电磁场基本方程ppt课件

1、第二章第二章 电磁场根本方程电磁场根本方程 Electromagnetic field equationsElectromagnetic field equations2.0 电磁场的源电磁场的源 2.1 静态电磁场的根本定律和根本场矢量静态电磁场的根本定律和根本场矢量 2.2 法拉弟电磁感应定律和全电流定律法拉弟电磁感应定律和全电流定律 2.3 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 2.4 电磁场的边境条件电磁场的边境条件 2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量 2.6 独一性定理独一性定理 一、电荷与电荷密度一、电荷与电荷密度 Charge and charge Charge and

2、 charge densitydensity1 1、体电荷密度、体电荷密度v体电荷：电荷延续分布在一定体积内构成的电荷体。体电荷：电荷延续分布在一定体积内构成的电荷体。v体电荷密度体电荷密度 的定义：的定义：( )r0( )limVqdqrVdV在电荷空间在电荷空间V V内，任取体积元内，任取体积元 ，其中电荷量为，其中电荷量为Vq( )Vqr dV2.0 2.0 电磁场的源量电磁场的源量 Source of Source of Electromagnetic field Electromagnetic field 电荷和电流是产生电磁场的源电荷和电流是产生电磁场的源2 2、面电荷密度、面电荷

3、密度v面电荷：当电荷只存在于一个薄层上时，称电荷为面电荷。面电荷：当电荷只存在于一个薄层上时，称电荷为面电荷。v体电荷密度体电荷密度 的定义：的定义：( )sr0( )limsSqdqrSdS 在面电荷上，任取面积元在面电荷上，任取面积元 ，其中电荷量为，其中电荷量为Sq( )sSqr ds3 3、线电荷密度、线电荷密度v线电荷：当电荷只分布在一条细线上时，称电荷为线电荷。线电荷：当电荷只分布在一条细线上时，称电荷为线电荷。v线电荷密度线电荷密度 的定义：的定义：( )lr0( )limllqdqrldl 在线电荷上，任取线元在线电荷上，任取线元 ，其中电荷量为，其中电荷量为lq( )llqr

4、 dl4 4、点电荷、点电荷000( )lim0VrqrrVv点电荷：当电荷体体积非常小，可忽略其体积时，称为点电荷：当电荷体体积非常小，可忽略其体积时，称为点电荷。点电荷可看作是电量点电荷。点电荷可看作是电量q q无限集中于一个几何点上。无限集中于一个几何点上。v运动的电荷构成电流。电流大小用电流强度运动的电荷构成电流。电流大小用电流强度I I描画。描画。0( )limtqdqI ttdt v电流强度电流强度I I的定义：的定义： 设在设在 时间内经过某曲面时间内经过某曲面S S的电量为的电量为 ，那么定义，那么定义经过曲面经过曲面S S的电流为：的电流为： qtv电流强度的物理意义：单位时

5、间内流过曲面电流强度的物理意义：单位时间内流过曲面S S的电荷量。的电荷量。v恒定电流：电流大小恒定不变。即：恒定电流：电流大小恒定不变。即：( )I tconst二、电流与电流密度二、电流与电流密度 Electronic current(density) Electronic current(density) v引入电流密度矢量引入电流密度矢量 描画空间电流分布形状。描画空间电流分布形状。J1 1、体电流密度、体电流密度 Volume Electronic current Volume Electronic current density density v体电流：电荷在一定体积空间内流动所

6、构成的电流体电流：电荷在一定体积空间内流动所构成的电流v体电流密度体电流密度 定义：定义：J Sje设正电荷沿设正电荷沿 方向流动，那么在垂直方向流动，那么在垂直 方向上取一面元方向上取一面元 ，假设在，假设在 时时间内穿过面元的电荷量为间内穿过面元的电荷量为 ，那么：，那么：jejeStq000limlimsstqIJtSS Jv为空间中电荷体密度，为空间中电荷体密度， 为正电荷流动速度。为正电荷流动速度。vqVSt v 2)2)( )SIJ r ds( )SJ rnds ( )J rnS( ) cosSJ rds2 2、面电流密度、面电流密度 Surface Electronic curr

7、ent Surface Electronic current density density v当电荷只在一个薄层内流动时，构成的电流为面电流。当电荷只在一个薄层内流动时，构成的电流为面电流。v面电流密度面电流密度 定义：定义：sJ I lJS 电流在曲面电流在曲面S S上流动，在垂直于上流动，在垂直于电流方向取一线元电流方向取一线元 ，假设经，假设经过线元的电流为过线元的电流为 ，那么定义，那么定义lI0limslIdIJldl 1 1 的方向为电流方向即正电荷运动方向的方向为电流方向即正电荷运动方向sJ讨论：讨论：2 2假设外表上电荷密度为假设外表上电荷密度为 ，且电荷沿某方向以，且电荷沿

8、某方向以速度速度 运动，那么可推得此时面电流密度为：运动，那么可推得此时面电流密度为：svssJv留意：体电流与面电流是两个独立概念，并非有体留意：体电流与面电流是两个独立概念，并非有体电流就有面电流。电流就有面电流。3 3、线电流与电流元、线电流与电流元v电荷只在一条线上运动时，构成的电流即为线电流。电荷只在一条线上运动时，构成的电流即为线电流。v电流元电流元 ：长度为无限小的线电流元。：长度为无限小的线电流元。Idl3 3穿过恣意曲线的电流：穿过恣意曲线的电流：SlSlInd lJJnd l IsJnl证明2.1 2.1 静态电磁场的根本定律和根本场矢量静态电磁场的根本定律和根本场矢量根本

