当 x&