高等数学教学课件：Lecture 06-Rules for the Existence of Limits

1、复习复习1. 无穷小无穷小与无穷大的定义与无穷大的定义2. 无穷小无穷小与函数极限的关系与函数极限的关系3. 无穷小无穷小与无穷大的关系与无穷大的关系几点注意几点注意:1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的无穷小和无穷大是相对于过程而言的;2. 无穷小无穷小(大大) 是变量，不能与很小是变量，不能与很小(大大)的数混淆的数混淆;3. 零零是是唯一可唯一可作为无穷小的数；作为无穷小的数；4. 无无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.1. 极限运算法则极限运算法则(1) 无穷小运算法则无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则注意使用条

2、件注意使用条件2. 求函数极限的方法求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法分式函数极限求法时时, 用代入法用代入法( 要求分母不为要求分母不为 0 )01) xx时时, 对对型型 , 约去公因子约去公因子02) xx00时时 , 分子分母同除最高次幂分子分母同除最高次幂3) x (2) 复合函数极限求法复合函数极限求法设中间变量设中间变量a. 多项式多项式与分式函数代入法求极限与分式函数代入法求极限;b. 消消去零因子法求极限去零因子法求极限;c. 无穷小无穷小因子分出法求极限因子分出法求极限;d. 利用利用无穷小运算性质求极限无穷小运算性质求极限;e. 利用换元法求复合函数的极限利用换元法

3、求复合函数的极限;f.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.极限极限求求法法38231limxxx )(limxxxxx 1412lim xxx2lim1 nmnmxxxxxxxx2tan4/)(tanlim 的极限？的极限？5, 55, 555 ,.第六节第六节极限存在准则极限存在准则两个重要极限两个重要极限二、二、 两个重要极限两个重要极限 一一、极限存在准则、极限存在准则一、极限存在准则一、极限存在准则1. 夹逼准则夹逼准则 )(0Nn 那么数列那么数列 的极限存在的极限存在, 且且 nxlimnnxa 准则准则I 如果数列如果数列 及及 满足下列条件满足下列条件nnyx

4、 ,nz(1)(1,2,3)nnnyxzn(2) lim,lim,nnnnyaza(Sandwich Theorem),naya即即上两式同时成立上两式同时成立, azxyannn该该准则准则可以推广到函数的极限可以推广到函数的极限证证,azaynn, 0 ,nnnzxy ,azaynn120,0,NN使使得得当当 时，时，1nN ,nya 恒恒有有当当 时，时，2nN ,nza 恒恒有有12max,NNN 取取当当 时，时，nN ,naza0 00N ，当当 时，时，nN 恒恒有有 lim.nnxa 成成立立,nxa 成成立立注意注意:准则准则 I 和和准则准则 I 称为称为夹逼准则夹逼准则

5、.存在存在, 且等于且等于 . )(lim)( 0 xfxxx 那么那么A准则准则 I)(0 xUxo (或或)时时,有有如果当如果当|xM (1)( )( )( ),g xf xh x 00()()(2) lim( ),lim( ),xxxxxxg xAh xA利用夹逼准则求极限关键是构造出利用夹逼准则求极限关键是构造出 并且并且 的极限的极限容易求得容易求得且相等且相等. nnyz与与( ( ), ( ),g x h x( ( )( ( )nnyg xzh x与与例例1解解由由夹逼准则夹逼准则得得222111lim().12nnnnn求求222211,11nnnnnnnn21limlim1

6、1nnnnnn 又又1, 221limlim111nnnnn 1, . 1)12111(lim222 nnnnn 1lim(123 )nnnn 求求例例2解解11112(123 ) =(333)1nnnnnnnn 1133132nnn 1331231nnn 13 3n 3 1 lim333nn 1lim(123 )3nnnn(2009年期中年期中)练习练习. 222111lim2nnnnnn求求2. 单调单调有界准则有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列如果数列如果数列 满足条件满足条件nx121,nnxxxx 121,nnxxxx 准则准则 单调有界数列必有极限单调有界数列

7、必有极限. .x1x2x3x1nx nx几何解释几何解释:AM 例例3333()nxn重重根根式式证明证明,.的的极极限限存存在在 并并求求其其极极限限证证1,nnxx 显然显然 nx是单调递增的是单调递增的133,x 又又3,kx 假假定定13kkxx 333, ;nx是是有有界界的的lim.nnx存存在在lim.nnxA设设13,nnxx 213,nnxx 21limlim(3),nnnnxx 23,AA113,2A 解解得得1132A (舍去舍去)113lim.2nnx (07期中期中)21lim( !)nnn1lim(123 )nnnn (09期中期中)设数列设数列 满足满足 nx10