9、场矢量：根本场矢量：电场强度电场强度E电通量密度电位移矢量电通量密度电位移矢量D磁通量密度磁通量密度 (磁感应强度磁感应强度)B磁场强度磁场强度H根本定律：根本定律：库仑定律库仑定律 高斯定理高斯定理毕奥毕奥-萨伐定律萨伐定律安培环路定律安培环路定律v静电场：恒定不变的电场，由静止电荷产生。即：静电场：恒定不变的电场，由静止电荷产生。即：v恒定电磁、场：恒定电流所产生的电场和磁场。恒定电磁、场：恒定电流所产生的电场和磁场。静态电磁场：静电场、恒定电场、恒定磁场静态电磁场：静电场、恒定电场、恒定磁场图图 2-1 两点电荷间的作用力两点电荷间的作用力 库仑定律描画了真空中两个点电荷间相互作用力的规

10、律。库仑定律描画了真空中两个点电荷间相互作用力的规律。一、库仑定律 Coulombs Law 2 .1 .1 库仑定律和电场强度库仑定律和电场强度Coulombs Law and Electronic field indensity122q qFrKr式中式中, K是比例常数是比例常数, r是两点电荷间的间隔是两点电荷间的间隔, 是从是从q1指向指向q2的单的单位矢量。假设位矢量。假设q1和和q2同号同号, 该力是斥力该力是斥力, 异号时为吸力。异号时为吸力。在国际单位制中在国际单位制中, 库仑定律表达为库仑定律表达为 r 1220()4q qFrNr式中式中, q1和和q2的单位是库仑的单位

11、是库仑(C), r的单位是米的单位是米(m), 0是真空的介是真空的介电常数电常数: mF /1036110854. 89120阐明：阐明：v2 2、库仑定律是在无限大的均匀、线性、各向同性介质中、库仑定律是在无限大的均匀、线性、各向同性介质中总结出的实验定律。总结出的实验定律。v1 1、静止点电荷之间的相互作用力称为静电力。两个点、静止点电荷之间的相互作用力称为静电力。两个点电荷之间静电力的大小与两个电荷的电量成正比、与电荷电荷之间静电力的大小与两个电荷的电量成正比、与电荷之间间隔的平方成反比，方向在两个电荷的连线上。之间间隔的平方成反比，方向在两个电荷的连线上。v3 3、静电力服从叠加原理

12、，当有多个点电荷存在时，其中、静电力服从叠加原理，当有多个点电荷存在时，其中任一个点电荷遭到的静电力是其他各点电荷对其作用力的任一个点电荷遭到的静电力是其他各点电荷对其作用力的矢量叠加矢量叠加 v4 4、对于延续分布的电荷系统如体电荷、面电荷和、对于延续分布的电荷系统如体电荷、面电荷和线电荷，静电力的求解不能简单地运用库仑定律，必线电荷，静电力的求解不能简单地运用库仑定律，必需进展矢量积分需进展矢量积分 v5)由库仑定律知由库仑定律知, 在离点电荷在离点电荷q间隔为间隔为r处的电场强度为处的电场强度为 204qErr二、电场强度二、电场强度单位正电荷在电场中所受的作用力称为该点的电场强单位正电

13、荷在电场中所受的作用力称为该点的电场强度，以度，以E E 表示。表示。 0limqqFE式中式中q q 为实验电荷的电量，为实验电荷的电量，F F 为电荷为电荷q q 遭到的作用力。遭到的作用力。 阐明：阐明：v1 1对对q q取极限是防止引入实验电荷影响原电场；取极限是防止引入实验电荷影响原电场；v2 2电场强度的方向与电场力的方向一致；电场强度的方向与电场力的方向一致；v3 3电场强度的大小与实验电荷电场强度的大小与实验电荷q q的电量无关。的电量无关。v4) 4) 电场的单位：牛顿电场的单位：牛顿/ /库仑库仑(N/C)(N/C)定义：定义：2(/)DE C m24qDrr 是媒质的介电

14、常数是媒质的介电常数, 在真空中在真空中=0。 这样这样, 对真空对真空中的点电荷中的点电荷q, 0r 除电场强度除电场强度E外外, 描画电场的另一个根本量是电通量密度描画电场的另一个根本量是电通量密度D, 又又称为电位移矢量。称为电位移矢量。 在简单媒质中在简单媒质中, 电通量密度由下式定义电通量密度由下式定义: 一、电通量密度： Electronic flux电通量电通量:电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量经过该曲面的电通量电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量经过该曲面的电通量二、高斯定理二、高斯定理2 .1 .2 高斯定理高斯定理, 电通量密度电通量密度Gausss Law, El

15、ectronic fluxGausss Law 2244SqD dsrqrq此通量仅取决于点电荷量此通量仅取决于点电荷量q, 而与所取球面的半径无关。而与所取球面的半径无关。q假设在封锁面内的电荷不止一个假设在封锁面内的电荷不止一个, 那么利用叠加原理知那么利用叠加原理知, 穿出封锁面的电通量总和等于此面所包围的总电量穿出封锁面的电通量总和等于此面所包围的总电量 SD dsQ即穿过任一封锁面的电通量即穿过任一封锁面的电通量, 等于此面所包围的自在电荷总电量等于此面所包围的自在电荷总电量取积分曲面为半径为取积分曲面为半径为r的球面，电通量为的球面，电通量为 ：高斯定理：高斯定理：阐明：阐明：假设

