高等数学：D6_2几何应用

1、目录 上页 下页 返回 结束 四、四、 旋转体的侧面积旋转体的侧面积 (补充补充) 三、已知平行截面面积函数的三、已知平行截面面积函数的 立体体积立体体积第二节一、一、 平面图形的面积平面图形的面积二、二、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 第六六章 目录 上页 下页 返回 结束 ybxa)(2xfy )(1xfy O一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfAd)(dxxfAbad)(边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 xxfxfAbad)()(21Oxbay)(xfy x

2、xdxxxxd目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算两条抛物线22,xyxy在第一象限所围图形的面积 . 解解: 由xy 22xy 得交点) 1, 1 ( , )0,0(xxxAd)(d22332x01331x3110AxyOxy 22xy xxxd) 1 , 1 (1目录 上页 下页 返回 结束 Oxy224 xyxy例例2. 计算抛物线xy22与直线的面积 . 解解: 由xy224 xy得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有42Ayyyd目录 上页 下页 返回 结

3、束 ab例例3. 求椭圆12222byax解解: 利用对称性 , xyAdd所围图形的面积 . 有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式xxxdxyO目录 上页 下页 返回 结束 yxabOabOyx一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 )()(tytx给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值21,tt则曲边梯形面积21d)()(tttttA)(1axt对应)(1bxt对应目录 上页 下页 返回 结束 xya2O例例4. 求由摆线)cos

4、1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20Attad)cos1 (2022目录 上页 下页 返回 结束 2. 极坐标情形极坐标情形,0)(, ,)(C设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积 .)(r d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212A xO目录 上页 下页 返回 结束 对应 从 0 变例例5. 计算阿基

5、米德螺线解解:)0( aardd)(212a20A22a331022334a到 2 所围图形面积 . a2xO目录 上页 下页 返回 结束 心形线 xa2Ottadcos82042例例6. 计算心形线所围图形的面积 . 解解:)0()cos1 (aardd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用对称性)2t令28a43212223a心形线心形线心形线(外摆线的一种)xyaO2222yxaxayx即)cos1 ( ar点击图中任意点动画开始或暂停 尖点:)0,0( 面积:223 a 弧长:a8参数的几何意义目录 上页 下页 返回 结束 2coscos21)2cos1 (21aa2

6、xyO例例7. 计算心形线与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性 ,)0()cos1 (aar所求面积ar d)cos1 (2122a2221aA 22221aad)2cos21cos223(2432122aa22245aa 2目录 上页 下页 返回 结束 a2sin2a例例8. 求双纽线所围图形面积 . 解解: 利用对称性 ,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0则所求面积为42a思考思考: 用定积分表示该双纽线与圆sin2ar 所围公共部分的面积 .2Adsin2026ad2cos21462a4答案答案:4yxO目录 上页 下页 返回 结束 二、平面曲线的

7、弧长二、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,0M1iMiMnM当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni 10lims则称OAByx目录 上页 下页 返回 结束 sdabyxO(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs目录 上页 下页 返回 结束 (2) 曲线弧由参数方程给出:)()()(tt

8、ytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs目录 上页 下页 返回 结束 (3) 曲线弧由极坐标方程给出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :(自己验证)目录 上页 下页 返回 结束 )ch(cxccxccsh1例例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成悬链线 .求这一段弧长 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22eechxx

9、x )(chx2eeshxxx )(sh xxshxchcxbbOy下垂悬链线方程为目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 求连续曲线段ttyxdcos2解解:,0cosx此题22xxysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos2220022sin222x4目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20( t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyOa2目录 上页 下

10、页 返回 结束 d222aa例例12. 求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解解:)0( aard)()(d22rrsd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aara2Oar 目录 上页 下页 返回 结束 三三、已知平行截面面积函数的立体体积、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), ,)(baxA在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(xabxxxd)(xA上连续,目录 上页 下页 返回 结束 Oxy)(yx特别 , 当考虑连续曲线段2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时,

11、 有轴绕xbxaxfy)()(xdbaV当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVycdxyabxyabO)(xfy x目录 上页 下页 返回 结束 ayxb例例13. 计算由椭圆12222byax所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程)(22axaxaaby则xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234abOaV02xy d2x目录 上页 下页 返回 结束 方法方法2 利用椭圆参数方程tbytaxsincos则xyVad202ttabdsin23222 ab3223

12、4ab1 02特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积.343aayxbOx目录 上页 下页 返回 结束 a2xyO例例14. 计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解解: 绕 x 轴旋转而成的体积为xyVaxd202利用对称性利用对称性 022)cos1 (2tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令xyad202目录 上页 下页 返回 结束 xyOa2a绕 y 轴旋转而成的

13、体积为)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a注注)(1yxx 注 注注分部积分对称关于2202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226目录 上页 下页 返回 结束 柱壳体积说明说明: xxxdy也

