函数的单调性与奇偶性的综合应用

1、函数的单调性与奇偶性的综合应用例 1. 设函数)(xfy的定义域为 r,并且满足yfxfyxf,131f,当0 x时,0 xf. （1）求)0(f的值; （2）判断函数的奇偶性 ; （3）如果22xfxf,求x的取值范围 . 分析:（3）,在求解与抽象函数一个的不等式时,往往是利用函数的单调性把符号“f” 脱掉,使抽象不等式转化为具体的不等式,此时要特别注意函数的定义域. 解:（1）令0yx,则有)0(2)0()0()0(ffff0)0(f; （2）令xy,则有00 xfxffxfxf函数)(xfy的定义域为 r,关于原点对称函数)(xfy为奇函数 ; （3）令31yx,则有323123131

2、3131fffff131f,232f. 任取21, xxr,且21xx,则012xx当0 x时,0 xf,012xxf1112111212)(xfxfxxfxfxxxfxfxf012xxf21xfxf函数)(xfy在 r 上为增函数22xfxf,32)2(fxxf3222fxf函数)(xfy在 r 上为增函数3222x,解之得 :32x.x的取值范围是32,. 总结在求解与抽象函数一个的不等式时, 要用到函数的单调性, 从而把抽象函数的不等式转化为具体的不等式求解. 若函数的单调性未知, 则在解不等式前要先用定义法确定函数的单调性 , 注意函数的定义域和单调区间. 例 2. 已知函数)(xf是

3、定义在,00,上的不恒为零的函数,对于任意非零实数ba,满足bfafabf,且当1x时,有0 xf. （1）判断并证明函数)(xf的奇偶性 ; （2）证明函数)(xf在,0上为增函数 ,并求不等式01xf的解集 . 分析: （1）,函数)(xf满足bfafabf,为“ 和型” 抽象函数 ,在判号时常利用条件变形为 : 121112111212xxfxfxfxxfxfxxxfxfxf. 解:（1）函数)(xf为偶函数 ,理由如下 :)(xf是定义在,00,上的函数其定义域关于原点对称. 令1ba,则有)1(2)1() 1() 1(ffff,0)1(f令1ba,则有0)1(2)1()1() 1(f

4、fff,0)1(f令1,bxa,则有)1(fxfxf)(xfxf函数)(xf为偶函数 ; （2）证明 :任取21, xx,0,且21xx,则112xx当1x时,有0 xf,012xxf. 0121112111212xxfxfxfxxfxfxxxfxfxf21xfxf函数)(xf在,0上为增函数 . 由（1）知:0)1 (f01xf,) 1(1fxf)1 (1fxf函数)(xf在,0上为增函数11x,解之得 :20 x.不等式01xf的解集为2,0. 注 意 :根 据bfafabf,令0ba,则)0(2)0()0()0(ffff,得 到0)0(f,但是0 x不在函数)(xf的定义域内 ,所以不能

5、用来求解（ 2）中的不等式. 例3. 已 知 函 数)(xf是 定 义 在2,2上 的 奇 函 数 , 当0,2x时 , 函 数axxxf232ra. （1）求)(xf在2, 2上的解析式 ; （2）求)(xf在2, 2上的值域 . 结论（1）若奇函数在原点处有定义, 则0)0(f. （2）奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数（一个是函数的最大值, 另一个是函数的最小值）利用函数的奇偶性求函数解析式的一般方法是: （1） “求谁设谁”, 即求函数在哪个区间上的解析式, 就设x在哪个区间上; （2）利用已知区间的函数解析式矩形化简, 得到)( xf的解析式 ; （3）利用函数)(xf的奇

6、偶性写出)(xf或)(xf, 即可得到函数)(xf的解析式 . 注意 : 若)(xf是 r 上的奇函数时 , 不要遗漏0 x的情形 .解:（1）函数)(xf是定义在2, 2上的奇函数0)0(f,0a当0 ,2x时,函数xxxf232. 当2,0 x时,0,2x)(2323)(22xfxxxxxf.xxxf23)(2,2, 0 x.2,0,230,00, 2,23)(22xxxxxxxxf; （2） 当0 ,2x时,169432322xxxxf,其图象的对称轴为直线43x函数)(xf在区间0, 2上是减函数7)2(maxfxf,即函数)(xf在2 ,2上的最大值为 7.奇函数的图象关于原点对称7

7、)()(maxminxfxf)(xf在2,2上的值域为7,7. 例 4. 已知函数)(xf在1 , 1上有定义 ,当且仅当10 x时,0)(xf,且对任意yx,1 ,1,都有xyyxfyfxf1)()(. 证明:（1）)(xf为奇函数 ;（2）)(xf在1 , 1上单调递减 . 证明:（1）函数)(xf的定义域为1 , 1其定义域关于原点对称.对任意yx,1 ,1,都有xyyxfyfxf1)()(令0yx,则有)0(2)0()0(fff,0)0(f令xy,则有0)0()()(fxfxf)()(xfxf函数)(xf为奇函数 ; （2）任取1 , 1,21xx,且21xx,则有211212121x

8、xxxfxfxfxfxf1 , 1,21xx,且21xx,01 ,02112xxxx,012112xxxx01111112111221122112xxxxxxxxxxxxx211210 xxxx,1102112xxxx当10 x时,0)(xf,012112xxxxf012xfxf,21xfxf)(xf在1 , 1上单调递减 . 例 5. 函数)(xf的定义域为0 xxd,且满足对任意dxx21,有: 2121xfxfxxf. （1）求)1 (f的值; （2）判断)(xf的奇偶性并证明你的结论; （3）如果1)4(f,21xf,且)(xf在,0上是增函数 ,求x的取值范围 . 解:（1）令1yx,则有)1(2)1 ()1()1(ffff0)1 (f; （2）函数)(xf为偶函数 ,理由如下 : 由题意可知 ,函数)(xf的定义域关于原点对称 . 令1yx,则有01211)1(ffff01f令1,21xxx,则有1fxfxf,xfxf函数)(xf为偶函数 ; （3）1)4(f,