16、封锁面所包围的体积内的电荷是以体密度假设封锁面所包围的体积内的电荷是以体密度v分布的分布的, 那么那么所包围的总电量为所包围的总电量为 dvQVvvVVDdvdv上式对不同的上式对不同的V都应成立都应成立, 因此两边被积函数必定相等因此两边被积函数必定相等, 于是有于是有 vD高斯定理的微分方式高斯定理的微分方式三、利用高斯定理求解静电场三、利用高斯定理求解静电场v关键：高斯面的选择。关键：高斯面的选择。v高斯面的选择原那么：高斯面的选择原那么：v用高斯定理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分用高斯定理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分布的电荷系统。布的电荷系统。1 1场点位于高斯面上；场点

17、位于高斯面上；2 2高斯面为闭合面；高斯面为闭合面；3 3在整个或分段高斯面上，在整个或分段高斯面上， 或或 为恒定值。为恒定值。EE dS求真空中半径为求真空中半径为a a，带电量为，带电量为Q Q的导体球在球外空间中产生的导体球在球外空间中产生E E。分析：分析：电场方向沿半径方向：电场方向沿半径方向：电场大小只与场点间隔球心的间隔相关。电场大小只与场点间隔球心的间隔相关。解：在球面上取面元解：在球面上取面元dsds，该面元在，该面元在P P点点处产生的电场径向分量为：处产生的电场径向分量为：201cos4srdsdERsindsadad 式中：式中：coscosraR222sin(cos

18、 )Rara24sQa例题一例题一230cossin4srradEad dR 223000230020cossin4cossin24rrsssEdEaraddRaradRQr 阐明：与位于球心的点电荷阐明：与位于球心的点电荷Q Q在空间中产生的电场等效。在空间中产生的电场等效。知真空中电荷分布函数为：知真空中电荷分布函数为：200rarra式中式中r为球坐标系中的半径求空间各点的电场强度。为球坐标系中的半径求空间各点的电场强度。解：解：0ra由高斯定理由高斯定理( )SD r dSQ 200( )4SVE r dSQrEr dV 2245000sin4sin5VVrr dVr rd d drd

19、dr drr ra 545Vr dVa5205raEer305rrEe例例2 .1 .3 毕奥毕奥-萨伐定律萨伐定律, 磁通量密度磁通量密度The Biot-Savart Law, Magnetic flux density 运动电荷在磁场中遭到的作用力的特点：运动电荷在磁场中遭到的作用力的特点：与电荷量及运动速度的大小成正比，而且还与电荷的运动方向与电荷量及运动速度的大小成正比，而且还与电荷的运动方向有关。有关。电荷沿某一方向运动时受力最大，而垂直此方向运动时受力为电荷沿某一方向运动时受力最大，而垂直此方向运动时受力为零。受力为零的方向为零线方向零。受力为零的方向为零线方向假设最大作用力为假

20、设最大作用力为 Fm Fm ，那么实验发现沿偏离零线方向，那么实验发现沿偏离零线方向 角角度运动时，受力为度运动时，受力为FmsinFmsinv磁场的重要特性：会对处于其中的运动电荷电流产生磁场的重要特性：会对处于其中的运动电荷电流产生力的作用，称为磁场力。力的作用，称为磁场力。v磁感应强度矢量磁感应强度矢量 : :描画空间磁场分布。描画空间磁场分布。B一、磁感应强度一、磁感应强度 Magnetic flux density mFqvB在磁场在磁场 空间中，以速度空间中，以速度 运动的电荷运动的电荷q0q0所受的作用力所受的作用力为为vB0max00limmqFBq v阐明：阐明： 称为磁感应

21、强度或磁通密度，单位为称为磁感应强度或磁通密度，单位为T T特斯拉特斯拉。Bmaxmax( /) ()mmFFq dtv dtI dl其方向与电荷受磁场力为零时的运动方向一样。其方向与电荷受磁场力为零时的运动方向一样。mFIlB两个载流回路间的作用力两个载流回路间的作用力 真空中，两电流回路真空中，两电流回路C1,C2C1,C2，载流分别为载流分别为I1,I2I1,I2，那么：，那么： r r是电流元是电流元I Idldl至至IdlIdl的间隔的间隔, , 是由是由dldl指向指向dldl的单位矢量的单位矢量, , 00是真空的磁导率是真空的磁导率: : r 二、毕奥二、毕奥-萨伐定律萨伐定律

22、The Biot-Savart Law两个电流回路之间的作两个电流回路之间的作用力为：用力为：q安培力定律安培力定律: Ampere: Amperes force laws force law03( )4llIdlI dlrFr mH /10470 电流元电流元 在磁场在磁场 中遭到的磁场力为：中遭到的磁场力为：BIdlmdFIdlB假设假设 由电流元由电流元 产生，那么由安培力定律产生，那么由安培力定律B00I dl0003()4mIdlI dlrdFIdlBr可知，电流元可知，电流元 产生的磁感应强度为：产生的磁感应强度为：00I dl0003()4I dlrdBr毕奥萨伐尔定律毕奥萨伐尔

