线性空间练习题

1、精品文档. 线性空间 练习题一、单项选择题r3中下列子集（）不是 r3的子空间a 1|),(233211xrxxxw b0|),(333212xrxxxwc|),(32133213xxxrxxxw d|),(32133214xxxrxxxw二、判断题1. 设nnpv则,0n nwa apa是v的子空间 . 2、已知(,), , ,vabi cdia b c dr为r上的线性空间，则维 (v）2. 3、设线性空间v 的子空间w中每个向量可由w中的线性无关的向量组12,sl线性表出，则维 (w)s 4、设w是线性空间 v的子空间，如果,vww，且则必有.w三、 1已知,|001rbabaw,|00

2、11112rcacaw是22r的两个子空间，求2121,wwww的一个基和维数2已知关于基,321的坐标为（ 1，0，2） ，由基,321到基,321的过渡矩阵为012001423，求关于基,321的坐标四、设np是数域 p上的 n 维列向量空间，2,n napaa且记nwax xpwx xpaxn12,0,1. 证明：21,ww都是np的子空间；2. 证明：21wwpn. 线性变换练习题精品文档. 一、填空题1 设123,是 线 性 空 间v的 一 组 基 ，v的 一 个 线 性 变 换在 这 组 基 下 的 矩 阵 是3 3112233(),ijaaxxxv则在 基321,下 的 矩 阵b

3、 _， 而 可 逆 矩 阵t_满足1,btat在基123,下的坐标为 _ . 2设a为数域p上秩为r的n阶矩阵， 定义n维列向量空间np的线性变换：( ),nap,则1(0) _，1dim(0)_，dim()np_ . 3复矩阵()ijn naa的全体特征值的和等于_ ，而全体特征值的积等于_ . 4设是n维线性空间v的线性变换，且在任一基下的矩阵都相同，则为_变换 . 5数域p上n维线性空间v的全体线性变换所成的线性空间()l v为 _维线性空间，它与_同构 . 6设n阶矩阵a的全体特征值为12,nl，( )f x为任一多项式， 则()f a的全体特征值为_ . 二、判断题1设是线性空间v的

4、一个线性变换，12,svl线性无关， 则向量组12(),(),()sl也线性无关 . （）2设为n维线性空间v的一个线性变换，则由的秩的零度n，有1()(0).vv（）3在线性空间2r中定义变换：( , )(1,)x yx y，则是2r的一个线性变换. （）4若为n维线性空间v的一个线性变换，则是可逆的当且仅当1(0) 0. （）5设为线性空间v的一个线性变换，w为v的一个子集， 若()w是v的一个子空间， 则w必为v的子空间 . （）三、计算与证明1设00111100aa ，问a为何值时，矩阵a可对角化 ? 并求一个可逆矩阵x,，使-1x ax=. 精品文档. 2在线性空间np中定义变换：1

5、22(,)(0,)nnx xxxx（1）证明：是np的线性变换 . （2）求()np与1(0).（3）1()(0).nnpp3若a是一个n阶矩阵，且2aa，则a的特征值只能是0 和 1. 欧氏空间练习题一、填空题1设v是一个欧氏空间，v，若对任意v都有( , )0，则_2在欧氏空间3r中，向量(1,0, 1)，(0,1,0)，那么(,)_，_3在n维欧氏空间v中，向量在标准正交基12,nl下的坐标是12(,)nxxxl，那么( ,)i_，_4两个有限维欧氏空间同构的充要条件是_5已知a是一个正交矩阵，那么1a_，2a_二、判断题1在实线性空间2r中，对于向量1212(,),(,)x xyy，定

