求极限的几种方法__相关论

1、. 高 数 论 文 -求极限的几种方法 教师：张忠诚 班级：土木15-04班 学号：1501160412 姓名：林一军总结本学期高等数学中学习的极限，下面总结几点求极限的方法(1) 数列的极限：数列极限的定义1：对数列an，若存在常数a，对任意>0，若存在NN+，对任意自然数n>N,都有an-a<，则称a为数列an当n趋于无穷大的极限。记为：limnan=a，若an存在极限，则称an收敛，不存在极限则称an发散 在数列的学习中我们还学了，发散，收敛，连续等知识点收敛数列的性质：1.唯一性 2.有界性 3.保号性(这三个性质与数列极限的性质有点关系，详细解说在下面会说明。)数列

2、的收敛鉴别方法：1.夹逼定理：一.如果数列Xn,Yn及Zn满足下列条件：（1）当n>No时，其中NoN*，有YnXnZn，（2）当n+，limYn =a；当n+ ，limZn =a，那么，数列Xn的极限存在，且当 n+，limXn =a。证明 因为limYn=a limZn=a 所以根据数列极限的定义，对于任意给定的正数，存在正整数N1，N2，当n>N1时 ，有Yn-a，当n>N2时，有Zn-a，现在取N=maxNo，N1，N2，则当n>N时，Yn-a<，Zn-a<同时成立，且YnXnZn，即a-<Yn<a+，a-<Zn<a+，有 a

3、-<YnXnZn<a+，即Xn-a<成立。也就是说limXn=a1  二.F(x)与G(x)在Xo连续且存在相同的极限A，即xXo时, limF(x)=limG(x)=A则若有函数f(x)在Xo的某邻域内恒有F(x)f(x)G(x)则当X趋近Xo,有limF(x)limf(x)limG(x)即Alimf(x)A故 limf(Xo)=A简单的说：函数A>B,函数B>C，函数A的极限是X，函数C的极限也是X ，那么函数B的极限就一定是X，这个就是夹逼定理。夹逼定理的应用：1.设Xn，Zn为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列Xn，Zn的极限均为：a.若存在N

4、，使得当n>N时，都有XnYnZn,则数列Yn收敛，且极限为a.2.夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限 2单调有界性原理：单调有界数列必有极限，这里说的单调有界，对于单调递增数列有界是指由上界，对单调递减数列有界是只有下界。【单调有界定理】若数列an递增（递减）有上界（下界），则数列an收敛，即单调有界数列必有极限。【运用范围】（1）单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性，如何求极限需用其他方法；（2）数列从某一项开始单调有界的结论依然成立，这是因为改变数列有限项不改变数列的极限。【证明】证: 不妨设为有上

5、界的递增数列。由确界原理，数列有上确界，记为a=an.下面证明a就是的极限。事实上，任给>0,按上确界的定义，存在数列中的某一项，使得,又由的递增性，当n>=N时有.另一方面，由于a是的 一个上界，故对一切都有.所以当时有.这就证得.同理可证有下界的递减数列必有极限。且其极限即为它的下界。3.柯西收敛准则：柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了数列收敛的充分必要条件。数列Xn收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，存在着这样正整数N，使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|<这个准则的几何意义表示，数列Xn收敛的充分必要条件是：该数列中足够靠后的任意两项都无限

6、接近。(2) 函数的极限：1. x时函数f(x)的极限：1.定义：设函数f(x)在（a，+）内有定义，A为常数，若>0，X>0（a>0）x>X，有fx-A<，则称常数A为fx当x+时的极限。记为：limn+fx=A或f（x）A（x+）2.设函数f（x）在区间（-，a）有定义，A为常数.若>0，X>0（-X<a），x<-X 有fx-A<，则称常数A为fx当x-时的极限。记为：limn-fx=A或f（x）A（x）3. 设函数f（x）在x>a（>0）时有定义，A为常数。若>0，X>0（x>0）x>X，则有

7、fx-A<则称常数A为f（x）当x时的极限。记为：limnfx=A或f（x）A（x）. 洛必达法则：0/0型不定式极限 若函数和满足下列条件：； 在点的某去心领域内两者都可导，且；（可为实数，也可为 ± 或），则/型不定式极限 若函数和满足下列条件：； 在点a的某去心领域内两者都可导，且；（可为实数，也可为或），则其他类型不定式极限 不定式极限还有，等类型。经过简单变换，它们一般均可化为型或型的极限。(1)型可将乘积中的无穷小或无穷大变形到分母上，化为型或型。 例：求解：原式=(2)型把两个无穷大变形为两个无穷小的倒数，再通分使其化为型。例：求解：原式=(3)型可利用对数性质，

8、将函数化简成以e为底数的指数函数，对指数进行求极限。针对不同的问题，还可以利用等价无穷作替换，化简算式。例：求解：原式=上式求解过程中，利用了等价无穷小的替换，即把替换成。(4)型同上面的化简方法例：求解：原式=(5)型同上面的化简方法例：求解：原式=利用函数的连续性求极限： 首先介绍连续的概念。定义（1）设函数y=f(X)在点X0的某领域内有定义，自变量改变量x=x-x0，函数的改变量y=fx0+x-fx0=fx0+x-x0，若limx0y=0，则（x）点x0处连续定义定义(2) 设函数f（x）在点x0的某领域内有定义，若limx0f（x）=f（x0）含具体点时运用该公式十.连续性求极限定理

