上传 正弦、余弦定理及解三角形(师用)

1、 正弦、余弦定理及解三角形(师用)知识点： 1、正弦定理 2、余弦定理教学目标;:1掌握正弦定理和余弦定理的推导方法 2通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择正弦定理和余弦定理高考考点：1考查正、余弦定理的推导过程2考查利用正、余弦定理判断三角形的形状3考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法 复习 1掌握正弦定理和余弦定理的推导方法2通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择基础梳理1正弦定理：2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin_A，

2、b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，以解决不同的三角形问题2余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以变形为：cos A，cos B，cos C.3SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabababab解的个数无解一解两解一解一解无解

3、一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，ABabsin Asin B.两类问题在解三角形时， 正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分 余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换练习题1 在ABC中，A60°，B75°，a10，则c等于()A

4、5 B10 C. D5解析 C=180-A-B=45,答案 C2在ABC中，若，则B的值为()A30° B45° C60° D90°解析由正弦定理知：，sin Bcos B，B45°.答案B3 在ABC中，a，b1，c2，则A等于()A30° B45° C60° D75°解析由余弦定理得：cos A，0A，A60°.答案C4在ABC中，a3，b2，cos C，则ABC的面积为()A3 B2 C4 D.解析cos C，0C，sin C，SABCabsin C×3×2×

5、4.答案C5已知ABC三边满足a2b2c2ab，则此三角形的最大内角为_解析a2b2c2ab，cos C，故C150°为三角形的最大内角答案150°考点一利用正弦定理解三角形【例1】在ABC中，a，b，B45°.求角A，C和边c.审题视点 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断解由正弦定理得，sin A.ab，A60°或A120°.当A60°时，C180°45°60°75°，c；当A120°时，C180°45°120

6、6;15°，c. (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意【训练1】 1、在ABC中，若b5，B，tan A2，则sin A_；a_.解析因为ABC中，tan A2，所以A是锐角，且2，sin2Acos2A1，联立解得sin A，再由正弦定理得，代入数据解得a2.答案22、在 ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，求边BC上的高.【命题意图】：本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、

7、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力。【解析】：ABC180°，所以BCA，又，即，又0°<A<180°，所以A60°.在ABC中，由正弦定理得，又，所以BA，B45°，C75°，BC边上的高ADAC·sinC.3、在中，的对边分别是，已知. （1）求的值；(2)若，求边的值考点二利用余弦定理解三角形【例2】在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.(1)求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面积审题视点 由，利用余弦定理转化为边的关系求解解(1)由余弦定

8、理知：cos B，cos C.将上式代入得：·，整理得：a2c2b2ac.cos B.B为三角形的内角，B.(2)将b，ac4，B代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162ac，ac3.SABCacsin B. (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用【训练2】1、 已知A，B，C为ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2 cos A0.(1)求角A的值；(2)若a2，bc4，求ABC的面积解(1)由2cos2

9、 cos A0，得1cos Acos A0，即cos A，0A，A.(2)由余弦定理得，a2b2c22bccos A，A，则a2(bc)2bc，又a2，bc4，有1242bc，则bc4，故SABCbcsin A. 2、设ABC的内角A、B、C所对的边分别为，已知. () 求ABC的周长； ()求cos(AC.)本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力.解：（1）.ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5.（2） ，故A为锐角.考点三利用正、余弦定理判断三角形形状两种途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从

10、而判断三角形的形状； (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论.【例3】在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，试判断ABC的形状审题视点 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断解由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，得b2sin(AB)sin Ca2sin Csin(AB)，即b2sin Acos Ba2cos Asin B，即sin2Bsin Acos Bsin2Acos Bsin B，所以sin 2Bsin 2A，由于A，B是三角形的内

11、角故02A2，02B2.故只可能2A2B或2A2B，即AB或AB.故ABC为等腰三角形或直角三角形 判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系【训练3】 1、在ABC中，若；则ABC是(B)A直角三角形 B等边三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形解析由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R为ABC外接圆半径).即tan Atan Btan C，ABC.答案B2、若的三个内角满足，则（ C ） A一定是锐角三

12、角形. B一定是直角三角形. C一定是钝角三角形. D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形3、ABC中，2=sinC，则此三角形的形状是 （ A ） A等腰 B等腰或者直角 C等腰直角 D直角解析 sinC=sin(180-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sinAcosB-cosAsinB=0 sin(A-B)=0考点四-正、余弦定理的综合应用【例3】在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c2，C.(1)若ABC的面积等于，求a，b；(2)若sin Csin(BA)2sin 2A，求ABC的面积审题视点 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定

13、理列出关于a，b的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin Csin(BA)2sin 2A进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a，b的值即可解决问题解(1)由余弦定理及已知条件，得a2b2ab4.又因为ABC的面积等于，所以absin C，得ab4，联立方程组解得(2)由题意，得sin(BA)sin(BA)4sin Acos A，即sin Bcos A2sin Acos A.当cos A0，即A时，B，a，b；当cos A0时，得sin B2sin A，由正弦定理，得b2a.联立方程组解得所以ABC的面积Sa bsin C. 正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立

14、，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题【训练3】 1、 设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B，b2.(1)当A30°时，求a的值；(2)当ABC的面积为3时，求ac的值解(1)因为cos B，所以sin B.由正弦定理，可得，所以a.(2)因为ABC的面积Sac·sin B，sin B，所以ac3，ac10.由余弦定理得b2a2c22accos B，得4a2c2aca2c216，即a2c220.所以(ac)22ac20，(ac)240.所以ac2.2、在b、c，向量，且。（I）求锐角B

15、的大小； （II）如果，求的面积的最大值解：(1)mn Þ 2sinB(2cos21)cos2BÞ2sinBcosBcos2B Þ tan2B02B,2B,锐角B(2)由tan2B Þ B或当B时，已知b2，由余弦定理，得：4a2c2ac2acacac(当且仅当ac2时等号成立)ABC的面积SABC acsinBacABC的面积最大值为当B时，已知b2，由余弦定理，得：4a2c2ac2acac(2)ac(当且仅当ac时等号成立)ac4(2)ABC的面积SABC acsinBac2ABC的面积最大值为2.3、在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，

16、且.（I）求角B的大小； （II）若，求ABC的面积. 解：（I）<解法一>：由正弦定理得 将上式代入已知 即 即 B为三角形的内角，. <解法二>：由余弦定理得 将上式代入 整理得 B为三角形内角， （II）将代入余弦定理得 ， . 易错点忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.,【防范措施】 解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】 在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a，b，12cos(BC)0，求边BC上的高错因忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根实录由12cos(BC)0，知cos A，A，根据正弦定理得：sin B，B或.以下解答过程略正解在ABC中，cos(BC)cos A，12cos(BC)12cos A0，A.在ABC中，根据正弦定理，sin B.ab，B，C(AB).sin Csin(BA)sin Bcos Acos Bsin A&#