一次函数知识点经典例题练习

1、一次函数及其性质l 知识点一 一次函数的定义一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，即，这时即是前一节所学过的正比例函数一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式当，时，仍是一次函数当，时，它不是一次函数正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数l 知识点二 一次函数的图象及其画法一次函数（，为常数）的图象是一条直线由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可如果这个函数是正比例函数，通常取，两点；如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，即直线及两坐标轴的交点由函数图象的意义知，

2、满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线及是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线l 知识点三 一次函数的性质当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小l 知识点四 一次函数的图象、性质及、的符号一次函数，符号图象性质随的增大而增大随的增大而减小一次函数中，当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限 当时，图象及轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象及轴交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限反之，由一次函数的图象

3、的位置也可以确定其系数、的符号l 知识点五 用待定系数法求一次函数的解析式定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法用待定系数法求函数解析式的一般步骤：根据已知条件写出含有待定系数的解析式；将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；解方程（组），得到待定系数的值；将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式类型一：点的坐标方法： x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0；若两个点关于x轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数；若两个点关于y轴对称，则它们的纵坐标相同

4、，横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数；1、已知A（4，b），B（a,-2），若A，B关于x轴对称，则a=_,b=_;若A,B关于y轴对称，则a=_,b=_;若若A，B关于原点对称，则a=_,b=_；举一反三：【变式1】若点M（1-x,1-y）在第二象限，那么点N（1-x,y-1）关于原点的对称点在第_象限。【变式2】若点A（m,n）在第二象限，则点（|m|,-n）在第_象限；【变式3】若点P（2a-1,2-3b）是第二象限的点，则a,b的范围为_。类型二：关于点的距离的问题方法：点到x轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y轴的距离用横坐标的绝对值

5、表示； 任意两点的距离为； 若ABx轴，则的距离为； 若ABy轴，则的距离为； 点到原点之间的距离为 2、已知点P（3,0），Q(-2,0),则PQ=_,已知点,则MQ=_;,则EF两点之间的距离是_;已知点G（2，-3）、H（3,4），则G、H两点之间的距离是_；举一反三：【变式1】两点（3，-4）、（5，a）间的距离是2，则a的值为_；【变式2】已知点A（0,2）、B（-3，-2）、C（a,b），若C点在x轴上，且ACB=90°，则C点坐标为_.【变式3】点D（a,b）到x轴的距离是_；到y轴的距离是_；到原点的距离是_；类型三：正比例函数及一次函数定义方法：若y=kx+b(k,

6、b是常数，k0)，那么y叫做x的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k是常数，k0)，这时，y叫做x的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b，这时，y叫做常函数。A及B成正比例óA=kB(k0)3、当m为何值时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？思路点拨：某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k0举一反三：【变式1】如果函数是正比例函数，那么（ ）.Am=2或m=0 Bm=2 Cm=0 Dm=1【变式2】已知y-3及x成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y及x之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y的值；（3）当y=4时，求x

7、的值【变式3】已知一次函数    （1）当m取何值时，y随x的增大而减小？    （2）当m取何值时，函数的图象过原点？类型四：待定系数法求函数解析式方法：依据两个独立的条件确定k,b的值，即可求解出一次函数y=kx+b（k0）的解析式。 已知是直线或一次函数可以设y=kx+b（k0）； 若点在直线上，则可以将点的坐标代入解析式构建方程。4、求图象经过点（2，-1），且及直线y=2x+1平行的一次函数的表达式思路点拨：图象及y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出b即可

8、举一反三：【 变式1】已知弹簧的长度y（cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm，挂4kg的重物时，弹簧的长度是7.2cm，求这个一次函数的表达式分析:题中并没给出一次函数的表达式，因此应先设一次函数的表达式y=kx+b，再由已知条件可知，当x=0时，y=6；当x=4时，y=7.2求出k，b即可【变式2】已知直线y=2x+1（1）求已知直线及y轴交点M的坐标；（2）若直线y=kx+b及已知直线关于y轴对称，求k，b的值【变式3】判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上分析：由于两点确定一条直线，故选取其中两

9、点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明第三点在此直线上；若不成立，说明不在此直线上类型五：函数图象及其应用方法：函数图象性质经过象限变化规律y=kx+b（k、b为常数，且k0）k0b0b=0b0k0b0b=0b0一次函数y=kx+b（k0）中k、b的意义： k(称为斜率)表示直线y=kx+b（k0） 的倾斜程度；b（称为截距）表示直线y=kx+b（k0）及y轴交点的 ，也表示直线在y轴上的。同一平面内，不重合的两直线 y=k1x+b1（k10）及 y=k2x+b2（k20）的位置关系：当时，两直线平行。 当时，两直线垂直。当时，两直线相交。 当时，两直线交于

