北京大学量子力学课件_第22讲

1、 第第 二二 十十 二二 讲讲 自旋自旋 (1) (1) 电子自旋存在的实验事实电子自旋存在的实验事实 a. stern-a. stern-gerlachgerlach实验（实验（19221922年）年） stern-stern-gerlachgerlach发现，当一束处于基态的银发现，当一束处于基态的银原子通过这样的场时，发现原子通过这样的场时，发现仅分裂成二束仅分裂成二束，即仅，即仅二条轨道（两个态）。二条轨道（两个态）。 而人们知道，银原子（而人们知道，银原子（ ）基态）基态 ，所以没有轨道磁矩。所以没有轨道磁矩。 而分成二个状态（二个轨而分成二个状态（二个轨道）表明道）表明, , 存在

2、磁矩。这磁矩在任何方向上的存在磁矩。这磁矩在任何方向上的投影仅取二个值。这只能是电子本身的，这磁矩投影仅取二个值。这只能是电子本身的，这磁矩称为内禀磁矩称为内禀磁矩 。与之相联系的角动量称为电。与之相联系的角动量称为电子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。的动力学变量。47z 0 ls b. b. 碱金属光谱的双线结构碱金属光谱的双线结构 原子光谱中有一谱线，波长为原子光谱中有一谱线，波长为58935893。但精细测量发现，实际上，这是由两条谱线组成但精细测量发现，实际上，这是由两条谱线组成 na1193.5895d195.5889d

3、2 c.c.反常塞曼效应（反常塞曼效应（anomalousanomalous zeeman zeeman effect effect） 原子序数原子序数 为奇数的原子，其多重态是偶数，为奇数的原子，其多重态是偶数，在弱磁场中分裂的光谱线条数为偶数条如钠在弱磁场中分裂的光谱线条数为偶数条如钠 和和 的两条光谱线。在弱磁场中分裂为的两条光谱线。在弱磁场中分裂为 条和条和 条。这种现象称为反常塞曼效应。条。这种现象称为反常塞曼效应。 d. d. 在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相邻能级间距，并不一定为邻能级间距，并不一定为 ，而是，而是 。 z1d2d46b2e b

4、2egd 对于不同能级，对于不同能级， 可能不同，而不是简单为可能不同，而不是简单为( ( 被称为被称为 因子因子 ) )。 根据这一系列实验事实，根据这一系列实验事实，g. g. uhlenbeckuhlenbeck）（乌伦贝克）和乌伦贝克）和 s.s.goudsmitgoudsmit（古德斯密特）提出古德斯密特）提出 假设假设 电子具有自旋电子具有自旋 ，并且有内禀磁矩，并且有内禀磁矩 ，它们有关系，它们有关系 dg1dgeland gss smees 电子自旋在任何方向上的测量值仅取电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值两个值 ，所以，所以 以以 为单位，则为单位，则 （而（而 ）2ez

5、m2e ezzmes em2e2gs1 lg 现在很清楚，电子自旋的存在可由现在很清楚，电子自旋的存在可由diracdirac提出提出的电子相对论性理论自然得到。的电子相对论性理论自然得到。 考虑到辐射修正考虑到辐射修正 0023192. 2)21 (2gs (2) (2) 自旋微观客体的一个动力学变量自旋微观客体的一个动力学变量 a. a. 电子的自旋算符和它的矩阵表示电子的自旋算符和它的矩阵表示 由于电子具有由于电子具有自旋自旋，实验发现，它也具有，实验发现，它也具有内禀磁矩内禀磁矩 smees 假设：自旋算符自旋算符 有三个分量，并满足角有三个分量，并满足角动量所具有的对易关系动量所具有

