椭圆题型方法总结

1、【椭圆题型方法总结】知识要点f一、椭圆的定义到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做椭圆。即：9 |PF|+PF2|=2a, (2a|FF2l)二、椭圆的方程。2 2 2 2(2) 般方程：mx2 ny2 = 1(m 0, n 0, m = n)或 Ax2 By2 二 C( A, B,C 同号)(1)标准方程x2 当=1( a b 0 )或-y2 笃=1( a b 0)(其中，a2 二 b2 + c2)a ba b三、椭圆的几何性质标准方程2 2冷心=1 ( a>b>0)ab2 2笃心=1 ( ab>0)ab图形y j厂丿xI性质范围a Ex

2、Ea, b 兰 y Eb-bExb, aEya对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点A(-a,0) , A(a,0)B(0,-b) , B2(0,b)A1(0,- a),A(0, a)B1(- b, 0),B2( b,0)隹占八、八、F1 ( c, 0)、1=2 (c, 0)F1 (0, c)、F2 (0, c)两轴长轴长2a,短轴长2b焦距F1F2 =2c, c2 =a2 - b2离心率ce = h (0 ce c1)a通径2b2a【易错点】：对于椭圆定义的把握要明确以下几点:（1）没有“平面内”这个条件，则是椭球而不是椭圆；（2）到两定点Fi、F2的距离之和为常数，常数必须要大于|FiF2|.

3、【易忽视点】：对于确定哪种形式的标准方程则要看焦点的位置，若 焦点在x轴上则x2的分母大，若焦点在y轴上则y2的分母大.【常用的思想方法】：方程的思想，解决椭圆问题的实质是确定 a,b,c的关系（方程），求a,b,c的方法是列方程组求解；O 2数形结 合的思想，充分运用几何图形所蕴藏的性质，注意观察分析。题型方法讲解f（一）椭圆的定义及标准方程X22、例1、已知 ABC的顶点B、C在椭圆+ y = 1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另 外一个焦点在BC边上，则 ABC的周长是（）（A） 2 诵（B） 6（C） 4击（D） 12【析】通过观察分析，充分巧妙利用定义（“ PF勺PF2 h 2a

4、 ”）是解决问题的关键2 2x轴的垂线交椭圆的)例2、如图，把椭圆 乂 y 1的长轴AB分成8等份，过每个分点作25 16上半部分于P,P2,B,P4, R,P6,P7七个点，F是椭圆的一个焦点，7则 RF|+|p2f|+|F3F|+|p4f|+|rf|+|p6f|+|bf| =【析】通过观察分析，利用对称性并结合定义处理。例3、如果x2ky2 =2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（A.0,二 B .0,2 C .1, ： D .0,1【析】一般方程f标准化；焦点在 y轴上则y2的分母大2 2例4、已知方程丄 =1表示椭圆，求k的取值范围。k _38_k【析】观察分析椭圆方程的特

5、征：X2和y2的分母均为正，且不相等（若相等即为圆的方程）2 2 2 2例5、已知k V4,则曲线A.长轴和短轴B.-=1和-xy 1有相同的(949-k4-k焦点 C. 离心率 D. 焦距【析】通过观察分析，充分把握平方关系c2 =a2 -b2 ”是解题的关键。例6、根据下列条件分别求椭圆的标准方程：1（1） 中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为，长轴长为8;2（2）椭圆经过 M（2,、.3）和 N （1,2、3）【析】求椭圆标准方程常用待定系数法，若不知道焦点位置，通常设方程为mx2 ny2 = 1（m0, n 0,m = n），解题的关键是建立方程组。【变式思考】1、 ABC两个顶点坐标

6、是 A（ 4,0）、玫4,0）,周长是18,则顶点C的轨迹方程2 2X y2、 已知M为椭圆1上一点，F1为椭圆的一个焦点，且 MF1 = 2 ,N为MF1中点,259则ON的长为2 23、 已知椭圆X一 一y1，长轴在y轴上，若焦距为4，则10 m m -22 24、 （ 2008浙江理12）已知F1> F2为椭圆- y 1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于259A、B两点.若F2 A十F2 B = 12，则 AB=.5、（2009陕西卷文）“ m 5”是“方程mx2 ny2 =1”表示焦点在y轴上的椭圆”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2

7、26、（2009北京文、理）椭圆y 1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若IPFj-4，则92| PF21 =; - F1PF2 的大小为7、( 2009广东卷理)巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为-1，且2G上一点到G的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆G的方程为.8、椭圆有一个光学性质：光线由一个焦点射出经椭圆壁反射后必然经过另一个焦点。现有一个椭圆形的台球桌，椭圆方程为2 2x2 + y2 =1( a：b：0), 一个球由该椭圆的一个焦点ab处击出，经桌壁反弹后又回到起点，则球所走的路程为()A. 4aB.2(ac)C. 2(a c)D.以上结果皆有可能2 29、已知椭圆