10、y轴上同一点。特殊直线方程：X轴 : 直线Y轴 : 直线及X轴平行的直线 及Y轴平行的直线一、 三象限角平分线 二、四象限角平分线5、图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)汽车共行驶了_ km；(2)汽车在行驶途中停留了_ h；(3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为_ km/h；(4)汽车自出发后3h至4.5h之间行驶的方向是_.举一反三：【变式1】图中，射线l甲、l乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程s及时间t的函数关系，求它们行进的速度关系。【变式2

11、】（2019四川内江）小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校，所用的时间及路程的关系如图所示。放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( )A.14分钟 B.17分钟 C.18分钟 D.20分钟【变式3】某种洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）及时间x（分钟）之间的关系如图所示：根据图象解答下列问题： （1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升.

12、求排水时y及x之间的关系式； 如果排水时间为 2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量.分析：依题意解读图象可知：从04分钟在进水，415分钟在清洗，此时，洗衣机内有水40升，15分钟后开始放水.类型六：一次函数的性质 方法：当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小6、己知一次函数y=kx十b的图象交x轴于点A（一6，0），交y轴于点B，且AOB的面积为12，y随x的增大而增大，求k，b的值思路点拨：设函数的图象及y轴交于点B（0，b），则OB=,由AOB 的面积，可求出b，又由点A在直线上，可求出k并由函数的性质确定k的取值举一反三：【

13、变式1】已知关于x的一次函数（1）m为何值时，函数的图象经过原点?（2）m为何值时，函数的图象经过点（0，2）?（3）m为何值时，函数的图象和直线y=x平行?（4）m为何值时，y随x的增大而减小？【变式2】函数在直角坐标系中的图象可能是（ ）【变式3】一次函数 y=(6-3m)x(2n4)不经过第三象限，则m、n的范围是_。类型七：平移方法：直线y=kx+b及y轴交点为（0，b），直线平移则直线上的点（0，b）也会同样的平移，平移不改变斜率k， b则将平移后的点代入解析式求出b即可。直线y=kx+b向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。

14、7、过点（2，-3）且平行于直线y=2x的直线是_ _。举一反三：【变式1】 过点（2，-3）且平行于直线y=-3x+1的直线是_.【变式2】直线m:y=2x+2是直线n向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n上，则a=_；【变式3】把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位，可得到的图像表示的函数是_。类型八：交点问题及直线围成的面积问题方法：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）；往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高；8、已知直线

15、m经过两点（1,6）、（-3，-2），它和x轴、y轴的交点式B、A，直线n过点（2，-2），且及y轴交点的纵坐标是-3，它和x轴、y轴的交点是D、C；（1） 分别写出两条直线解析式，并画草图；（2） 计算四边形ABCD的面积；（3） 若直线AB及DC交于点E，求BCE的面积。举一反三：【变式1】如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，p）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0,2），直线PB交y轴于点D，AOP的面积为6；（4） 求COP的面积；（5） 求点A的坐标及p的值；（6） 若BOP及DOP的面积相等，求直线BD的函数解析式。【变式2】已知：经过点（-3，-2），它及x轴

16、，y轴分别交于点B、A，直线经过点（2，-2），且及y轴交于点C（0，-3），它及x轴交于点D    （1）求直线的解析式；    （2）若直线及交于点P，求的值。【变式3】如图，已知点A（2，4），B（-2，2），C（4，0），求ABC的面积。类型九：一次函数综合10、已知：如图，平面直角坐标系中，A（ 1，0），B（0，1），C（-1，0），过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E。（1）求OAB的度数及直线AB的解析式；（2）若OCD及BDE的面积相等，求直线CE的解析式；若y轴上的一点P满足APE=45°

17、，请直接写出点P的坐标。思路点拨：（1）由A，B两点的坐标知，AOB为等腰直角三角形，所以OAB=45°（2）OCD及BDE的面积相等，等价于ACE及AOB面积相等，故可求E点坐标，从而得到CE的解析式；因为E为AB中点，故P为（0,0）时，APE=45°.举一反三：【变式1】在长方形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，点P沿边按ABCD的方向向点D运动（但不及A，D两点重合）。求APD的面积y()及点P所行的路程x（cm）之间的函数关系式及自变量的取值范围。【变式2】如图，直线及x轴y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）。（1）求的值