6、的对易关系 a. a. 对易关系对易关系 b. 由于它在任意方向上的分量的测量值，由于它在任意方向上的分量的测量值，仅取二个数值仅取二个数值 ，所以skijkjisis,s 2 于是于是 是一常数是一常数 c. c. 矩阵形式矩阵形式 由于其分量仅取二个数值，也即本征值仅二由于其分量仅取二个数值，也即本征值仅二22z2y2x41sss222)211 (2143s 个，所以个，所以 可用可用 矩阵表示。矩阵表示。 . .若选若选 作为力学量完全集作为力学量完全集，即取，即取 表象，那表象，那 在自身表象中的表示自然为对角矩在自身表象中的表示自然为对角矩阵，而对角元就是它的本征值阵，而对角元就是它

7、的本征值 zyxs,s,s22zszszs10012)s(z相应的本征矢相应的本征矢其对应的表示为，其对应的表示为， . . 在在 表象中表象中 的矩阵表示的矩阵表示 21,21s, szssszm, smm, ss0110 yxs,szs 这只要将这只要将 作用于作用于 的基矢并的基矢并以以 基矢展开，从展开系数来获得基矢展开，从展开系数来获得. . 由由 得系数矩阵为得系数矩阵为 转置得转置得 yxs,szszs 1m, s) 1ms)(ms(1m, s) 1ms)(ms(2m, sssssssssx01102以及以及 01102)s(x1m, s) 1ms)(ms(1m, s) 1ms)

8、(ms(2im, sssssssssy其系数矩阵为其系数矩阵为 转置得转置得 对于对于 在在 方向上的分量为方向上的分量为 01102i0ii02)s(ys ,nzyxnscosssinsinscossins cosesinesincos2siin2sn ie2sin2cos2sn2cose2sini d.d. paulipauli operator operator；为方便起见，引入为方便起见，引入泡利算符泡利算符 于是，在于是，在 表象中有（或称表象中有（或称paulipauli表象）表象） 2sz 0110)(x 0ii0)(y 1001)(z 称为泡利矩阵称为泡利矩阵由此得由此得 ki

9、jkjii 2, 12z2y2x ijji2,izyx （2 2）考虑自旋后，状态和力学量的描述）考虑自旋后，状态和力学量的描述 a.a. 自旋波函数（电子的自旋态）自旋波函数（电子的自旋态） 对于对于 的本征方程为的本征方程为在其自身表象在其自身表象 ssszmmmszs10012)s(z 而相应本征态的表示为而相应本征态的表示为 01)21s(21z 10)21s(21z 是是 的本征值为的本征值为 的本征态在表象的本征态在表象 中的表示中的表示 ； 是是 的本征值为的本征值为 的本征态在表象的本征态在表象 中的表示中的表示 。 显然显然 正交正交 对于任何一旋量对于任何一旋量 在表象在表

10、象 中，其表示为中，其表示为 2)s(z 2)s(z zs2zszs2zs , zs而而 和和 可由可由 与与 标积获得标积获得 2()2( 2121aa 212121212121aaaa21a21a , 212121aaa)0 , 1 ( b. b. 考虑自旋后状态的描述考虑自旋后状态的描述 由于电子除了由于电子除了 之外，还有第四个之外，还有第四个 动力学变量动力学变量 ，它的特点仅取二个值，而，它的特点仅取二个值，而 。 所以，可在表象所以，可在表象 中表示中表示体系波函数。体系波函数。 对处于某状态对处于某状态 的体系可按自旋波函数的体系可按自旋波函数展开。展开。 212121aaa)

11、 1 , 0( z , y, xzs0s, r z)s, r (z 这即这即 在表象在表象 中表示。中表示。 如令如令 ) t , r (m, rsms )s, r (z) t ,2, r (2s, rz ) t ,2, r (2s, rz 则则 表象表象 中的表示为中的表示为 若若 是归一化的态矢量，则是归一化的态矢量，则 )s, r (z ) t , r () t , r () t ,2, r () t ,2, r ()m, r(2121s) t , r () t , r (2121 ssmm, rm, rrds 代表体系处于代表体系处于 而自旋向上的几率密度而自旋向上的几率密度 代表体系

