工学工程力学PPT课件

1、第第 8 章章 扭扭 转转8-1 薄壁圆筒扭转时的应力与应变薄壁圆筒扭转时的应力与应变8-2 圆杆扭转时的应力与变形圆杆扭转时的应力与变形 8-3 强度条件及刚度条件强度条件及刚度条件8-4 等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能8-5 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转第1页/共76页第六章涉及到第六章涉及到杆件扭转问题杆件扭转问题ABabobM| m| mLMBxMTMmmAMTxM 杆件在横向平面内外力偶作用下发生扭扭转变形转变形， B B截面相对于A A截面产生相对扭转角扭转角 bobo b b第2页/共76页本章研究内容（1）薄壁圆筒薄壁圆筒扭转时的应力和应变；（2）圆截面等

2、直杆圆截面等直杆受扭时的应力和应变；（3）简要介绍非圆截面杆非圆截面杆受扭变形。ABabobM| m| mLM第3页/共76页薄壁圆筒受扭后，圆周线与纵直线之间直角改变了一个小角度g剪应变剪应变。8-1 8-1 薄壁圆筒扭转时的应力与应变薄壁圆筒扭转时的应力与应变LMMg (rad)厚度， r r半径第4页/共76页变形特点：变形特点：LMMg (rad)(2) 假设材料均匀连续，圆筒横截面周线上剪应力大小必相等。MMT(1)圆筒横截面周线上各处剪应变相同;剪应力的方向：横截面外圆的切向横截面外圆的切向剪应力发生在圆筒的外切平面内第5页/共76页 （3）薄壁圆筒圆周上各点处剪应力的方向沿 外周

3、线的切线。说明：（2）薄壁圆筒圆周上各点处的剪应力值相同；（1）薄壁圆筒圆周上各点处的剪应变值相同；第6页/共76页薄壁圆筒薄壁圆筒受扭时，可以认为横截面上的剪应力大小处处相等，方向则垂直于相应半径的径向。MMT（=M）第7页/共76页从而有r用平均半径 r0 近似代替，则已知剪应力t的分布规律，则可由静力学关系(d )TAMrAt00dTAMrArAtt 00020(2) =2TTTMMrArrMrt当 / /r0=10%，其误差为4.5%计算公式前提：假设薄壁圆筒扭转剪应力大小沿径向不变第8页/共76页由图得知则r半径LrgrLgLMMg (rad)厚度 r 薄壁圆筒纯扭转实验表明当外加力

4、偶矩在某一范围内时，扭转角 与外力偶矩MT T之间成正比。MTO第9页/共76页t tp剪应比例极限202TMrrLtggott tpMTO材料的剪切虎克定律GtgG材料剪切弹性模量，量纲MPa 普通钢:G约为 8.0104MPa tp随钢种而异,对A3钢t 120 MPa物理关系第10页/共76页 理论分析和实验都表明，对于各向同性材料，剪切弹性模量G与两弹性参数E和n之间存在关系：n泊桑比E弹性模量2(1)EGn第11页/共76页回顾回顾(07-11-7)几何方程TAdMA tGtgddxg静力学方程物理方程薄壁圆筒、实心圆剪应力分布规律？G、E、n关系？剪切应变定义平面假设2 (1)EG

5、n第12页/共76页 实心圆截面和非薄壁空心圆截面杆受扭时，横截面上的剪应力并非如受扭薄壁圆筒截面中那样均匀分布。 横截面上的剪应力确定剪应力在圆横截面上的变化规律任务8-2 圆杆扭转时的应力与变形根据横截面上任意半径为 圆上的某点处剪应力 t 与 的关系。（1）静力学关系（2）几何关系（3）物理关系第13页/共76页实验如图表明：（1）等直圆杆受扭时，表面上原来圆周线变形后只是绕杆轴线转动，其大小和形状都未改变；且在变形较小的情况时，圆周线的相对纵向距离也不变。几何关系（2）平面假设：等直杆受扭时，其横截面如刚性圆盘般绕杆轴线转动。此时，其横截面上任一半径直线绕圆心旋转了一个角度，其形状仍然

6、保持为直线。ABabMTMTob第14页/共76页TMTMdx圆柱面上剪应变：按平面假设，一定时g为常量，故d/dx也为常量，即：ddxgdg取圆柱微段 长： dx 半径： 扭矩：MTrLg等直圆柱受扭时g g 与 成线性关系第15页/共76页在圆柱表面：在线弹性范围内受扭等直杆 横截面上剪应力 (1)在同一半径 的圆周上各点处大小相同，方向垂直于半径， (2)随 线性变化； (3)最大剪应力在圆周边缘上。 ddGxtggddGxtMTttmax物理关系几何关系第16页/共76页下图为空心圆轴之横截面，受扭矩为 MT，试绘出水平直经AB上各点处剪应力的变化图。思考题8-1.OABMT第17页/