8、,x 1sin() (1,2,)nnxxn 证明证明 存在，并求该极限。存在，并求该极限。limnnx(10期中期中)1lim( ( )nnf x( )f x在区间在区间 上正值连续，求上正值连续，求 , a b(06期中期中)lim,limnnnnn aaan 求求(05期中期中)圆扇形圆扇形AOB的面积的面积二、二、 两个重要极限两个重要极限 证证:即即AOB 的面积的面积AOD的面积的面积OBAx1DC0sin1. lim1xxx 12sinx 12x,12tan x 亦即亦即sintan ,xxxsincos1xxx(0)2x 各项同除以各项同除以 并求倒数，得：并求倒数，得：sin

9、x 0limcos1,xx 0sinlim1xxx时的情形时的情形仅考虑仅考虑(0,)2x 注注当当时时02x01cos1cosxx22sin2x 222x 22x 0lim(1cos)0 xx注：由证明过程得重要不等式注：由证明过程得重要不等式.,sinRxxx 例例4 (P52,1)解解0tanlim.xxx求求0tanlimxxx 0sin1limcosxxxx 00sin1limlimcosxxxxx 1 0sinlim1.xxx 解解:因此因此原式原式例例5. 求求0arcsinlim.xxx令令arcsin,tx 则则sin ,xt 0limsinttt 01lim t sintt

10、1 0tan2lim22xxx2 0tan2limxxx思考：思考：0tanlim2yyy 2yx 令令()0sin)lim1( ).xxx 0tan2limxxx说明说明: 计算中注意利用计算中注意利用例例6 (P52,2)解解0sinlim1.xxx 201coslim.xxx 求求2202sin2limxxx 原原式式220sin12lim22xxx 20sin12lim22xxx 21121.2 201coslim1.2xxx 例例7解解22sin(4)lim.2xxx 求求222sin(4)lim(2)4xxxx 原原式式2222sin(4)limlim(2)4xxxxx 1 44

11、0sinlim1.xxx 解解例例8 0sinlim8,?xkxkx若若00sinsinlimlimxxkxkxkxkx 0sinlimxkxkkkx8 2.1(1)nnxn先证先证1lim(1).nnn 存存在在21(1)111!2!nn nnn (1)(1)1!nn nnnnn11112111(1)(1)(1)(1).2!nnnnnn 111112111(1)(1)(1)(1)2!1!111112(1)(1)(1).(1)!111nnxnnnnnnnnnn 1,nnxx 显然显然是单调增加的是单调增加的 nx1lim(1)xxex;nx是是有有界界的的11112111(1)(1)(1)(1

12、).2!nnxnnnnn 11112!nxn 1111122n 1121112n 1132n 3, 1lim(1)nnen记为记为(2.71828)e 1lim(1)xxex以下证明以下证明 lim.nnx存存在在从而从而111(1)(1)(1), 1 xxx 当当 时，时，1x 1,xxx有有1lim(1)nnen 11lim(1) xxx 而而 11lim(1)lim(1) xxxxx, e 1lim(1) 1xxx 1111lim(1)lim(1) 1 1xxxxx, e 1lim(1).xxex 1xxx 1lim(1),xxex再证再证,tx 令令1lim(1).xxex 11lim

13、(1)lim(1)xtxtxt 1lim(1)1ttt 111lim(1)(1)11tttt . e 1lim(1)xxex10lim(1)xxxe可可证明证明1,tx 令令lim()1tttt 例例9解解1lim(1)xxex1lim(1) .xxx 求求1lim (1)xx 原原式式1x 1lim1(1)xxx 1.e 解解1lim (1)2xx 原原式式 22x 41(1)2x 例例1023lim().2xxxx 求求2.e 内容小结内容小结1. 极限极限存在的两个存在的两个准则准则夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .2. 两个重要极限两个重要极限0sin(1)lim1 1(

14、2)lim (1)e10lim(1)e或或 代表相同的表达式代表相同的表达式思考题思考题求极限求极限思考题解答思考题解答 1 lim 39xxxx 1lim39xxxx 111lim913xxxxx13319lim13xxxxx 099e013.limsin_ ;xxx 12.limsin_ ;xxx sin1.lim_ ;xxx 1练习题练习题014.lim(1)_.nnn1e 00arc tan3.lim_.xxx 一、填空题一、填空题:0sin1.lim_.xxx 0sin22. lim_.sin3xxx sin5.lim_.2xxx 106.lim(1)_.xxx练练 习习 题题04.limcot3_.xxxtan242.lim (tan )xxx 217.lim()_.xxxx 18.lim(1)_