8、x2y2( a b 0)的离心率为ab(1)求椭圆的方程1 3-，且经过P(1 = )2 2(2)设F是椭圆的左焦点，判断以 PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系 并说明理由。2 210、(2010课标全国)已知F2为椭圆 笃笃=1 ( a b 0)的左右焦点，设过F, a b斜率为1的直线I与E相较于A、B两点。且 AF2 , AB , BF2成等差数列(1)求椭圆的离心率。设点P(0, -1)满足|PA = PB，求椭圆的方程。11、(2010安徽理数)19、(本小题满分13分)已知椭圆E经过点A 2,3，对称轴为坐标轴，焦点1F1, F2在x轴上，离心率e二一。2(I )求椭圆

9、E的方程；(n )求 F1AF2的角平分线所在直线I的方程；(川)在椭圆E上是否存在关于直线I对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。(二)椭圆的几何性质的考查(1)椭圆的几何性质的灵活运用例1、在平面直角坐标系 xOy中，已知 ABC顶点A(_4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆2 2x_ 2_=i上，则259sin A sin Csin B【析】根据标准方程确定a,b,c的值，并结合正弦定理的性质"a: b: c = sin A:sin B:sin C ” 即可。a b csin A sinB sinC=2R2w例2、椭圆y2 =1的两个焦点为 F2，过F1作垂直于X

10、轴的直线与椭圆相交,4A 3B.3C.7 2(a c)D.422【析】掌握椭圆通径长2b2-并结合椭圆定义即可解决a个交点为P,则pf2等于() (2)离心率的求法 椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法:求a，求c，再求比数形结合，充分利用图形蕴藏的数量关系，含a和c的齐次方程，再化含 e的方程,例1、如图，直线丨:x 2y + 2 =0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B,该椭圆的离心率为F z *人1B .2452航HA.C .D .5555厂,_kOf2X解方程即可例2、设椭圆的两个焦点分别为 F1、巨过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 卩，若厶F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A

11、.二 B.22-2 D. .2-1例3、设F、F2为椭圆的两个焦点，以 F2为圆心作圆F2,已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线 MF恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率 e为( )A. .3 1B.23 C.D.32【变式思考】1、（ 2010广东文数）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（4 3) A.B.C.5 5D.2、（ 2009江西卷理）过椭圆笃冷=1（ a b 0）的左焦点a bFi作x轴的垂线交椭圆于F2为右焦点，若.Fi PF 60，则椭圆的离心率为（3、已知F2为椭圆2 2X y2 =1 （ a b 0）的左右焦点，以 F1F2为

12、边作正三角形。a b若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，则椭圆的离心率为（A . 、3 -14、（2008湖北卷10）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞 向月球，在月球附近一点P轨进入以月球球心 F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P变点第二次变轨进入仍以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道n绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道川绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭轨道I和n的焦距，用 2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和n的长轴的长，给出下列式子： &a2a1c2;9 v黑a?其中正确式子的序号是A.B.C.D.5、（ 2008江苏）在平面直角坐标

13、系中，椭圆2 2a2b2= 1(a b - 0)的焦距为2,以O为圆心，a为半径的圆，过点,0作圆的两切线互相垂直，则离心率e=丿(3)焦点三角形面积公式:S .F1PF2b2%求证S F1PF2= b2ta n 二22例3、已知椭圆x2=1的焦点为F1、F2,点M在椭圆上且2轴的距离为()A.-B. 5C.2.3333MF 1 MF 2 = 0,则点 M到 xD. 3例4、(2009年上海卷理)已知F2是椭圆Ca2 b2(a > b >0)的两个焦点,2 2例1、已知椭圆 笃每=1(a b 0) , P为椭圆上任一点,a b2 2例2、设R,F2是椭圆 - 1的两个焦点，点 P在

14、椭圆上，且 F1PF2 =60°，916求厶F1PF2的面积。P为椭圆C上一点，且PR丄PF2 .若也PF1F2的面积为9，则b=2例5、若点P在椭圆 y2 =1上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，且 F1PF90 ,则2F1PF2的面积是()V31A. 2B.1C.D.-2 2例6、如图，片，F2分别为椭圆20 . y a2 b2=1的左、右焦点, POR是面积为'3的正三角形，贝U b2的值是点P在椭圆上,（4）有关b, c大小讨论的问题X2V2例1、椭圆1的焦点Fl、F2，点P为其上的动点，则使得 PFi _ PF2的点P的259个数为（）A. 0B.1C. 2 D. 4

15、例2、椭圆2 2X94=1的焦点Fi、F2，点P为其上的动点，当/F1 P F2为钝角时，点P横坐标的取值范围是 2 2x v例3、已知f1、F2是椭圆2 =1（ a > b > 0）的两个焦点，P为椭圆C上一点,a b且PF1 _ PF2 .求椭圆离心率的取值范围。2222(a> b> 0) 上 的一点,R、F2是椭圆的焦点，且/ FPF2=90°,例4、设P是椭圆a b2求证：椭圆的率心率e> 2.例5、（2008江西文、理科7）已知F1、F2是椭圆的两个焦点满足MF1MF2 = 0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A (0 , 1)B.

