归纳推理,提升数学智慧

1、关注归纳推理 提升数学智慧 关于小学生归纳推理能力培养的研究与实践内容摘要：史宁中教授强调培养创新性人才必须重视对学生的归纳推理能力的培养。目前，教师专业知识缺乏，应试教育，以及教师的实践研究不足和实践策略缺失，直接影响了学生归纳推理能力的发展。由此，本文阐述了归纳推理能力的要义和重要性，梳理了承载培养学生归纳推理能力的教学内容，以及结合实践提出了四条引导路径。关键词：归纳推理 教学内容 引导路径一、对学生归纳推理能力培养现状的调研与分析史宁中教授指出：归纳推理能力的培养对学生数学智慧的发展有着十分重要的意义；归纳推理应该引起数学课堂教学的重视。那么，目前小学数学教育对学生归纳推理能力培养的现

2、实状况如何？于是，我对某镇中心校、村完小的23位数学老师以及六年级105名学生进行了调研和分析。1、从教师层面调查结果分析现状一：教师专业知识缺乏对教师的访谈和调查显示（见表一）：有21.7%的教师不了解归纳推理。有47.8%的教师表示有所了解，但不能准确地举例说明。部分教师说：“好像在读师范时心理学课上听老师讲过，现在已经忘了。”只有30.4%的教师了解归纳推理，并能正确举例。现状二：应试教育影响巨大培养归纳推理推理，更重要的意义在于发展学生的创新思维和数学智慧。调查显示只有17.3%的教师表示比较重视对学生归纳推理能力的培养（见表一），其余教师在课堂教学中并没有培养学生归纳推理能力的主动意

3、识。经访谈得知，其中主要的原因是不了解和考试不会考到。可见，考试这根指挥棒仍然在发挥着巨大地影响。现状三：研究不足，策略缺失经访谈得知，23名教师中没有哪位教师对本主题进行深入实践研究过。52.1%的教师表示不知道如何有效地在实践中培养学生的归纳推理能力,47.8%的教师不完全清楚哪些教学内容的教学可以培养学生的归纳推理能力。表一：教师调查统计表题目选项人数百分率（）你了解什么是归纳推理吗？请你举例说明A 了解（能正确举例）730.43B 了解（不能举例）114782C 不了解521.74在教学中你重视对学生的“归纳推理”的能力培养吗？是否经常让学生做如题1、题2这样的练习？A 重视，有417

4、.40B 一般，偶尔1982.60C 不重视，没有00.00关于培养学生的“归纳推理”能力你有什么困惑？（可以多选、不选或者补充）A 不知道教什么1147.82B 不知道怎么教1252.17C 其他00.002、从学生层面调研结果分析题1：观察、两个等式有什么特点，在其它等式的（ ）里填上适当的分数。+= × += × （ ）+=（ ）× 6+（ ）=6×（ ）调研结果与分析：103名学生中有64名学生能完成算式，占总人数的62.14%，37.86%的学生不能从算式和算式中发现规律，并把规律运用在新的问题中。有36名学生完成算式，只占总人数的34.95%

5、。可见部分学生虽然能从上面的算式中发现规律，并能运用规律解决一般性问题。但是，一旦问题发生了某些变化，就不能很好的通过类比（整数与分数之间的关系）来解决稍复杂问题了。题2：以下这些图形我们都称之为同心图形。 拿同心圆来说，最里面圆的直径是2厘米，每相邻两个圆的直径差是1厘米，请你计算一下：从里往外数，第2个圆与第1个圆的周长的差，第3个圆和第2个圆的周长的差以及第4个圆和第3个圆的周长的差。 通过计算你发现了什么？根据你的发现，你能提出什么猜想？调研结果与分析：能回答问题的学生有86人，占了总人数的83.50%，除了那些不能进行正确计算的学生外几乎都能发现两个相邻的圆之间周长的差是一样的。但能

6、合理地提出猜想的学生只有12人，仅占总人数的11.65%。可见学生缺乏对归纳的结果进行类比联想的经验，导致发现问题、提出猜想的能力非常薄弱，严重阻碍了学生创新思维的发展。由以上的调查结果分析来看，我认为有必要对归纳推理的要义和重要性做简要的阐述，也有必要梳理一下承载培养学生归纳推理能力的教学内容，以及对如何在教学中培养学生归纳推理能力的实践策略作进一步探讨。二、归纳推理的要义与重要性思维的基本形式有概念、判断和推理。所谓推理，就是从已知的判断推出新的判断的思维形式。它主要的形式有两类：归纳推理和演绎推理。演绎推理是从一般原理到特殊事物的推理。而归纳推理则相反，它是从特殊事物推出一般原理的推理。

