高中数学高考题详解-基本不等式

1、考点29基本不等式选择题1. (2013 重庆高考理科 t3) j(3-g)(g + 6)(-6"5 3)的最大值为(a. 92c. 3【解题指南】直接利用基本不等式求解.【解机】选 b.当 a = -6或。=3时，j(3-g)(q + 6) = 0 ,当-6< a <3 时， j(3-d)(d + 6)s3-d + q + 6=2,当且仅当 3-“d + 6,即吋取等号.v 2 2 22.(2013 山东高考理科 t 12)设正实数x, y, z满足x2-3xy+4y20.则当空取得最大值时，？+丄的最大值为()zx y za. 0b. 1c. ?d. 34【解题指南】

2、此题可先利用已知条件用x,y来表示z,再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入？ +丄-？，进而再利用基本不 x y z等式求出？+丄-2的最值.x y z【解析】选 b> 由 x2 -3xy + 4y2 - z = 0 9 得 z = x2 -3xy + 4y2.所咛u产虽r古d当且仅当严，即“时取等号此时2 = 2/, ()max = 1.z2 12 2 12 + = + x y z 2y y xy3.(2013 山东高考文科 t12)设正实数兀,y,z满足%2-3 + 4/-z = 0 ,则当三取得最大值时，x + 2y-z的最大值为（）a. 0 b. - c.

3、2 d.-84【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y来表示z,再经过变形，转化为 基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入x+2y-z,进而再利用基本不 等式求出兀+ 2y-z的最值.【解析】选 c.由兀2 _3xy + 4y2 -z = 0 9 得 z = f -3xy + 4y2>当且仅当所以三=亡竺土工+空_3»2屮-3 = 1,xyxyy xy x即兀=2y时取等号此时z = 2y2 9所以工 + 2y - z = 2y + 2y - 2y2 = 4y- 2y2 = 2y（2 - y） < 2 > 十?-= 2 ,当且仅当y二2-y时取等号.4. （201

4、3 福建高考文科 t7）若2马2'二1,则x+j的取值范围是（）a. 0,2b. 2,0c. -2,+oo）d.（汽2【解题指南】“一正二定三相等”,当题目出现止数，出现两变量，一般而言, 这种题就是在考查基本不等式.【解析】选d. 2斫02*21,所以错误!未找到引用源。,即所以 x+yw-2.二、填空题5. （2013 四川高考文科t13）已知函数/（x） = 4x+-（x>0,6z>0）在兀=3时x取得最小值，则a =o【解题指南】本题考查的是基本不等式的等号成立的条件，在求解时需要找 到等号成立的条件，将兀=3代入即可.【解析】由题/（x） = 4x+-（x>

5、0,a>0）,根据基本不等式4x + ->4vz,当且仅当xx4兀=纟时取等号，而由题知当兀二3时取得最小值，即a = 36 x【答案】366. （2013 天津高考文科t14）设a + b = 2, h>0,则丄+辺的最小值 2a b为.【解题指南】将亠+屮中的1市日+方代换，再市均值不等式求解.2a b【解析】因为臼+ 0二2,方0,所以丄+型=凹+辺二厶+ a +辺2a b 4|d| b 4|d| 4|d| b'亠+ 2亠空=丄+ 1,当且仅当丄=辺时等号成立，此时“-2,或心？ 4|d|v4|d| b 4|a|4|o| b3若-2,则若咗，则磊+嗨.所以佥咛的

6、最小值为扌【答案】-47.（2013 天津高考理科t14）设° +力=2,/?>0,则当°二 时, 需+ f取得最小值.2|a| b【解题指南】将丄+ f中的1由日+ 0代换，再由均值不等式求解.2|d| b【解析】因为日+皿所以佥卍喘普命唸兮诒珂扁x牛金+】,当且仅当語普时等号成立,此时，或吨, 若一'则和弓若“弓则磊+1斗所以佥+罗取最小值时【答案】-28. （2013 -上海高考文科t13）设常数a>q.若9x +巳"+ 1对一切正实数x成立，则a的取值范围为【解析】 考查均值不等式的应用，由题意矢 u,当兀0 时 /(x) = 9x +