23、定律阐明：阐明： 、 、 三者满足右手螺旋关系。三者满足右手螺旋关系。dlrB二、电流元产生的磁场的磁场强度二、电流元产生的磁场的磁场强度1 1、体电流、体电流03 ( )( )4VVJ r dVrB rdBr三、体电流与面电流产生的磁感应强度三、体电流与面电流产生的磁感应强度2 2、面电流、面电流03( )( )4SSSJr dSrB rdBr3 3、载流为、载流为I I的无限长线电流在空间中产生磁场的无限长线电流在空间中产生磁场0( )2IB rer例题一例题一求半径为求半径为a a的电流环在其轴线上产生的磁场。的电流环在其轴线上产生的磁场。 ddlxyzaR(0,0, )Pz分析：在轴线

24、上，磁场方向沿分析：在轴线上，磁场方向沿z z向。向。电流分布呈轴对称。电流分布呈轴对称。解：建立如图柱面坐标系。解：建立如图柱面坐标系。在电流环上任取电流元在电流环上任取电流元 ，令其坐，令其坐标位置矢量为标位置矢量为 。Idlr034CIdlRBR22022 3/204()rzIaz eaedaz易知：易知：rraeIdlIadezrRrrz ea esincosryxeee22022 3/204()zIaedaz2022 3/22()zI aeaz例例 2 .1 参看图参看图2-3, 长长2l的直导线上流过电流的直导线上流过电流I。 求真空中求真空中P点的点的磁通量密度。磁通量密度。图图

25、 2-3 载流直导线载流直导线 解解 采用柱坐标采用柱坐标, 电流电流Idz到到P点的间隔点的间隔矢量是矢量是22 1/2(),() ()Rz zzRzzdlRzdzz zzdz解解 采用柱坐标采用柱坐标, 电流电流Idz到到P点的间隔矢量是点的间隔矢量是22 1/2(),() ()Rz zzRzzdlRzdzz zzdz03/222022224()4()()llIdzBzzIlzlzzlzl对无限长直导线对无限长直导线, l, 有有02IB在简单媒质中在简单媒质中, 磁场强度磁场强度H由下式定义由下式定义: (/)BHA m在恒定磁场中，磁场强度矢量沿恣意闭合途径的环量等于其与在恒定磁场中，

26、磁场强度矢量沿恣意闭合途径的环量等于其与回路交链的电流之和，即：回路交链的电流之和，即：称为媒质磁导率。称为媒质磁导率。0r 70410/H m为真空中的为真空中的lkH dlI磁场强度磁场强度 Magnetic field intensity安培环路定律安培环路定律 Amperes circuital law安培环路定律安培环路定律( (积分方式积分方式) )2 .1 .4 安培环路定律、磁场强度安培环路定律、磁场强度()sSHdsJ ds由于由于S面是恣意取的面是恣意取的, 所以必有所以必有 HJ由斯托克斯定理，由斯托克斯定理，J为电流密度，是一个矢量，电流密度的方向为正电荷的为电流密度，

27、是一个矢量，电流密度的方向为正电荷的运动方向，其大小为单位时间内垂直穿过单位面积的电运动方向，其大小为单位时间内垂直穿过单位面积的电荷量。荷量。 安培环路定律安培环路定律( (微分方式微分方式) )ddI JS dSI JS在静电场中在静电场中E沿任何闭合途径的线积分恒为零沿任何闭合途径的线积分恒为零: 0lE dl利用斯托克斯定理得利用斯托克斯定理得 0ES由于电场强度的旋度为由于电场强度的旋度为0，可引入电位函数，可引入电位函数，使，使 E 物理意义：物理意义：静态电场是无旋场即保守场静态电场是无旋场即保守场在静态电场中将单位电荷沿任一闭合途径挪动一周，静电力做在静态电场中将单位电荷沿任一

28、闭合途径挪动一周，静电力做功为零功为零静电场为保守场。电力线不构成闭合回路静电场为保守场。电力线不构成闭合回路一、电场强度的旋度一、电场强度的旋度2 .1 .5 两个补充的根本方程两个补充的根本方程0SB ds0B二、磁场强度的散度：二、磁场强度的散度：在恒定磁场中，磁感应强度矢量穿过恣意闭合面的磁通在恒定磁场中，磁感应强度矢量穿过恣意闭合面的磁通量为量为0，即：，即：散度定理散度定理磁通延续性定律积分方式磁通延续性定律积分方式孤立磁荷不存在孤立磁荷不存在磁力线在空间恣意位置是延续的。磁力线在空间恣意位置是延续的。孤立磁荷不存在孤立磁荷不存在 ( (A)0A)0，故，故B B可用一矢量函数的旋

29、度来表可用一矢量函数的旋度来表示。示。 结论：结论：2 .2 .1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 (Faradays Law of Induction) 静态场静态场: :场大小不随时间发生改动场大小不随时间发生改动( (静电场静电场, ,恒定电、磁场恒定电、磁场) ) 时变场时变场: :场的大小随时间发生改动。场的大小随时间发生改动。特性：电场和磁场相互鼓励，从而构成不可分隔的一致的整特性：电场和磁场相互鼓励，从而构成不可分隔的一致的整体，称为电磁场。体，称为电磁场。特性：电场和磁场相互独立，互不影响。特性：电场和磁场相互独立，互不影响。一、电磁感应景象与楞次定律一、电磁感应景象与楞

30、次定律q电磁感应景象电磁感应景象实验阐明：当穿过导体回路的磁通量发实验阐明：当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中会出现感应电流。生变化时，回路中会出现感应电流。q 楞次定律：回路总是企图以感应电流产生的穿过回路本身楞次定律：回路总是企图以感应电流产生的穿过回路本身的磁通，去对抗引起感应电流的磁通量的改动。的磁通，去对抗引起感应电流的磁通量的改动。2 .2 Time-varying Electromagnetic Fields2 .2 Time-varying Electromagnetic Fields法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律q 法拉第电磁感应定律：当穿

