浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题

1、浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题知识点一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地， 如果特)0,(2acbacbxaxy是常数，特别注意a 不为零，那么 y 叫做 x 的二次函数。)0,(2acbacbxaxy是常数，叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx2对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法- 五点作图法 ：（ 1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点m，并用虚线画出对称轴（ 2）求抛物线cbxaxy2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个

2、交点a,b 及抛物线与y 轴的交点c，再找到点c 的对称点d。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点c 及对称点 d。由 c、m、d 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点a、 b，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。【例 1】 、已知函数y=x2-2x-3 ，（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：（3）根据第（ 1）题的图象草图

3、，说出 x 取哪些值时， y=0 ； y0 知识点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀- 一般 两根 三顶点（ 1）一般一般式：)0,(2acbacbxaxy是常数，（ 2）两根当抛物线cbxaxy2与 x 轴有交点时，即对应的一元二次方程02cbxax有实根1x和2x存在时，根据二次三项式的分解因式)(212xxxxacbxax，二次函数cbxaxy2可转化为两根式)(21xxxxay。如果没有交点，则不能这样表示。a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（ 3）三顶点顶点式：)0,()(2akhakhxay是常数，当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我们最好设顶点式，这样最简洁。【

4、例 1】 、抛物线cbxaxy2与 x 轴交于 a（1，0） ，b（3，0）两点，且过（-1，16） ，求抛物线的解析式。【例 2】 、如图，抛物线cbxaxy2与 x 轴的一个交点a 在点（ -2，0）和（ -1，0）之间（包括这两点） ，顶点 c 是矩形 defg 上（包括边界和内部）的一个动点，则（1）abc0 （或或 =）（2）a 的取值范围是【例 3】 、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0 ，1) 的是 ( ) ay = (x- 2)2 + 1 by = (x + 2)2 + 1 cy = (x- 2)2- 3 dy = (x + 2)2- 3 知识点三、二次

5、函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx2时，abacy442最值。如果自变量的取值范围是21xxx，那么，首先要看ab2是否在自变量取值范围21xxx内，若在此范围内，则当x=ab2时，abacy442最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21xxx范围内的增减性 ， 如 果 在 此 范 围 内 ， y随x的 增 大 而 增 大 ， 则 当2xx时 ，cbxaxy222最大， 当1xx时 ，cbxaxy121最小；如果在此范围内， y 随 x 的增大而减小， 则当1xx时，cbxaxy121最大，当2xx时，cbxaxy222最小。【例 1

6、】 、已知二次函数的图像（0 x3）如图所示 ,关于该函数在所给自变量取值范围内, 下列说法正确的是( ) a有最小值0，有最大值3 b有最小值 1,有最大值0 c有最小值1,有最大值 3 d有最小值 1,无最大值【例 2】 、某宾馆有50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天l80 元时，房间会全部住满当每个房间每天的房价每增加10 元时， 就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20 元的各种费用根据规定，每个房间每天的房价不得高于340 元设每个房间的房价每天增加x 元(x 为 10 的正整数倍 )（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y 与 x 的函数关系式及自变量x

7、的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w元，求 w与 x 的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元? o-1xy1 3 2 3 知识点四、二次函数的性质1、二次函数的性质函数二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，图像a0 a0 时，抛物线开口向上a0 时，图像与x 轴有两个交点；当=0 时，图像与x 轴有一个交点；当0 时y值随x值增大而减小的是（） ay = x2by = xcy = 34xdy = 1x【例 6】 、若二次函数2()1yxm当xl 时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（） a m=l bml cml dml 知识点五、二次函数图

8、象的平移 对于抛物线y=ax2+bx+c 的平移通常先将一般式转化成顶点式2ya xhk，再遵循 左加右减 ，上加下减 的的原则化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时，要减去顶点的横坐标，加上顶点的纵坐标。cbxaxy2沿y轴平移：向上（下）平移m（m 0）个单位，cbxaxy2变成mcbxaxy2（或mcbxaxy2） 当然，对于抛物线的一般式平移时，也可以不把它化为顶点式cbxaxy2：向左（右）平移m（m 0）个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）【例 1】 、将抛物线2yx向左平移2 个