14、可按柱壳法求出yVyx2柱面面积xyxd2)cos1 ()sin(tayttaxxyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02Oa2xy目录 上页 下页 返回 结束 偶函数yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇奇函数336a目录 上页 下页 返回 结束 轴所围图及表示xtxxfytV)0(, )()(例例15. 设)(xfy 在 x0 时为连续的非负函数, 且 ,0)0(f形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积

15、, 证明:. )(2)(tftV 证证:xtxxd利用柱壳法xxfxtVd)()(2d则xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 故)(xfxOy目录 上页 下页 返回 结束 例例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并与底面交成 角,222Ryx解解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立

16、体的体积 .ORxyx目录 上页 下页 返回 结束 ORx),(yxyR思考思考: 可否选择 y 作积分变量 ?此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22目录 上页 下页 返回 结束 解解: 垂直 x 轴的截面是椭圆1)1 ()1 (22222222axaxczby例例17. 计算由曲面1222222czbyax所围立体(椭球体)它的面积为)1 ()(22axcbxA因此椭球体体积为xbcaxd)1 (22cb20acba34特别当 a = b = c 时就是球体体积 .)(axaaV02x233axx的体积.

17、Oazxycb目录 上页 下页 返回 结束 例例18. 求曲线132xy与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.(1994 考研)解解: 利用对称性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋转体体积为V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限 xxd)4(322122x12yBCAO3目录 上页 下页 返回 结束 四、旋转体的侧面积四、旋转体的侧面积 (补充补充)设平面光滑曲线, ,)(1baCxfy求上的圆台的侧面积位于d,xxxsySd2d积分后得旋转体的侧面积xxfxfSbad)(1)

18、(22,0)(xf且它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .取侧面积元素:)(2xfxxfd)(12xxyO)(xfy ab目录 上页 下页 返回 结束 xyO)(xfy absySd2d侧面积元素xyd2sdxd若光滑曲线由参数方程)()()(ttytx给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的)(2ttttd)()(22S注意注意:侧面积为xyd2原因是的线性主部 .不是薄片侧面积S 目录 上页 下页 返回 结束 xxfxfSbad)(1)(22R xyO例例19. 计算圆上绕在,21222RRxxxRyxx 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .解解: 对曲线弧,2122xxxxR

19、y应用公式得212xxS22xR 21 22xRxxd21d2xxxR)(212xxR当球台高 h 2 R 时, 得球的表面积公式24RS 1x2xOzyx目录 上页 下页 返回 结束 例例20. 求由星形线一周所得的旋转体的表面积 S .解解: 利用对称性2022Sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32绕 x 轴旋转 taytax33sin,cosOyx星形线 星形线)()()(ttytx)(2ttttd)()(22S星形线星形线taytax33sin,cos星形线是内摆线的一种.点击图片任意处

20、点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停大圆半径 Ra小圆半径4ar 参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动时, 小圆上的定点的轨迹为内摆线)aOyxt目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小21d)()(tttttAd)(212A目录 上页 下页 返回 结束 3. 已知平行截面面积函数 A(x) 的立体体积baxxAVd)(旋转体的体积2)(yxA绕

21、 x 轴 :4. 旋转体的侧面积sySd2d侧面积元素为(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)yxxA2)(绕 y 轴 :(柱壳法)(xyy ,)(轴旋转绕xxyy 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .提示提示: 交点为, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032 yxyxO13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧线段部分直线段部分)52ln()376ln(4155373s以 x 为积分变量 , 则要分两段积分, 故以 y 为积分变量. 目录 上页 下页 返回 结束 2. 试用定积分求

22、圆)()(222bRRbyx绕 x 轴RbR上上半圆为22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(xRbxd求体积 :提示提示:方法方法1 利用对称性旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .OxyRV02bR222目录 上页 下页 返回 结束 OxyRbR方法方法2 用柱壳法Vdy2x2ydRbRbV4ybyRyd)(22ybR222说明说明: 上式可变形为2 RV b2d2bR 20上上半圆为,22xRby下下 y22xRx此式反映了环体元素的另一种取法(如图所示). dd2bRV目录 上页 下页 返回 结束 OxyRbR求侧面积求侧面积 :R02)(222xRbxyd12R02)(222xRbxyd12相同二者2yRb08xyd12bR24利用对称性RS2b2S上式也可写成d2bR20上上半圆为,22xRby下下 y22xRx它也反映了环面元素的另一种取法: d2dbRS目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P284 2 (1) , (3) ; 3; 4; 5 (2) , (3) ; 8 (2) ; 9; 10; 22; 25; 27 ; 30 面积及弧长部分面积及弧长部分： 体积及表面积部分：体积及表面积部分：P286 13; 14 ; 15 (1), (4) ; 17; 18补充题补充题: 设有曲线 , 1xy过