31、过导体回路的磁通量发生改动法拉第电磁感应定律：当穿过导体回路的磁通量发生改动时，回路中产生的感应电动势与回路磁通量的时间变化率成时，回路中产生的感应电动势与回路磁通量的时间变化率成正比关系。数学表示：正比关系。数学表示：阐明：阐明：“- -号表示回路中产生的感应电动势的作用总是要阻止号表示回路中产生的感应电动势的作用总是要阻止回路磁通量的改动。回路磁通量的改动。dtdm二、法拉第电磁感应定律二、法拉第电磁感应定律 lE dllSlBE dldsvBdlt 当回路以速度当回路以速度v运动时，运动时，()SSBEdsdst 斯托克斯定理斯托克斯定理BEt 法拉第电磁感应定律微分方式法拉第电磁感应定

32、律微分方式物理意义：物理意义：1 1、某点磁感应强度的时间变化率的负值等于该点时、某点磁感应强度的时间变化率的负值等于该点时变电场强度的旋度。变电场强度的旋度。 2 2、感应电场是有旋场，其旋涡源为、感应电场是有旋场，其旋涡源为 ，即磁场随时间变，即磁场随时间变化的地方一定会激发起电场，并构成旋涡状的电场分布。化的地方一定会激发起电场，并构成旋涡状的电场分布。 dB dt阐明：感应电动势由两部分组成，第一部分是磁场随时阐明：感应电动势由两部分组成，第一部分是磁场随时间变化在回路中间变化在回路中“感生的电动势感生的电动势; 第二部分是导体回路第二部分是导体回路以速度以速度v对磁场作相对运动所引起

33、的对磁场作相对运动所引起的“动生电动势动生电动势当回路静止时，当回路静止时，变化的电场变化的电场能产生磁场能产生磁场q电流延续性方程电流延续性方程 S V I dt 时间内，时间内，V V内流出内流出S S的电荷量为的电荷量为dq电荷守恒定律：电荷守恒定律： 时间内，时间内，V V内电荷改内电荷改动量为动量为dtdq由电流强度定义：由电流强度定义：( )SdqI dtJ rds dt( )sdqJ r dsdt ( )Vdr dVdt ()VVJ dVdVt Jt 0Jt电流延续性方电流延续性方程的微分方式程的微分方式电流延续性方程积分方式电流延续性方程积分方式2 .2 .2 位移电流和全电流

34、定律位移电流和全电流定律0Jt 在时变情况下在时变情况下 0t另一方面，由另一方面，由 HJ0JH 得到了两个相互矛盾的结果。得到了两个相互矛盾的结果。q 位移电流位移电流 dHJJdJ在在 HJ的右端加一修正项的右端加一修正项那那么么0dJJdJJtD dDJt是电位移矢量对时间的变化率，具有电流密度的量纲，称是电位移矢量对时间的变化率，具有电流密度的量纲，称为位移电流密度为位移电流密度 dJ:q 全电流定律全电流定律 由积分方式：积分方式：物理意义：该定律包含了随时间变化的电场可以产生磁物理意义：该定律包含了随时间变化的电场可以产生磁场这样一个重要概念，也是电磁场的根本方程之一。场这样一个

35、重要概念，也是电磁场的根本方程之一。磁场强度沿恣意闭合途径的线积分等于该途径所包曲面磁场强度沿恣意闭合途径的线积分等于该途径所包曲面上的全电流。上的全电流。 ddHJJDJtDHJtdDJJJJt全()CSSDH dlJdSJdSt全推行的安培环推行的安培环路定理路定理全电流定律全电流定律全电流全电流变化的电场变化的电场能产生磁场能产生磁场tcvdJJJJ()0cvdJJJ对恣意封锁面对恣意封锁面S有有 ()()0cvdcvdSVJJJdsJJJdv0dvcIII2 .2 .3 全电流延续性原理全电流延续性原理 物理意义：穿过任一封锁面的各类电流之和恒为零。这就是全电流延续性原理。将它运用于只

36、需传导电流的回路中, 得知节点处传导电流的代数和为零(流出的电流取正号, 流入取负号)。这就是基尔霍夫(G .R .Kirchhoff, 德)电流定律: I=0。 0sin()cos()yxEe Eztk xd例：在例：在z=0z=0和和z=dz=d位置有两个无限大理想位置有两个无限大理想导体板，在极板间存在时变电磁场，其导体板，在极板间存在时变电磁场，其电场强度为电场强度为求：求：(1)(1)该时变场相伴的磁场强度该时变场相伴的磁场强度 ；H zyd例题例题解：解：(1)(1)由法拉第电磁感应定律微分方式由法拉第电磁感应定律微分方式BEt xyzyyzxxyzeeeEEBeetxyzxzEE

37、E 00sin()sin()cos()cos()xxxzxE kztk xdEztk xddBete BBdtt00sin()cos()cos()sin()zxxxxE kztk xdEzxdBtkdee00000cos()sin()sin()cos()xzxxxEztkBHexddEekztk xd设平板电容器两端加有时变电压设平板电容器两端加有时变电压U, 试推导经过电容器的电流试推导经过电容器的电流I与与U的关系。的关系。 图 2-4 平板电容器 例例 2 .22 .2tEAtDAAJIIdd解：解： 设平板尺寸远大于其间距设平板尺寸远大于其间距, 那么板间电场可视为均匀那么板间电场可视