7、共76页MT12思考题8-2 一受扭圆轴,由实心杆1和空心杆2紧配合而成。整个杆受扭时两部分无相对滑动,试绘出剪应力沿水平直经的变化图，若（1）两杆材料相同，即 G1=G2=G；（2）两材料不同，G1=2G2。第18页/共76页MTG1=G2=G21第19页/共76页MTG1=2G221第20页/共76页静力学关系与 MT没有联系起来若等截面圆杆在 MT作用下，则t如何？?ddGxtr第21页/共76页TAdMAtddGxt2TAAdd()ddddMGAGAxx2TAdddMGAxd/dx为常数第22页/共76页IP是 一 个 反 映 截 面 几 何 特 征 的 参 数 ， 称 为横截面极惯性

8、矩2PAdIA定义2TAdddMGAxTPddMGIxTPddMxGIddGxtTP= =MI第23页/共76页抗扭截面模量TPMItrmaxPPTmaxrIIWrTmaxTMWt定义常用单位：mm3，m3(1) 适用于圆截面等直杆在线弹性范围内受扭情况;(2)r是等直杆外径。第24页/共76页可见 d2dA 对象：实心圆截面、空心圆截面极惯性矩IP和抗扭截面模量WTo2PAdIA求解：d4P32dI22422P002d2d4ddAIA(1)对实心圆棒3PT/216IdWd第25页/共76页（外径D，内径d）/2/2224P/2A/2442d2d4 =()32DDddIADd/d D式中：(2

9、)对于空心圆截面 44P(1)32DI34PT(1)/216IDWD不要出错！薄壁圆环 Dd2t (td)43P22 2324DtD tID2T2D tW第26页/共76页扭转角TAdddGxMAttTPddMxGITPddMxGIT00PddLLMxGI第27页/共76页（rad）GIp称为抗扭刚度， GIp越大，扭转角越小 。若 L 范围内 MT 是常量，GIP 也为常量，则比较：TPM LGINLLEAABabMTMTobT0PdLMxGITPLggG G= = =MI第28页/共76页 一水轮机的功率为一水轮机的功率为Nk=7350kW，其竖轴是直，其竖轴是直径为径为d=650mm、长

10、度为、长度为l=6000mm的等截面实心钢轴，材料的等截面实心钢轴，材料的 剪 切 弹 性 模 量 为的 剪 切 弹 性 模 量 为 G = 8 0 G P a 。 求 当 水 轮 机 以 转 速。 求 当 水 轮 机 以 转 速n=57.7r/min匀速旋转时，轴内的最大切应力及轴的两个端匀速旋转时，轴内的最大切应力及轴的两个端面间的相对扭转角面间的相对扭转角 。OT例题例题 8-2已知： 1w=1Nm/s水轮机每分钟耗功 W=Nkkw*1minkwW=60NkkW kNm1kw 1000 60Nm/min 60kNm/min外力偶T对轴每分钟作功 W=Tw w TkNm 22 nr/min

11、 kkkwkwkNm/min/min609.552rrNNTnnTP mkNmMLG I单位系： ，第29页/共76页解：解：作用在轴上的外力偶矩作用在轴上的外力偶矩T为为9.55 7350/57.71217(kN m)T 6T1.22 10 N mM kkwkNm/minkNmmPm9.55rNTnTLGI3T3 33/16 (650 10 )0.0539mWd maxT/22.6MPaT Wt极惯性矩极惯性矩44p/320.0175mIdTp 0.00523radMLG I第30页/共76页 图示传动轴系钢制实心圆截面轴。已知：图示传动轴系钢制实心圆截面轴。已知：T1=1592Nm，T2=

12、955Nm，T3=637Nm，截面，截面A与截面与截面B、C之间的距离分别为之间的距离分别为lAB=300mm 和和lAC=500mm。轴径。轴径d=70mm, 钢的剪切模量钢的剪切模量G=8 104 MPa 。试求截面。试求截面C对对B的扭的扭转角。转角。例题例题 8-3 dT2T3T1lABlACBAC解：假想解：假想A截面不动截面不动I1ppII2ppABABABACACACM lTlGIGIM lT lGIGI第31页/共76页C、B截面相对扭转角截面相对扭转角 BC：4p/32Id36243955 0.3(80 10 10 )(/32)(7 10 ) 1.52 10radAB31.6