7、是基于经验和事实的推理。如：多个三角形的内角和是180°，得出所有三角形的内角和都是180°。我们把归纳推理分为完全归纳和不完全归纳。心理学上所说的归纳推理一般是指不完全归纳，而完全归纳与演绎推理一样，都是用于科学证明的。由此，通过归纳推理得出的结论不一定正确，我们只能称它为“猜想”。波利亚称之为“合情推理”，“是一种冒风险的推理。”由此，它需要演绎推理给予证明。在小学里，由于小学生掌握的数学知识和抽象思维能力有限，我们往往让学生用举例检验或因果分析的方法来代替数学上的严谨证明。 就方法而论，归纳推理涵盖了观察实验、比较分类、因果分析、统计推断、枚举、归纳、类比等（这里所说

8、的“归纳”是指从特殊事例概括一般结论的方法或过程，是基于一个类的归纳推理，而像“类比”则是基于两个类的推理）。波利亚指出：归纳过程的典型步骤为，我们注意到了某些相似性；然后是一个推广的步骤，即把所说的相似性推广为一个明确表述的一般命题；最后我们又应对所得出的一般命题进行检验。在小学数学内容中，像分类、探索规律、以及概念、定义、规则、概率和解决问题等学习都有体现归纳推理的思维过程。虽然亚里士多德创立的演绎推理对后世科学的发展产生了深远的影响，但意大利物理学家、天文学家伽利略认为：“现实的认识过程是归纳先于演绎，许多公式和定律都是从实验结论中归纳出来的。”数学家舒尔更明确指出：“在数学研究中，非数

9、学的归纳法起着重要的作用。”数学中许多著名的猜想，如哥德巴赫猜想、费马猜想、四色猜想、七桥猜想等都是经归纳推理获得的结论，虽然某些结论不一定正确，却在很大的程度上推动了数学的发展。史宁中教授在新课程标准修订过程中特别指出：“演绎推理可以表现为一种知识，而归纳推理可以表现为一种智慧。”“归纳推理有利于发现新的问题，是一种创新所要依赖的推理。如果教学中只有演绎没有归纳是不利于创新人才培养的。”史教授还特别强调：归纳推理很难在中国传统的过分注重传授知识和技能的教学中得到实施，但为了培养创新性人才，我们必须培养这种基于经验、通过想象和抽象推断结果的能力，无论在时间上还是在内容上都应当给予足够的重视。三

10、、承载培养学生归纳推理能力的教学内容小学数学教学中哪些内容的教学可以培养学生的归纳推理能力呢？我认为有这样两类，一类是显性的，教材编排的意图是非常明确的；另一类是隐性的，它隐含在一些练习或知识的内在联系中，需要教师深入的挖掘。下面就对教材中比较典型的显性内容做简要的整理。表二：教材内容整理数与代数图形与几何数学思考一年级 9加几的算式的规律探索 20以内退位减法表的规律探索图形的认识，图形特征地归纳分类找规律二年级乘法口诀表的规律探索除法算式中被除数、除数和商的变化规律角与轴对称图形的认识找规律三年级探索余数与除数之间的大小关系同分母分数和同分子分数的大小比较规律探索小数各位上的数表示实际意义

11、的归纳认识四边形长方形周长计算公式的探索排列组合教学中初步对乘法原理的归纳重叠问题教学中思想方法的归纳四年级大数读、写法的归纳探索积和商的变化规律运算规律的探索基本数量关系的归纳平行四边和梯形的认识三角形的分类，内角和、三边关系的探索统筹思想教学中思想方法的归纳植树问题教学中思想方法的归纳五年级因数与倍数单元中数的分类分数意义的归纳以及分数基本性质的探索多边形面积的计算公式的探索。长方体表面积、体积计算公式的探索量一量，找规律用计算器探索规律找次品中的方法归纳六年级分数乘除法计算方法的探索比与比例的基本性质的探索圆周长和面积计算公式的探索鸡兔同笼和抽屉原理教学中思想方法的归纳“数学思考”总复习

12、 除了表二中三块内容外，概率与统计教学中的预测以也体现了归纳推理的过程。有些内容教材虽没有编排，但也是很好的素材。第一，可以在练习中挖掘，比如探索长方形周长与面积的关系。第二，数学文化和数学游戏中也有很多很有价值的素材，比如猜数游戏、角谷猜想、神奇的缺8数等等。 四、构建课堂教学中培养归纳推理能力的引导路径如何在课堂教学中有效培养学生的归纳推理能力呢？史宁中教授指出：“归纳推理能力的培养更多的依赖于过程的教育和经验的积累。”由此，教师在课堂教学中，设计合理的教学过程和并作有效地引导，将对学生的归纳推理能力的发展起着重要的作用。以下主要介绍四种较典型的课堂教学引导路径：1、观察分类归纳应用（以“