38、为均匀, 即即E=U/d, 从而得从而得 tUdAItUCI式中式中C=A/d为平板电容器的电容。为平板电容器的电容。 2 .3 .1 麦克斯韦方程组的微分方式与积分方式麦克斯韦方程组的微分方式与积分方式 2 .3 2 .3 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组Maxwells Equations 推行的安培环路定律推行的安培环路定律法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律磁通延续性定律磁通延续性定律高斯定律高斯定律一、麦克斯韦方程组的微分方式一、麦克斯韦方程组的微分方式0DHJtBEtBD 时变电磁场的源：时变电磁场的源： 1 1、真实源变化的电流和电荷；、真实源变化的电流和电荷； 2 2、变化的电场和

39、变化的磁场。、变化的电场和变化的磁场。 时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。 物理意义：物理意义： 时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋有散场。场是有旋有散场。 在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的。有旋无散的。 电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间构成电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间构成

40、电磁波。电磁波。()0CSCSSSVDH dlJdStBE dldStB dSD dSdVQ 麦克斯韦方程组的位置：提示了电磁场场量与源之间的根本关麦克斯韦方程组的位置：提示了电磁场场量与源之间的根本关系，提示了时变电磁场的根本性质，是电磁场实际的根底。系，提示了时变电磁场的根本性质，是电磁场实际的根底。二、麦克斯韦方程组的积分方式二、麦克斯韦方程组的积分方式 麦克斯韦方程组是描画宏观电磁景象的普遍规律，静电场麦克斯韦方程组是描画宏观电磁景象的普遍规律，静电场和恒定磁场的根本方程都是麦克斯韦方程组的特殊情况。和恒定磁场的根本方程都是麦克斯韦方程组的特殊情况。00000DtBtDHJHJtBEE

41、BtBDD n电流延续性方程也可以由麦克斯韦方程组导出。电流延续性方程也可以由麦克斯韦方程组导出。n在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量D、E、H、B之间的关系，它们适用于任何媒质，通常称为麦克斯韦之间的关系，它们适用于任何媒质，通常称为麦克斯韦方程组的非限定方式方程组的非限定方式 本构关系本构关系DEBHJE 将本构关系代入麦克斯韦方程组，那么得将本构关系代入麦克斯韦方程组，那么得()0()EHEtHEtHE 麦克斯韦方程组限定方式与媒质特性相关。麦克斯韦方程组限定方式与媒质特性相关。三、麦克斯韦方程组的限定方式三、麦克斯韦方程组的限定方式麦克斯韦方程麦克斯韦

42、方程组限定方式组限定方式Constitutive equations 假设媒质参数与位置无关, 称为均匀(homogeneous)媒质; ; 假设媒质参数与场强大小无关, 称为线性(linear)媒质; ; 假设媒质参数与场强方向无关, 称为各向同性(isotropic)媒质; ; 假设媒质参数与场强频率无关, 称为非色散媒质; 反之称为色散(dispersive) 媒质。四、媒质的分类四、媒质的分类在无源区域中充溢均匀、线性、各向同性的无耗媒质空间中在无源区域中充溢均匀、线性、各向同性的无耗媒质空间中, ,由由麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组, ,=0,J=0=0,J=0dBEdt ()EHt

43、222()EEEt Dt2220EEt 无源区电场无源区电场动摇方程动摇方程同理，可以推得无源区磁场动摇方程为：同理，可以推得无源区磁场动摇方程为：2220HHt2.3.2 2.3.2 无源区的动摇方程无源区的动摇方程wave equations for source-free medium时变电磁场的电场场量和磁场场量在空间中是以动摇方式变时变电磁场的电场场量和磁场场量在空间中是以动摇方式变化的，因此称时变电磁场为电磁波。化的，因此称时变电磁场为电磁波。建立动摇方程的意义：经过解动摇方程，可以求出空间中电建立动摇方程的意义：经过解动摇方程，可以求出空间中电场场量和磁场场量的分布情况。但需求留

44、意的是：只需少数特场场量和磁场场量的分布情况。但需求留意的是：只需少数特殊情况可以经过直接求解动摇方程求解。殊情况可以经过直接求解动摇方程求解。一、定义一、定义BABEt ()EAt ()0AEt令：令： ，()AEt ()AEt 故：故：()AEtBA ( , ):( , ):A r tr t动态矢量位动态标量位0B2.3.3 动态矢量位和标量位动态矢量位和标量位 dynamic Vector potential scalar potentialq 时变场电场场量和磁场场量均为时间和空间位置的时变场电场场量和磁场场量均为时间和空间位置的函数，因此动态矢量位和动态标量位也为时间和空间函数，因此

45、动态矢量位和动态标量位也为时间和空间位置的函数。位置的函数。q 由于时变场电场和磁场为一致整体，因此动态标量由于时变场电场和磁场为一致整体，因此动态标量位和动态矢量位也是一个一致的整体。位和动态矢量位也是一个一致的整体。 为了使时变电磁场场量和动态位之间满足一一对为了使时变电磁场场量和动态位之间满足一一对应关系，须引入额外的限定条件应关系，须引入额外的限定条件规范条件。规范条件。At 洛伦兹规范条件洛伦兹规范条件二、洛伦兹规范条件二、洛伦兹规范条件三、动态位满足的方程三、动态位满足的方程EEHJt1HA1EAJt2()()AAAJtt ()At 2()At 222()AAJAtt At 引入洛