9、单位后，得到的抛物线的解析式是( ) a2(2)yx b 22yxc2(2)yx d 22yx【例 2】 、将抛物线y=x22x 向上平移 3 个单位 , 再向右平移4 个单位等到的抛物线是_. 【例 3】 、抛物线2yx可以由抛物线223yx平移得到 , 则下列平移过程正确的是( ) a.先向左平移2 个单位 , 再向上平移3 个单位b.先向左平移2 个单位 , 再向下平移3 个单位c.先向右平移2 个单位 , 再向下平移3 个单位d.先向右平移2 个单位 , 再向上平移3 个单位知识点六、抛物线cbxaxy2中，a、b、c 的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样

10、. （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2， 故： 0b时，对称轴为y轴；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧 .口诀 - 左同，右异（a、b 同号，对称轴在y 轴左侧）（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置. 当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c） ：0c，抛物线经过原点; 0c, 与y轴交于正半轴；0c, 与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab. 【例 1】 、如图为抛物线2yaxbx

11、c的图像，a、b、c为抛物线与坐标轴的交点，且oa=oc=1，则下列关系中正确的是( ) aa b=1 b ab= 1cb2a dac0 b b0 cc0 dabc0 【例 3】 、如图所示的二次函数2yaxbxc的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）240bac；（2）c1； （3） 2ab0；（4）a+b+c0。 你认为其中错误的有 ( ) a2 个b3 个c 4 个d 1个【例 4】 、如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12，下列结论：ac0； a+b=0； 4acb2=4a； a+b+c0. 其中正确的个数是（）a.1 b.2 c

12、.3 d.4 【例 5】 、如图，是二次函数y ax2bxc（a0）的图象的一部分，给出下列命题：a+b+c=0；b2a； ax2+bx+c=0 的两根分别为 -3 和 1； a-2b+c 0其中正确的命题是 （只要求填写正确命题的序号）x y -1 1 o 1 【例6】 、如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（）amn，kh bmn ，kh cmn，kh dmn，kh知识点七、中考二次函数压轴题中常用到的公式（浙教版教材上没讲过，但是非常有用，一定要理解性地记忆）1、两点间距离公式：如图：点a 坐标为（ x1，y1） ，点 b 坐标为（ x2，y2） ，则 a

13、b 间的距离，即线段ab的长度为221221yyxx（这实际上是根据勾股定理 得出来的）2、中点坐标公式： 如图， 在平面直角坐标系中，a、b两点的坐标分别为11()a xy，22()b xy，ab中点p的坐标为 ()ppxy，由12ppxxxx ，得122pxxx，同理122pyyy，所以ab的中点坐标为1212()22xxyy，3、两平行直线的解析式分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么 k1=k2，也就是说当我们知道一条直线的k 值，就一定能知道与它平行的另一条直线的k 值。4、两垂直直线的解析式分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么 k1k2=-1 ，也就是说当我们

14、知道一条直线的k 值，就一定能知道与它垂直的另一条直线的k 值。 （对于这一条，只要能灵活运用就行，不需要理解 ）以上四条，我称它们为坐标系中的“四大金刚 ”【例 1】 、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3 与 x 轴交于 ab 两点，与y 轴交于点c，点 d 是该抛物线的顶点（1）求直线ac 的解析式及b d 两点的坐标；（2）点 p 是 x 轴上一个动点，过p 作直线 lac 交抛物线于点q，试探究：随着p 点的运动，在抛物线上是否存在点 q，使以点a p、q、c 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点q 的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线ac