18、；（2）若点P（，）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出OPA的面积S及x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究：在（2）的条件下，当点P运动到什么位置时，OPA的面积为，并说明理由。【变式3】已知一个正比例函数及一个一次函数的图象交于点A（3,4），且OA=OB(1)求两个函数的解析式；(2)求AOB的面积。一次函数练习一、选择题1.若是正比例函数，则b的值是（ ） A.0 B. C. D.2.当时,函数的函数值为 ( )A.-25 B.-7 C. 8 D.113.函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是 ( )A. B. C. D.4.一次函数

19、不经过的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 5.若把一次函数y=2x3,向上平移3个单位长度，得到图象解析式是( )A、y=2x B、 y=2x6 C、 y=5x3 D、y=x36.一次函数的图象及直线y= -x+1平行，且过点（8，2），此一次函数的解析式为：（ ） A、y=2x-14 B、y=-x-6 C、y=-x+10 D、y=4x7如果直线y2xm及两坐标轴围成的三角形面积等于m，则m的值是（）A、±3B、3C、±4D、48点A（，）和B（，）在同一直线上，且若，则，的关系是（ ）A、 B、 C、 D、无法确定9.若m0, n0, 则一次函数

20、y=mx+n的图象不经过 （ ）A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限2xy0210、一次函数（是常数，）的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）ABCD11.已知函数,当-1x1时，y 的取值范围是（ ）A. B. C. D.12已知两个一次函数y=x+3k和y=2x6的图象交点在y轴上，则k的值为（ ）A、3 B、1 C、2 D、213已知一次函数y=kxk，若y随x的增大而减小，则该函数的图象经过（ ）A、第一、二、三象限B、第一、二、四象限C、第二、三、四象限D、第一、三、四象限14.当时，函数y=ax+b及在同一坐标系中的图象大致是（）15一次函数y1=kx+b及y2

21、=x+a的图象如图，则下列结论k<0；a>0；当x<3时，y1<y2中，正确的个数是（ ） A0个 B1个 C2个 D3个16.汽车由地驶往相距120km的B地，它的平均速度是30km/h，则汽车距地路程s(km)及行驶时间t(h)的函数关系式及自变量t的取值范围是（ ）AS=12030t (0t4) BS=12030t (t>0)CS=30t (0t40) DS=30t (t<4)二、填空题1.若关于x的函数是一次函数，则m=，n.2在函数中，自变量的取值范围是。3把函数的图像向平移个单位得到函数。4直线y=2x+b经过点(1，3)，则b= _5. 已知一

22、次函数y=-3x+2，它的图像不经过第象限.6.若一次函数ymx-(m-2)过点(0,3)，则m=7.函数y= -x+2的图象及x轴，y轴围成的三角形面积为_.8已知函数y=3x+b的图象过点（1，2）和（a，4），则a=_9某一次函数图象过点（1，5），且函数y的值随自变量x的值的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式_10已知直线y=x-3及y=2x+2的交点为（-5，-8），则方程组的解是_11.若直线y=kx+b平行直线y=5x+3，且过点（2，-1），则k=_ ,b=_ .12直线y=2x+3及y=3x2b的图象交x轴上同一点，则b=_.13写出一个图象经过点（1，1），且

23、不经过第一象限的函数关系式_.14一次函数y=kx+b的图象及正比例函数的图象平行，且及直线y=2x1交于y轴上同一点，则这个一次函数的关系式为_.15.在某公用电话亭打电话时，需付电话费y（元）及通话时间 x（分钟）之间的函数关系用图象表示如图.小明打了2分钟需付费_元；小莉打了8分钟需付费_元.三、计算题1画出函数y=-2x+5的图象，结合图象回答下列问题： （1）这个函数中，随着x的增大，它的图象从左到右是怎样变化的？ （2）当x取何值时，y=0？ （3）当x取何值时，函数的图象在x轴的下方？2已知一次函数y=（4m+1）x-（m+1）， （1）m为何值时，y随x的增大而减小？ （2）m为何值时，直线及y轴的交点在x轴的下方？ （3）m为何值时，直线位于第二，三，四象限？3已知关于x的一次函数y=（3a-7）x+a-2的图象及y轴的交点在x轴的上方，且当x1<x2时，对应的函数值满足y1>y2，求a的取值范围4.已知直线.(1) 求已知直线及y轴的交点A的坐标;(2)若直线及已知直线关于y轴对称，求k及b的值.5已知直线y=-x+3及y=2x-1，求它们及y轴所围成的三