46、伦兹规范条件，那么方程简化为引入洛伦兹规范条件，那么方程简化为222222tAAJt 达朗贝尔方程达朗贝尔方程从达朗贝尔方程可以看出：从达朗贝尔方程可以看出：( , )( , )( , )( , )r tr tA r tJ r t的源是，的源是试用麦克斯韦方程组导出图试用麦克斯韦方程组导出图2-6所示的所示的RLC串联电路的电压方程串联电路的电压方程(电路全长久小于波长电路全长久小于波长)。 图 2-6 RLC串联电路 例例2.3解解: 沿导线回路沿导线回路l作电场作电场E的闭合途径积分的闭合途径积分, 根据麦氏方程式根据麦氏方程式(a)有有 ldtddlE上式左端就是沿回路的电压降上式左端就

47、是沿回路的电压降, 而而是回路所包围的磁通。将回是回路所包围的磁通。将回路电压分段表示路电压分段表示, 得得 0dtdUUUUdacdbcab设电阻段导体长为设电阻段导体长为l1, 截面积为截面积为A, 电导率为电导率为, 其中电场为其中电场为J/, 故故 AlRIRlAIlJdlJUbaab111,电感电感L定义为定义为m/I, m是经过电感线圈的全磁通是经过电感线圈的全磁通, 得得 dtdILdtdUmbc经过电容经过电容C的电流已由例的电流已由例2 .2得出得出: IdtCUdtdUCIcd1设外加电场为设外加电场为Ee, 那么那么有有 edaeadedaVdlEdlEU由于回路中的杂散

48、磁通可略由于回路中的杂散磁通可略, d/dt0, 从而得从而得 eVIdtCdtdILIR1这就是大家所熟知的基尔霍夫电压定律。对于场源随时间作简这就是大家所熟知的基尔霍夫电压定律。对于场源随时间作简谐变化的情形谐变化的情形, 设角频率为设角频率为, 上式可化为上式可化为 CLjIIRUs1 2 .4 证明导电媒质内部证明导电媒质内部v=0。 ; 解解 利用电流延续性方程利用电流延续性方程(2-31), 并思索到并思索到J=E, 有有 0vvt其解为其解为 )/(3)/(0mCetvv例例JtEJ vtDE 导体内的电荷极快地衰减导体内的电荷极快地衰减, 使得其中的使得其中的v可看作零。可看作

49、零。 铜铜=5.8107S/m =0 =1 .510-19sv随时间按指数减小随时间按指数减小驰豫时间驰豫时间:衰减至衰减至v0的的1/e即即36.8%的时间的时间,=/(s)一、普通媒质分界面上的边境条件一、普通媒质分界面上的边境条件( )( )0, 2-4 电磁场的边境条件电磁场的边境条件v在不同媒质的分界面上，媒质的电磁参数在不同媒质的分界面上，媒质的电磁参数、 发生突发生突变，因此分界面处的场矢量变，因此分界面处的场矢量E E、H H、D D、B B也会突变，麦克斯韦方也会突变，麦克斯韦方程组的微分方式失去意义。此时，有限空间中场量之间的关系程组的微分方式失去意义。此时，有限空间中场量

50、之间的关系是由积分方式的麦克斯韦方程组制约的，边境条件就由它导出。是由积分方式的麦克斯韦方程组制约的，边境条件就由它导出。 1 1、 的边境条件的边境条件H 212Hn1H()CsDH dlJdSt0h lsThe boundary conditions for time-varying fields 21SH lH lJs210limShDH lH lJs ls l ht 0lns12ttsHHJ12()SnHHJ 为外表传导电流密度。为外表传导电流密度。SJ式中：式中： 为由媒质为由媒质2 211的法向。的法向。n 特殊地，假设介质分界面上不存在传导电流，那么特殊地，假设介质分界面上不存在

51、传导电流，那么120ttHH12()0nHH结论：当分界面上存在传导面电流时，结论：当分界面上存在传导面电流时， 切向不延续，其不切向不延续，其不延续量等于分界面上面电流密度。延续量等于分界面上面电流密度。当且仅当分界面上不存在传导面电流时，当且仅当分界面上不存在传导面电流时， 切向延续。切向延续。HH 2 2、 的边境条件的边境条件E 212En1E210h lslSBE dldSt结论：只需磁感应强度的时间变化率是有限结论：只需磁感应强度的时间变化率是有限的，的， 切向延续。切向延续。E12()0nEE12ttEE 3 3、 的边境条件的边境条件B11220B dSB dS120B nB

52、n21nnBB0SB dS 212B1Bn0h Snn结论：在边境面上，结论：在边境面上， 法向延续。法向延续。B 4 4、 的边境条件的边境条件D 212D1DnSD dSq12()sDDn12nnsDD0h Snnq 为分界面上自在电荷面密度。为分界面上自在电荷面密度。s特殊地：假设媒质为理想介质，那么特殊地：假设媒质为理想介质，那么 , ,此时此时有有0s120nnDDq 当分界面上存在自在电荷时，当分界面上存在自在电荷时， 切向不延续，其不切向不延续，其不延续量等于分界面上面电荷密度。延续量等于分界面上面电荷密度。Dq 当且仅当分界面上不存在自在电荷时，当且仅当分界面上不存在自在电荷时