9、：一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有例1：求极限解：因为是函数的一个连续点，所以原式=.极限存在准则定理7（准则1）单调有界数列必有极限。定理8（准则2）已知为三个数列，且满足：（1）（2），则极限一定存在，且极限值也是a，即例2：已知，求解：易证：数列单调递增，且有界（0<<2），由准则1极限存在，设。对已知的递推公式两边求极限，得：，解得：或（不合题意，舍去）所以。例3：求极限解：易见：因为，所以由准则2得：用等价无穷小量代换求极限注：1.常见等价无穷小有:当x0时，xsinx,xtanx,xarcsinx,xarctanx,xln1+

10、x,xex-1,1-cosx12x²，1+axb-1abx；2.等价无穷小量代换时只能代换极限式中的因式例1：求极限解：，原式=。例2：求极限解：原式=；例3：求极限limx0xln1+x1-cosx解:limx0xln1+x1-cosx=limx0x·x12x²=2例4：求极限limx0sinxtanx+x解：limx0sinxtanx+x=12注：通常在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，但是前提是必须证明拆分后极限依然存在。微分中值定理一、 罗尔定理1. 费马定理:设f(x)在U(x0)内有定义,且在x0处可导,若"x0ÎU(x

11、0),有f(x)f(x0)或f(x)f(x0),则f(x0)=0.证明:不妨设xÎU(x0)时,有f(x)f(x0).则对x0+xÎU(x0),有f(x0+x)f(x0)即当x>0时,0;当x<0时,0;从而:f(x0)= f+(x0)=0;f(x0)= f-(x0)=0;于是f(x0)= 02. 罗尔定理:如果函数y=f(x)满足：f(x)ÎCa，b1) f(x)在闭区间a，b上连续2) f(x)在开区间a,b内可导3) f(x)在区间端点处的函数值相等即：fa=fb那么在（a，b）内至少存在一点 (a<<b),使得:f()=0.证明:因

12、为f(x)Ca，b,所以f(x)在a，b内存在最大值M和最小值m.以下分两种情形讨论:1) M=m.此时f(x)在a，b上必然取得相同的值f(x)=M.此时有f(x)=0,即对"a,b,有f()=0.2) M>m.由于f(a)=f(b),所以M和m中至少有一个不等于f(x)在a,b上的函数值.不妨设:Mf(a).则在a,b内必有使得f()=M.即"xÎ,a，b有f(x)f().有费马定理得:f()=0.二、 拉格朗日中值定理拉格朗日定理: 如果函数y=f(x)1） f(x)在闭区间a，b上连续2） f(x)在开区间a,b内可导那么在a,b内至少存在一点 (a

13、<<b),成立等式:f(b)-f(a)=f()(b-a)此公式称为拉格朗日中值公式.此公式称为拉格朗日中值公式.定理的几何解释:为弦AB的斜率.f()为曲线点C处的斜率.几何意义:如果曲线y=f(x)在弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线,那么在这弧上至少存在一点C,使曲线在C点处的切线平行于弦AB.辅助函数的建立:有向线段NM的值是x的函数,记为(x),则显然有(a)=(b)=0.由于直线AB的方程为:L(x)=f(a)+(x-a)又点N、M的纵坐标分别为L(x)、f(x),因此有向线段NM的值的函数为:(x)=f(x)-L(x)=f(x)-f(a)-(x-a)此函数满足罗

14、尔定理的全部条件.证明:作辅助函数: (x)=f(x)-L(x)=f(x)-f(a)-(x-a)则该函数在a,b内满足罗尔定理的条件,从而在a,b内存在一点,使得()=0.又(x)=f(x) -所以:f()=.注:拉格朗日公式对a>b也成立.拉格朗日公式的其它形式:当x,x+xa,b时,则在区间x,x+x(x>0)或区间x+x,x(x<0)上有:f(x+x)-f(x)=f(x+x)·x(0<<1).或y= f(x+x)·x(0<<1).此公式表明当x有限时，y有精确值，定理也称为有限增量定理三、 柯西中值定理：柯西中值定理:如果函数

15、f(x)和F(x)满足1） 在闭区间a,b上连续2） 在开区间a,b内可导3） 对于a,b内任一点x,F(x)0则在a,b内至少存在一点,成立等式:=.分析:在参数方程: (axb)表示的曲线上,弦AB的斜率为: .曲线上点(X,Y)处的切线的斜率为: =.当x=时,则点C处的切线平行于弦AB.证明:因为F(b)-F(a)=F()(b-a)(a<<b),由假设:F()0,所以F(b)-F(a)0.所以AB的方程为:Y-f(a)= F(x)-F(a).于是:N点的纵坐标为:Y=f(a)+F(x)-F(a),M的纵坐标为f(x).于是:NM的方程为:(x)=f(x)-f(a)-F(x)-F(a)此函数满足罗尔定理的条件,即:存在(a,b),使得:f()