高等数学：D6习题课

1、目录 上页 下页 返回 结束 习题课1. 定积分的应用定积分的应用几何方面几何方面 : 面积、 体积、弧长、 表面积 .物理方面物理方面 : 质量、作功、 侧压力、引力、2. 基本方法基本方法 : 元素法元素形状 : 条、段、 带、 片、扇、环、壳 等.转动惯量 .定积分的应用 第六六章 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求抛物线21xy在(0,1) 内的一条切线, 与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解: 设抛物线上切点为)1 ,(2xxM则该点处的切线方程为)(2)1 (2xXxxY它与 x , y 轴的交点分别为, )0,(212xxA) 1,0(2xB所指面积)(xSxx2)

2、 1(2122102d)1 (xx324) 1(22xx11MBAyxO使它目录 上页 下页 返回 结束 )(xS) 13() 1(22412xxx,33x0)( xS,33x0)( xS故为最小值点, 因而所求切线为34332XY,0)( xS令得 0 , 1 上的唯一驻点33x, 1 , 0)(33上的唯一极小值点在是因此xSx 11MBAyxO目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设非负函数上满足在 1,0)(xf)()(xfxfx曲线)(xfy 与直线1x及坐标轴所围图形(1) 求函数; )(xf(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解: (1)时，当0 x由方程

3、得axxfxfx23)()(2axxf23)(,223xa面积为 2 ,体积最小 ? 即xCxaxf223)(故得目录 上页 下页 返回 结束 xyO又10d)(2xxfxxCxad2321022CaaC 4xaxaxf)4(23)(2(2) 旋转体体积Vxxfd)(1021610132aa,01513aV令5a得又V 5a,0155 a为唯一极小值点, 因此5a时 V 取最小值 .1)(xf目录 上页 下页 返回 结束 0 xe例例3. 过坐标原点作曲线xyln轴围成平面图形D.(1) 求 D 的面积;(2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积.解解: (1) 设切点的横坐标

4、为,0 x则所求切线方程为)(1ln000 xxxxyxxy及ln, 01ln0 x由切线过原点知的切线. 该切线与曲线因此0, ex 故切线方程为1eyxD 的面积为eyx 12eDxylnyOx1eyx110()deeyAyy(2003考研)目录 上页 下页 返回 结束 (2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积.(2) 切线、x 轴及直线ex 2113eV ex 所围三角形绕直线旋转所得圆锥的体积为曲线、x 轴及直线ex 1220() deeyVyex 所围图形绕直线旋转所2(41)2ee因此所求旋转体体积为21251236eeVVV0 xeeyx DxylnyOx1ey

5、x1得旋转体体积为目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明曲边扇形),(0,0rr 绕极轴.dsin)(323rVox)(rr drd证证: 先求d,上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积.doxV体积元素rrddrsin2 roxVddsin2rrrd)(02dsin)(323r故dsin)(323rVox旋转而成的体积为rO目录 上页 下页 返回 结束 xy224xxyOyx)d5(dxu 故所求旋转体体积为xxxd5)2(225157516xxxVd)2(552220uVdd2APxd2ud例例5. 求由xy2与24xxy所围区域绕xy2旋转所得旋转体体积.解解: 曲线与直线的交点坐标为)

6、,4,2(A曲线上任一点)4,(2xxxP到直线xy2的距离为xx2251),(2如图为数轴以uxy u则目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 半径为 R , 密度为的球沉入深为H ( H 2 R ) 的水池底, 水的密度多少功 ? 解解: 建立坐标系如图 .则对应d,xxx上球的薄片提到水面上的功元素为1dWxy d2提出水面后的功元素为2dW)(d2xRxygxxRxRgd)(22,0 xxRHxRgd)()(220H),(yxxyxO现将其从水池中取出, 需做体积元素所受重力上升高度g)(0)(xRH目录 上页 下页 返回 结束 xxRHxRgWd)()(d2201xxRxRgWd)(

7、d222因此功元素为21dddWWWxxRgd)( 22 球从水中提出所做的功为WxxRxRHgRRd)()()( 2200“偶倍奇零偶倍奇零”xxRRd)(220gRHR)(34003)( 200RHgH)(0)(0 xR HxyxO目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 设有半径为 R 的半球形容器如图.(1) 以每秒为a 的速度向空容器中注水, (0 h R ) 时水面上升的速度 .(2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最少应为多少 ? 解解: 过球心的纵截面建立坐标系如图.Oxy则半圆方程为2x22yyR hR设经过 t 秒容器内水深为h ,. )(thh 则求水深为 h 目录 上页 下页 返回 结束 OxyhR(1) 求thdd由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为而高为 h 的球缺的体积为半球可看作半圆绕 y 轴旋转而成体积元素:yx d2222yyRx)(hVyyRyhd)2(20故有t ayyRyhd)2(20两边对 t 求导, 得)2(2hRhthddathdd)2(2hRhaa t ,目录 上页 下页 返回 结束 (2) 将满池水全部抽出所做的最少功 为将全部水提对应于d,yyyyx d2体积元素:元素的重力