53、， 切向延续。切向延续。D 5 5、J J的边境条件的边境条件120nnJJ12()sJJn12120ttJJ12120JJn0 在理想介质分界面上，不存在自在电荷和传导电流。在理想介质分界面上，不存在自在电荷和传导电流。120ttHH12()0nHH12()0nEE12ttEE二、理想介质分界面上的边境条件二、理想介质分界面上的边境条件120B nB n21nnBBq 在理想介质分界面上，在理想介质分界面上， 矢量切向延续矢量切向延续q 在理想介质分界面上，在理想介质分界面上， 矢量法向延续矢量法向延续,E H ,B D 12()0DDn120nnDDBoundary conditions

54、Between two Perfect dielectrics 在理想导体内部在理想导体内部 ，在导体分界面上，在导体分界面上，普通存在自在电荷和传导电流。普通存在自在电荷和传导电流。 0,0EHsD nnsDtsHJsnHJ0nE0tE0B n 0nB式中：式中： 为导体外法向。为导体外法向。n三、理想导体分界面上的边境条件三、理想导体分界面上的边境条件q 对于时变场中的理想导体，电场总是与理想导体相垂直，磁场总是与理想导体相切。Boundary conditions Between Perfect conductors and perfect dielectric 时变场的边境条件包括四个

55、关系式。可以证明它们并不是时变场的边境条件包括四个关系式。可以证明它们并不是相互独立的，当满足两个切向分量的边境条件的，必定满足两相互独立的，当满足两个切向分量的边境条件的，必定满足两个法向分量的边境条件。个法向分量的边境条件。阐明：阐明： 在理想介质的分界面上，用于定解的边境条件在理想介质的分界面上，用于定解的边境条件为为 ，分析电磁波在理想介，分析电磁波在理想介质分界面上的反射和透射时就要运用这个边境条件。质分界面上的反射和透射时就要运用这个边境条件。12()0nEE12()0nHH 理想介质和理想导体只是实际上存在。在实践运用中，理想介质和理想导体只是实际上存在。在实践运用中，某些媒质导

56、电率极小或者极大，那么可视作理想介质或理想某些媒质导电率极小或者极大，那么可视作理想介质或理想导体进展处置。导体进展处置。 在理想介质与理想导体的分界面上，用于定解的边境条件在理想介质与理想导体的分界面上，用于定解的边境条件为为 或或 。分析电磁波在理想导体外表上。分析电磁波在理想导体外表上的反射时就要运用这个边境条件。的反射时就要运用这个边境条件。0nE0B n 同轴线横截面如图同轴线横截面如图2-9a所示。设经过直流所示。设经过直流I,内外导体上电内外导体上电流大小相等，方向相反。求各区中的流大小相等，方向相反。求各区中的H和和H,并验证各分界并验证各分界处的边境条件。处的边境条件。 例

57、在直流情形下内外导体中电流密度是均匀的在直流情形下内外导体中电流密度是均匀的,分别为分别为222,()abIIJJacb22222,22:) 1 (aIHaIHaIJHaa222()112aHHHzzIIzzJaa 解解2021,2,2:IzHIHIHba3bbJbcIzbccIzHbccIHbccIbJIHcb)(212,)(2:2222222222222222 以上H结果证明表2-1中的麦氏方程组式(b)处处成立。下面再验证边境条件: 40, 0, 02:HHIIHcaIHHaIHHaaIHHatttt22,2:2122211 处bIHHbIHbIHbtttt22,2:3232 处00,

58、02:43422223ttttHHHbccccIHc处 例例 2 .6 设平板电容器二极板间的电场强度为设平板电容器二极板间的电场强度为3 V/m, 板间媒板间媒质是云母质是云母, r=7 .4, 求二导体极板上的面电荷密度。求二导体极板上的面电荷密度。 解解 参看图参看图2-9(b), 把极板看作理想导体把极板看作理想导体, 在在A , B板外表分板外表分别有别有 210121012111/1097. 1/1097. 1310854. 84 . 7mCDmCEDnSBnnSA0sin()cos()yxEe Eztk xd例：在例：在z=0z=0和和z=dz=d位置有两个无限大理想位置有两个无

59、限大理想导体板，在极板间存在时变电磁场，其导体板，在极板间存在时变电磁场，其电场强度为电场强度为求：求：(1)(1)该时变场相伴的磁场强度该时变场相伴的磁场强度 ；H(2)(2)导体板上的电流分布。导体板上的电流分布。 zyd例题例题解：解：(1)(1)由麦克斯韦方程由麦克斯韦方程BEt xyzyyzxxyzeeeEEBeetxyzxzEEE 00sin()sin()cos()cos()xxxzxE kztk xdEztk xddBete BBdtt00sin()cos()cos()sin()zxxxxE kztk xdEzxdBtkdee00000cos()sin()sin()cos()xz

60、xxxEztkBHexddEekztk xd(2)(2)由边境条件由边境条件在下极板上：在下极板上：0szzJnHeH00sin()xyEtk xde 在上极板上：在上极板上：szz dJnHeH 0000cos()sin()sin()xyyxEdtk xddEtxdeekq 时变场中，电场和磁场相互鼓励，能量不断转换，在这个过程时变场中，电场和磁场相互鼓励，能量不断转换，在这个过程中，电磁能量从一个地方传送到另外的地方。中，电磁能量从一个地方传送到另外的地方。一、坡印廷定理一、坡印廷定理q 坡印廷定理描画了空间中电磁能量守恒关系。坡印廷定理描画了空间中电磁能量守恒关系。DHJtBEt ()H