13、9 10radAC同理：1p2pABABACACTlGIT lGIm, N, Pa4 1.7 10radBCACAB dT2T3T1lABlACBAC所以，所以，C截面相对截面相对B截面顺时针转动截面顺时针转动第32页/共76页思考题思考题 8-3 实心圆轴的直径实心圆轴的直径d =100 mm，长长l =1m，作用在两个端面上的外力偶之矩作用在两个端面上的外力偶之矩均为均为T=14 kNm，但转向相反。材料的剪切模量，但转向相反。材料的剪切模量G=8 104 MPa。求：。求：(1) 横截面上的最大剪切应力，以横截面上的最大剪切应力，以及两个端面的相对扭转角。及两个端面的相对扭转角。(2)

14、图示横截面上图示横截面上ABC三点处切应力三点处切应力的大小及方向。的大小及方向。ABCO25第33页/共76页(1) t tmax=71.3 MPa = 0.01784 rad(2) t tA=t tB=t tmax= 71.3 MPa t tC=35.7 MPa思考题思考题8-3答案：答案：ABCO25TPMItTPM LGI第34页/共76页 如图所示的扭转超静定问题，若假想地解除如图所示的扭转超静定问题，若假想地解除B端的约束，而利用端的约束，而利用B截面的截面的扭转角为零作为位移条件求解，试列出其求解过程。扭转角为零作为位移条件求解，试列出其求解过程。思考题思考题8-4AablCBT

15、0BATBTB第35页/共76页先考虑先考虑 T 作用，则作用，则只考虑只考虑TB的作用，则的作用，则1ppBAT ACT aGIGI 1ppp()BBBBATABTabTlGIGIGI思考题思考题8-4参考解答：参考解答：0BATBTBal第36页/共76页几何相容条件：几何相容条件：上述结果可与书例题上述结果可与书例题8-3进行比较。进行比较。120BBABABpp0T lTaGIGI得得BTaTlATBTBal则则AB()T laTTTl第37页/共76页思考题思考题 8-6 直径直径d =25 mm的钢圆杆，受轴向拉力的钢圆杆，受轴向拉力60 kN作用时，在标距为作用时，在标距为200

16、 mm的的长度内伸长了长度内伸长了 0.113 mm；当它受一对矩为；当它受一对矩为0.2 kNm的外力偶作用而扭转时，的外力偶作用而扭转时，相距相距200 mm的两个横截面相对转动了的两个横截面相对转动了0.732的角度。试求此圆杆所用钢材的的角度。试求此圆杆所用钢材的弹性常数弹性常数E、G和和n n。第38页/共76页思考题思考题8-6答案答案4284P4.906 10m3.833 10mAI52.16 10 MPFlEaAlGtg2(1)EG10.3222EG 4pp18.17 10 MPa/TTlIlI第39页/共76页斜截面上的应力斜截面上的应力扭转破坏实验表明：扭转破坏实验表明：(

17、1) 低碳钢试件沿横截面剪断；低碳钢试件沿横截面剪断；(2) 铸铁试件沿与轴线成铸铁试件沿与轴线成45的螺旋线剪断；的螺旋线剪断；(3) 木材试件沿与轴线平行的方向劈裂。木材试件沿与轴线平行的方向劈裂。研究类似铸铁试件破坏原因研究类似铸铁试件破坏原因考虑斜截面上的应力。考虑斜截面上的应力。第40页/共76页(1) 左、右横截面：轴向截面(2) 顶、底面：径向截面(3) 前、后面：切向截面 假想对扭杆切开斜截面，由于应力分布不均匀，不能象单轴拉伸那样切开斜截面分析应力。方法：方法：从局部点上切一个单元从局部点上切一个单元体体AxTadcbA第41页/共76页ECFDBAGMTMT思考题思考题 8

18、-5 从如图所示受扭实心圆截面杆中，以径向截面从如图所示受扭实心圆截面杆中，以径向截面ABEF取出的分离体（半个圆取出的分离体（半个圆柱体）。试绘出柱体）。试绘出（1）横截面）横截面AGB上应力沿直径上应力沿直径AB的分布；的分布；（2）径截面）径截面ABEF上应上应力分别沿直径力分别沿直径AB、CD、EF的分布。的分布。第42页/共76页从受扭圆杆件表面取从受扭圆杆件表面取出处于纯剪切状态的出处于纯剪切状态的一单元体一单元体A，取，取A的前的前平面如图平面如图(1)所示。所示。 研究任意斜截面研究任意斜截面de上上的应力，如图的应力，如图(1，2)所示。所示。de 斜面作斜面作用用着着未知的