16、(0,丄2C （。）1)(三)点、线与椭圆的位置关系(1)位置关系的讨论问题2 2点P(xo, y。)与椭圆 笃 爲=1(a b . 0)的位置关系：a b2 2 丸鸟"二P(Xo,yo)在椭圆上。a b2 2 二P(Xo,yo)在椭圆外。a b2 2x0y02牙：1= P(Xo, yo)在椭圆内。a b研究直线与椭圆位置关系的问题往往转化为研究方程解得问题，要回根据韦达定理和判别式解决问题。2 2例1、当m为何值时，直线y = x m与椭圆X - 1相交？相切？相离？169例2、已知以Fi (2,o ), F2 ( 2,o )为焦点的椭圆与直线 x + J3y+4=o有且仅有一个交

17、点，则椭圆的长轴长为()A. 3.2B. 2.6C. 2、7D. 4 ,. 22 2例3、直线y -kx -1 =o(k R)与椭圆 -' =1恒有公共点，则b的取值范围是()5 bA. (0, 1)B. (0, 5)C. 1,5)(5, ：)D. (1,：)2 2例4、设椭圆笃吿=1(a b 0)a b的离心率为e =丄2右焦点为F(c,0),2ax bx - c = 0的两个实根分别为A.必在圆x2亠y2 = 2内C.必在圆x2 y2 =2外捲和 X2，则点 P(X1, X2)()2 2E.必在圆x y = 2上D.以上三种情形都有可能（2）弦长公式:AB = j1+k21、已知斜

18、率为1的直线求：（1）弦长|AB|X2）2 _4曲22 2I过椭圆彳 y 1的右焦点F2,交椭圆于32 ABF1的面积。% _x2A、B两点,2、F-i, F2是椭圆92y 1的两个焦点， A为椭圆上一点，且/7AF1F2 =45°，则AFi F2的面积为A.77 B 47.5223、过椭圆L5=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A, B两点,0为坐标原点,则厶OAB的面积为例4、AB是过椭圆2 21 54的一个焦点F的弦，若AB勺倾斜角为3，求弦AB勺长例5、（ 2008北京文科19）已知 ABC的顶点A, B在椭圆x2 3y2 =4上，C在直线I : y=x+2上，且AB/

19、 I .当AB边通过坐标原点 0时，求AB的长及 ABC的面积；例6、椭圆 ax2十by2 =1与直线x + y =1相交于代B两点，若AB =2逅,且AB的中点C与椭圆中心连线的斜率为，求实数a,b的值。22x 例7、若直线y=x+t与椭圆y2=1相交于A、B两点，当t变化时，求|AB|的最大值.(3)与椭圆有关的中点弦问题x2f 1 1、例1、已知椭圆 L + y2=1，求过点P丄,丄i且被P平分的弦所在的直线方程.2<2 2 丿【分析一】：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k 1(1 解法一：设所求直线的斜率为 k，则直线方程为y- = k x- i代入椭圆方程

20、，并整理得2< 2丿1 31 2k2 x2 _ 2k2 _2kx _k2 _k 0 2 22k2 _ 2k由韦达定理得为 x2二仝2k 1 +2k21 P是弦中点， x1 x2 =1.故得k =2所以所求直线方程为 2x 4y - 3 = 0 .【分析二】：设弦两端坐标为x1,y1> x2,y2,列关于x1、x2、y1、y2的方程组，从而求斜率:力-丫2X1 - X2解法二：设过P -，- I的直线与椭圆交于<2 2丿AX1, y1、B X2, y2，则由题意得"2舒y2=1,2准+谚=1,2% +x2 =1,y+y?"2 2得冬x2 yf -y| -0

21、.2将、代入得 山土二一丄，即直线的斜率为 -.X1 X222所求直线方程为2x，4y-3=0 .【说明】：有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”【变式思考】1、椭圆4x2 9y2 =144内有一点P (3, 2)过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为()A. 3x 2y-12=0B. 2x 3y-12 = 0C. 4x 9y -144 = 0D. 9x 4y -144 = 0x2 v22、过椭圆16七“内一点M (21)引一条弦使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程.3、过点P -1,1作直线与椭圆B两点，若线段AB的中点恰为P点,求AB所在的直线的方程和线段 AB的长度.n4、倾斜角为n的直线交椭圆42x 2v2 =1于A, B两点，求线段 AB中点M的轨迹方程.42 2笃 +每=1(a Ab>0)5、已知直线y= - x +1与椭圆a b相交于A B两点，且线段AB勺中点在直线 l : x -2 y=0上.(1) 求此椭圆的离心率；(2) 若椭圆的右焦点关于直线I的对称点的在圆x2+ y 2=4上，求此椭圆的方程.(4)与椭圆有关的最值与取值范围问题2 2例1、椭圆L丄 1上的点到直线x2y 一 2 =0的最大距离是()164A. 3B. ,11C. 2 . 2D. .102例2、求椭圆 y1上的点到直线x 一 y 6 =