12、处于代表体系处于 而自旋向下的几率密度而自旋向下的几率密度 如同一般变量可分离型一样，当如同一般变量可分离型一样，当 对对 和和 是变量可分离型的，则其特解为是变量可分离型的，则其特解为 rd)t , r () t , r () t , r () t , r (21212121 221 r221r hrzs)s() t , r () t ,s, r (zz c c考虑自旋后，力学量的表述考虑自旋后，力学量的表述 而在而在 表象中，表象中， 的表示为的表示为 l)s, r (z , 2121z)s, r( 2121z)s, r( 而在而在 表象中表象中 的表示为的表示为 所以方程所以方程 在在

13、表象中可表象中可表为表为 l)s, r (z)rr ()p, r (l),p, r (l)p, r (l),p, r (l)s,rls, r(22211211zz l)s, r (z zzzszs, rs,rrds,rls, rz) r () r () r () r ()p, r (l),p, r (l)p, r (l),p, r (l2121212122211211 2s)s,p, r (l2slziz112s)s,p, r (l2slziz12 直接由直接由 在在 表象中表示来获表象中表示来获得表象得表象 中的表示中的表示 2s)s,p, r (l2slziz212s)s,p, r (l2

14、slziz22)s,p, r (lizs)s, r (z 例：求算符例：求算符 在在 表象中的表示表象中的表示s r)s , r (zzyxs zs ys xs rz00z0iyiy00 xx0)p, r (l),p, r (l)p, r (l),p, r (l22211211 对任一算符的平均值为对任一算符的平均值为 dllrdllll),(212122211211*21*21 rdl2111*21 rdl2112*21 cosesinesincosrziyxiyxzii 例例：求：求 在态矢量在态矢量 中的平均值中的平均值 解：在解：在 表象中表象中 表示表示 rdl2121*21 rdl

15、2122*21 )i(21yx )s, r (z 而 00100ii0i011021)( ) r () r ()(2121 rd) r () r (0010)r (, ) r (212121*21 rd) r (, ) r (21*21 （3 3）考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔）考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程方程 a.a. 动能项动能项 在非相对论极限下，电子的动能为在非相对论极限下，电子的动能为 当计及电子的自旋后，波函数是两分量。当计及电子的自旋后，波函数是两分量。并注意到并注意到 2p t2 0b, a, )ba( iba)b)(a( 我们有我们有 而置于电磁场中时，则而

16、置于电磁场中时，则 p 21p t )aep (21)aep (t )aep ()aep (2i)aep (212 b. b. 自旋轨道耦合项自旋轨道耦合项 由由diracdirac方程可以证明，当电子在中心力场方程可以证明，当电子在中心力场中运动，哈密顿量（在非相对论极限下）中将出中运动，哈密顿量（在非相对论极限下）中将出现自旋轨道耦合项（现自旋轨道耦合项（thomasthomas项）（核提供的库项）（核提供的库仑屏敝场和自旋的作用导致）仑屏敝场和自旋的作用导致） ， b2e)aep(212 ls) r ( dr) r (dvr1cm21) r (22e c c电子置于电磁场中的哈密顿量电子

17、置于电磁场中的哈密顿量 d.d.处于中心场中的电子，并置于电磁场处于中心场中的电子，并置于电磁场中的薛定谔方程为中的薛定谔方程为 )b(2els)r ()r (ve)aep(21h2 )b(els)r ()r (ve)aep(ti2212 应该注意，在应该注意，在 表象中，这时表象中，这时 是两是两分量的，即分量的，即 （1 1，2 2，3 3项是对角矩阵）项是对角矩阵）)s, r (z 2121 2121222112112121hhhhti 7.3 7.3 碱金属的双线结构碱金属的双线结构 引进电子自旋后，我们就能够利用量子力学引进电子自旋后，我们就能够利用量子力学理论来解释原子光谱中的复杂