15、上找一点m，使 bdm 的周长最小，求出m 点的坐标1xpx2x12xx12yy1y2ypya p b o yxadceboadceboadcebo【例 2】 、如图，已知抛物线y=x2+bx+c 与一直线相交于a（ 1，0） ，c（2，3）两点，与y 轴交于点n其顶点为 d（1）求抛物线及直线ac的函数关系式；（2）设点 m （3，m ） ，求使 mn+md 的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线ac相交于点b，e为直线 ac上的任意一点，过点e作 ef bd交抛物线于点f，以 b，d，e，f 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点e的坐标；若不能，请说明理由；（4）若 p是抛物

16、线上位于直线ac上方的一个动点，求 apc 的面积的最大值【例 3】 、如图，抛物线423412xxy与 x 轴交于 a，b两点（点 b在点 a的右边），与 y 轴交于 c，连接 bc ，以 bc为一边，点o为对称中心作菱形bdec ，点 p 是 x 轴上的一个动点，设点p的坐标为（ m ，0） ，过 p作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点q 。（1）求点 a、b、c的坐标；（2）当点 p在线段 ob上运动时，直线l 分别交 bd 、bc于点 m 、n。试探究m为何值时，四边形cqmd 是平行四边形，此时，请判断四边形cqbm 的形状，并说明理由。（3）当点 p在线段 eb上运动时，是否存在点q

17、 ，使 bdq 为直角三角形，若存在，请直接写出q点坐标；若不存在，请说明理由。练习1、平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m 、2 5 m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是15 m ，则学生丁的身高为( 建立的平面直角坐标系如右图所示)( ) a1 5 m b1625 mc1 66 m d1 67 m 2、已知函数22113513xxyxx，则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，则 k 的值为（）a0 b1 c2 d3 3.二次函数2

18、yaxbxc的图象如图所示，则反比例函数ayx与一次函数ybxc在同一坐标系中的大致图象是（）. 4.如图，已知二次函数cbxxy2的图象经过点（1， 0） ， （1， 2） ，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是5.在平面直角坐标系中，将抛物线223yxx绕着它与 y 轴的交点旋转180 ， 所得抛物线的解析式是（） a2(1)2yxb2(1)4yxc2(1)2yxd2(1)4yx6. 已 知 二 次函数cbxaxy2的图 像如 图， 其对 称轴1x， 给出 下列 结果acb420abc02ba0cba0cba，则正确的结论是（）a b c d xyo11（ 1,- 2）cbxxy2- 1

19、 7抛物线2yaxbxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 从上表可知，下列说法中正确的是（填写序号）抛物线与x轴的一个交点为（3,0） ； 函数2yaxbxc的最大值为6；抛物线的对称轴是12x；在对称轴左侧，y随x增大而增大8. 如图，在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，点a 的坐标是（ 2，4） ，过点 a 作 aby 轴，垂足为b，连结oa(1)求oab 的面积；(2)若抛物线22yxxc经过点 a求 c 的值；将抛物线向下平移m 个单位， 使平移后得到的抛物线顶点落在oab 的内部（不包括 oab 的边界），求 m 的取值范围（

20、直接写出答案即可）9、 “已知函数cbxxy221的图象经过点a（c， 2） ，这个二次函数图象的对称轴是x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（ 1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。10、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形abcd 是直角梯形，bcad， bad= 90 ，bc 与 y 轴相交于点m，且 m 是 bc 的中点， a、b、d 三点的坐标分别是a（ -1，0） ，b( -1，2)，d( 3，0)，连接 dm，并把线段dm沿 da 方向平移到on，若抛物线y=ax2+bx+c 经过点 d、 m、 n（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点p使得 pa= pc若存在，求出点p 的坐标；若不存在请说明理由。（3）设抛物线与x 轴的另 个交点为e点 q 是抛物线的对称轴上的个动点，当点q 在什么位置时有qeqc最大？并求出最大值。11、如图，抛物线y=21x2+bx2