6、义1122(,)(1)x yx y，那么2r构成欧氏空间。 ( ) 2在n维实线性空间nr中，对于向量1212(,),(,)nna aab bbll，定义1 1(,)a b，则nr构成欧氏空间。 ( ) 312,nl是n维欧氏空间v的一组基，1212(,),(,)nnxxxyyyll与分别是v 中的向量,在这组基下的坐标，则1122(,)nnx yx yx yl。( ) 4对于欧氏空间v中任意向量，1是v中一个单位向量。( ) 512,nl是n维欧氏空间的一组基，矩阵ijn naa，其中(,)ijija，则 a是正定矩阵。( ) 6设v是一个欧氏空间，,v，并且，则与正交。 ( ) 7设v是一

7、个欧氏空间，,v, 并且(,)0，则,线性无关。 ( ) 精品文档. 8若,都是欧氏空间v的对称变换，则也是对称变换。( ) 三、计算题1把向量组1(2,1,0)，2(2,0,1)扩充成3r中的一组标准正交基. 2求正交矩阵t，使t at成对解角形。220212020a四、证明题1设a，b为同级正交矩阵，且ab，证明：0ab2设a为半正定矩阵，且0a，证明：0ae3证明：n维欧氏空间v与tv同构的充要条件是，存在双射:vv，并且,v有小 测 验 九一、填空题1 、 已 知 三 维 欧 式 空 间v中 有 一 组 基123,， 其 度 量 矩 阵 为110120003a， 则 向 量12323的

8、长度为。2 、设10212112,),(2，aar则中的内积为在 此 内 积 之 下 的度 量 矩 阵为。3、在 n 维欧几里德空间中，一组标准正交基的度量矩阵为。4 、 在 欧 氏 空 间4r中 ， 已 知(2,1,3,2),(1,2,2,1)， 则|，与的 夹 角 为（内积按通常的定义） 。5、设nr为欧氏空间，则有柯西-施瓦茨不等式：。二、已知二次型222123123121323(,)()222f x xxt xxxx xx xx x（1） t 为何值时二次型f 是正定的？（2）取1t，用正交线性替换化二次型f 为标准形三、设123,是 3 维欧氏空间v 的一组基，这组基的度量矩阵为精品

9、文档. 112121216（1）令12，证明是一个单位向量；（2）若123k与正交，求k四、设为 n 维欧氏空间v 中一个单位向量，定义v 的线性变换a 如下：2(,),.av证明：（1）a 为第二类的正交变换（称为镜面反射）。（2）v 的正交变换b 是镜面反射的充要条件为1 是 b 的特征值，且对应的特征子空间的维数为n-1. 五、已知是对称变换，证明：的不变子空间w的正交补w也是的不变子空间小测验 (六) 一、填空题1、已知000, ,00avabca b crcb是3 3r的一个子空间，则维（ v）， v 的一组基是. 2、在 p4中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(

10、1, , 1,1),(0,1,1)kk线性无关，则k 的取值范围是. 3、已知 a是数域 p 中的一个固定的数，而1( ,),1,2, niwa xxxp inll是 pn+1的一个子空间，则a，而维 (w). 4、设 pn是数域 p上的 n 维列向量空间，2,n napaa且记12,0,nwax xpwx xpax则 w1、w2都是 pn的子空间，且 w1w2，12wwi. 5、设123,是线性空间 v 的一组基，112233xxx，则由基123,到基231,的过渡矩阵 t，而在基321,下的坐标是. 二、计算与证明精品文档. 1、在线性空间 p22中，121212112111,10110137aabb1）求1212(,)(,)l aal bbi的维数与一组基 . 2）求1212(,)(,)l aal bb的维数与一组基 . 2、在线性空间 p4中，求由基1234,到基1234,的过渡矩阵，并求(1,4,2,3)在基1234,下的坐标，其中1234(1,0,0,0),(4,1,0,0),( 3,2,1,0),(2,3,2,1)1234(1,1,8, 3),(0, 3,7, 2),(1,1,6, 2),( 1,4,1,1).3、设13,021) 证明：在 pn n与 a 可交换的矩阵的全体w 是一个子空间；2) 求 w 的维数和一组基；3) 写出 w 中矩阵