18、结构及在外电磁场理论来解释原子光谱中的复杂结构及在外电磁场中的现象中的现象 （1 1）总角动量）总角动量 a.a.总角动量总角动量引入：当考虑电子具有自旋后引入：当考虑电子具有自旋后 电子在中心力场中的电子在中心力场中的 hamiltonianhamiltonian为为 sl) r () r (vp21h2 由于自旋轨道耦合项，由于自旋轨道耦合项， 和和 都不是运动都不是运动 常数常数. dr) r (dvr1cm21) r (22 ls l,lsl,lssl,lyzyxzxzxyyxslislis,sls,slsl,syzyxzxzxyyxlsilsi因此，因此，( )( )不能构成力学量完

19、全集不能构成力学量完全集 但但 即即 引入引入 而而 0sl,lszz 0sl, slslj kijkjijij,j zz2s,l,l,h由于有心势由于有心势所以，所以， 彼此对易彼此对易0sl, j0sl,j20l, j20l,j220j, j20 j,h0j,h2z22j ,j,l,h 因此因此 可作为力学量的完全集可作为力学量的完全集（如无（如无 ，可选，可选 ） b. b. 的共同本征矢的表示的共同本征矢的表示（在（在 表象中）表象中） )j ,j ,l,h(z22sl)s,l,l,h(zz2)j,j,l(z22zs, ),(),()2,()2,()s,(21z 1. 1. 它是它是的

20、本征函数的本征函数 取取 zj21j21zm)j( 2j1j21z)21m()21m()l( 22j2z11j1z) 1m()21m(lm)21m(l 21mmj 2 2它们是它们是 的本征函数的本征函数因此因此 3 3由由 2l21212) 1l ( ll 1lmlmzbyay)s,( )s,()s,(jz2z2 在在 表象中矩阵表示表象中矩阵表示xxyyzz2222ls2ls2ls2sl)sl(jzs, z22yxyxz222l43l,)lil()lil(,l43ljbaba 1m43) 1l ( l , ) 1ml)(ml () 11ml)(1ml (,m43) 1l ( l 0 1m4

21、3) 1l ( l , ) 1ml)(ml ()ml)(1ml (,m43) 1l ( l 0)41l)(43l 2l ()21l 2l 2(2222 )23l)(21l ()43l 2l (2 )21l)(21l ()41l (2 即得 的本征值1m, lm, lzljmymly1ml1l 21)s,(j 21lj21mmj1lml21lj2j2) 1j ( j 由此可见，由此可见， 取确定值取确定值 ，而，而 不不具有确定值，它们取值为具有确定值，它们取值为21mmjlm1lzjjmzzl,s m21) 1m(211m, lm, ly1mlyml1l 21)s, (zljmj 事实上，上述

22、就是事实上，上述就是 基矢以基矢以 基矢展开。基矢展开。 z222j,j,s,lzz22s,l,s,l21lj21mmj21, s1m, l1l 2ml21, sm, l1l 21mlm, j , s, lj21lj21mmj即从即从 a a 表象表象 b b 表象表象 a,b a,b 就是平常称的幺正变换系数就是平常称的幺正变换系数 )s,s,l,l(z2z2)j,j,s,l(z222ab)s(aba)s(ab21, s1m, l1l 21ml21, sm, l1l 2mlm, j , s, lj 于是在中心势中，考虑了电子的自旋，则其于是在中心势中，考虑了电子的自旋，则其特解特解 sljbam21,m, lm, j , l21s jjljmnljnljmr jjnljm2nljm2) 1l ( lljjnljm2nljm2) 1j ( jjjjnljmjnljmzmjjjnljmnljnljmeh 例：电四极矩例：电四极矩 电四极矩算符电四极矩算符 在原子物理和原子核物理中，测量的电四极在原子物理和原子核物理中，测量的电四极矩给出的值的定义为矩给出的值的定义为（对于一个电荷均匀分布的带电体，其大小，符（对于一个电荷均匀分布的带电体，其大小，符号，反映了体系的形状）号，反映了体系的形状） 先看先看 )rxx3(qqqqij2jiijij jmjzzjjm, j ,