13、平行四边形与梯形的认识”教学为例）观察 出示各种形状的平行四边形、梯形和普通四边形。也可以通过学生地操作“画一画”形成。注意给学生同一类图形的形状要多样，因为这是抽象本质属性的基础。分类 接着教师提出要求：根据这些四边形对边之间的关系，你能给它们分分类吗？分类需要学生要对观察对象进行比较分析，发现对象之间的异同，找到属于同类的对象，从而自主地进行了初步的抽象。归纳 学生分完类之后，首先对各类对象的共同本质进行抽象，比如让学生说一说这一类图形有什么共同的特征。接着教师要给这两类图形贴上语言标签，即给它们取名。然后再让学生说一说怎样的图形就是平行四边形，怎样的图形就是梯形。这就是心理学上所说的概括

14、，即把抽象出来的共同的本质推广到同类事物上去。应用 像定义的学习，由于怎样的图形是平行四边形是一种人为的规定，所以无需对结论进行检验。我们可以让学生用得出的结论去判断一些四边形是否是平行四边形或梯形，从而进一步加深对这些某一类图形特征的认识。2、观察比较归纳分析（以“探索9加几的算式中的规律”教学为例）观察 以上已提及观察的材料可以从学生那里来，也可以由教师直接呈现，有时候还可以是师生共同完成的。比如9加几的算式，教师提供算式，学生计算结果，形成了观察材料。当然，最后形成的观察材料应该是有序的，有利于学生观察的。比较 学生在观察的基础上，要对一个算式中“和”的个位上的数与另一个“加数”的关系进

15、行比较，同时还要在不同算式中做比较，这样他们才会发现：在9加几的算式中，“和”的个位上的数总要比另一个“加数”少1。归纳 几道9加几的算式中，算式虽然都在变化，其中却有不变的东西。学生把他们观察比较中发现的规律用较准确的语言概括出来，形成一般性结论。分析 这个规律是否属于偶然还是有它必然的原因呢？这时就有必要进行因果分析。教师提问：同学们，为什么“和”个位上的数总是比另一“加数”少1呢？这1到底去哪儿了呢？抽象思维好一些的学生可能会发现其中的秘密，但对于大部分学生来说，仅仅从算式上观察是不容易发现其中奥秘的。我们可以把抽象的算式直观化，借实物图展示凑十法的计算过程，学生就比较容易发现：原来那个

16、1跑到9那儿与它凑整十了。3、类比实验归纳枚举（以“比的基本性质为例”教学为例）类比 所谓类比就是根据两类事物在某些属性上的相同，推出它们其它的某一项属性也可能相同的推理。类比和归纳是归纳推理中的两种常用的方法，它们与联想、直觉一起构成了发现新问题、提出猜想的思维基础。在教学比的基本性质时，我们先来复习商不变性质和分数的基本性质，因为除法、分数和比，它们三者在本属性上具有一致性。既然除法和分数都有这样的基本性质，那么比是否也存在着这种基本性质呢？在类比的基础上，猜想的提出就水到渠成。实验 那么到底这个猜想是否正确呢？这就需要实验操作来检验。数学上的实验不一定要动手操作，计算同样也是一种数学实验

17、。这时，可以让学生自己随意写一个比，并对比的前项和后项进行相同的计算，这时，课堂上就形成了由实验直接获得的一组数据。归纳 教师引导学生观察这组数据，抽象出内在的规律，并把规律推广到所有的比上，从而获得了一般性的结论（比的基本性质）。枚举 是否所有的比都具有这样的性质呢？在小学里，学生只要再举几个例子，找不到反例，就视结论的正确性。虽然这样的过程不够严谨，但小学生的知识有限，再说小学数学内容，都比较形象，有学生的经验做支撑，学生心里一般不会有疑惑。4、问题类推归纳推广（以“一道练习题”教学为例）问题 把4米长的绳子平均剪成5段，每段（ ）米，每段绳子是全长的（ ）。本题是学生比较容易出错的一个问

18、题，主要考查学生对分数的意义和分数与除法关系的掌握情况。看到这个问题，许多学生会在脑子里拼命搜寻类似的练习留下的记忆，造成机械式解题非常严重。类推 所谓类推就是基于数值一步一步推演的解答问题的方法。以上问题，可以先引导学生思考：如果把20米的绳子平均剪成5段，每段是几米？每段是绳子的几分之几？结合图学生会比较容易解决。接着再把20米改成15米，改成10米，改成5米， 改成4米，甚至还可以改成米，依次让学生回答题目中的两个问题，并形成板书。除了类推，有些问题还可以用“尝试例举”的方法，为归纳一般性的方法做好铺垫，如用列表法解决“鸡兔同笼”问题。归纳 有了以上类推的经历，再引导学生观察。这时，学生就比较容易发现：求每段是多少米要把总长度除以剪成的段数，而求每段的长度与总长度的关系则要看分几段，跟总长度无关。推广 教学到这里，看似问题已经解决，其实还没有结束。我们可以把同样的数学关系放入不同的情境中，从而获得更深一层次的抽象。如把情境改成：把4个月饼平均分给5个人；把4千克的白糖平均分给5个人等。由此可以进一步抽象归纳得出：求每份数要把总数除以份数，而求每份数与总数的关系则要看平均分几份，跟总数无关。在实际教学中，我们