19、正应力未知的正应力 和和切切应力应力t t 。xTa dcbyabcdenx(1)tt(2)detnxcttt第43页/共76页设设de的面积为的面积为dA，则，则dcceddcosddsinAAAAdcce( d)sin( d)cosd0nFAAAtt简化后：简化后：sin2t 同理同理由由0Ft得：得：cos2tt即：即：sin2cos2ttt detnxcttt( dcos)sin( dsin)cosd0AAAtt第44页/共76页(1)(3)(3)sin2cos2ttt detnxcttt讨论：讨论：ooomax=180 -45 ,-45t omax=0,90ttt(4)(4)ooom

20、in=+45 180 +45t ，(2)oo45 ,180450ot铸铁圆柱扭转破坏的根本原因是材料在45方向的拉伸破坏tttt45o45oTT断裂线断裂线 min max铸铁圆杆的抗扭铸铁圆杆的抗扭强度以纯剪横截强度以纯剪横截面上的面上的t t 为依据为依据第45页/共76页 实心或空心圆截面杆受扭时材料危险点在横截面边缘处：实心或空心圆截面杆受扭时材料危险点在横截面边缘处：8-3 强度条件及刚度条件强度条件及刚度条件1. 强度条件强度条件受扭圆杆的强度条件：受扭圆杆的强度条件：max ttmaxTTmax/MWtTTmax/ MWt(1) 校核强度校核强度(2) 选择截面尺寸选择截面尺寸(

21、3) 计算容许荷载计算容许荷载第46页/共76页2. 刚度条件刚度条件 以单位长度杆的扭转角以单位长度杆的扭转角q q (=d /dx )的最大值的最大值q qmax不超不超过许容值过许容值q q 来表达刚度条件，即来表达刚度条件，即max qqq 为单位长度杆的容许扭转角，单位o/m对于等直圆杆，其对于等直圆杆，其q qmax按下式计算：按下式计算：maxp180 TMGIqTmaxpTmaxpd (rad)d180 = (degree)MxGIMGIqq单位系：单位系：MT Nm，G Pa Ip m4，q qo/m0.150.30 o/m(精密仪器轴) ， 2 o/m(一般轴)第47页/共

22、76页 阶梯形圆柱直径分别为阶梯形圆柱直径分别为d1=4cm, d2=7cm，轴上装有轴上装有3个皮带轮如图所示。已知由轮个皮带轮如图所示。已知由轮3输入的功输入的功率为率为N3=30kW，轮轮1输出的功率为输出的功率为N1=13kW, 轴作匀轴作匀速转动速转动,转速转速n=200转转/分分，材料的剪切许用应力材料的剪切许用应力t t =60MPa，G=80GPa，许用扭转角，许用扭转角q q=2 /m。试校。试校核轴的强度和刚度。核轴的强度和刚度。第八章第八章 扭扭 转转例题例题 8-40.5 m0.3 m1 mACDB123d1d2T1T2T3第48页/共76页解解:计算扭矩：计算扭矩：强

23、度校核：强度校核：119.559.55 13/2000.612kN mNTn339.559.55 30/2001.432kN mNTn23123100.811kN mTTTTTT例题例题 8-40.5 m0.3 m1 mACDB123d1d2T1T2T30.5 m0.3 m1 mACDB123d1d2T1T2T31311max,323T16 0.621 1049.4MPa10狭长狭长第65页/共76页 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为h =100 mm, b=50 mm,长度长度l =2 m，在杆的两端作用一，在杆的两端作用一对矩为对矩为T的扭转力偶。已知的

24、扭转力偶。已知T=4000 Nm，钢的允许切，钢的允许切应力应力 t t =100MPa，G = 8104 MPa , q q =1o /m, 试校试校核杆的强度和刚度。核杆的强度和刚度。解：解：mN4000 T/100/502h b 493. 0,457. 0 b b 查表得：查表得：36333tm106 .61)1050(493. 0 bWb b于是：于是：例题例题 8-11已知第66页/共76页以上结果表明，此杆满足强度和刚度条件的要求。以上结果表明，此杆满足强度和刚度条件的要求。43 484t0.457 (50 10 )286 10mIb6maxt/4000/(61.6 10 )65MPa100MPaT Wt108t/4000/(8 10286 10 )0.01845rad/m1 /m T GIqq例题例题 8-11第67页/共76页1. 薄壁圆筒扭转时的应力和变形薄壁圆筒扭转时的应力和变形小结小结(09-11-11)2. 圆杆扭转时的应力和变形圆杆扭转时的应力和变形(1) 横截面上的应力横截面上的应力20(1)2MTrt材料的剪切胡克定律材料的