7、 > 2. 9x + =6a>a + l=>a> x v x5【答案】g，oo）9.（2013 陕西高考文科t14）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为3）.40ma2 +b2 = 5, ma + nb = 5则j/+沪的最小值为错误！未指定书签。3.（2014年高考江西卷（理）对任意/?,卜1| +卜| +卜1| +卜+ 1|的最小值为（）a. 1b. 2c. 3d. 4错误！未指定书签。4.（2014年高考安徽卷（理）若函数/（x） = |x+l| + |2x + |的最小值3,则【解题指南】设出矩形的高y,市题目已

8、知列出小y的关系式，整理后利用均值不等式解决应用问题.【解析】设矩形高为y,由三角形相似得：兰=如，乐>0,y>（uv40,yv40 4040=> 40 =兀+ y n 2j,仅当兀=y = 20时，矩形的面积$ =与取最大值400【答案】20.2014年全国高考理科数学试题：不等式选讲一、填空题错误！未指定书签。1（2014年广州数学（理）试题）不等式卜一1| +卜+ 2|»5的解集为o错误！未指定书签。2.（2014年高考陕西卷（理）（不等式选做题）设abmjw r ,且51-<%<-33实数d的值为（a5 或 8 b.l 或 5 c. 一1 或-4

9、d.4 或 85. （2014年高考湖南卷（理）若关于x的不等式|俶-2|<3的解集为刎<1的解集为6. ( 2014年高考重庆卷(理)设函数f(x) = i x- 1 i ,则不等式|/(x)二、解答题错误！未指定书签。1.(2014年高考新课标2(理)(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲+ x-a(a>0)(i )证明：/(x) m2；(ii )若/(3)<5,求。的取值范围.2. 错误！未指定书签。(2014年辽$数学(理)试题)选修4-5:不等式选讲设函数 /(x) = 2|x-1| + x-1,g(x) = 16x2 -8 +1,记/(兀)51 的解集为

10、m，g(x)<4 的解集为 n. (1)求 m； (2)当 xemnn 时，证明：43错误！未指定书签。.(2014年福建数学(理)试题(纯word版)选修4 -5:不等式选讲 已知定义在r上的函数f(x) =|x+l| + |x-2|的最小值为a.(i )求a的值；(ii )若p, q, r是正实数，且满足p+q+r = a,求证：p2 + q2 + r2 > 3 .错误！未指定书签。4.(2014年高考新课标1 (理)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲若 a>0,b>0,且- + - = v.a b(i)求/+戻的最小值；(ii )是否存在ci,b,使得2a

11、 + 3b = 6?并说明理由.二.只涉及两个绝对值，不再有其它项时，用平方法去绝对值1. (2011年高考广东卷理科9)不等式|x+l|-|x-3|>0的解集是2. 2012高考真题湖南理10】不等式|2x+l|-2|x-l|>0的解集为三.涉及两个u另有一常数吋，用分段讨论法去绝对值1. 【2012高考真题广东理9】不等式|x+2|-|x|wl的解集为2. (2011年高考山东卷理科4)不等式|x-5| + |x + 3|>10的解集为(a) -5. 7(c ) (8, 5 <j7,+°°)(b) -4, 6(d) (一°°,

12、-4u6, +呵3. 2012高考真题江西理16】（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x-l| + |2x+l|w6的解集为o4. （2011年高考天津卷理科13）已 知集合 a = xe 7?|x+3| + |x-4|<9,b = jxe rx = 4t + ,te （0,+oo）| ,贝!| 集 合 acb 二5 2012高考真题新课标理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数/（兀）二卜+ °|+ x-2（1）当。=-3时，求不等式/（%） > 3的解集；（2）若f（x）<x-4的解集包含1,2,求q的取值范围.6. （2011年高考辽宁

13、卷理科24）（木小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f （x） =|x-2|-|x-5（i）证明：-3wf （x） w3；（ii）求不等式f （x） 3x'2-8x+15的解集.四：利用数轴法求解1. 【2012高考真题陕西理15 a.（不等式选做题）若存在实数x使|x-6/| + |x-1|<3成 立，则实数。的取值范围是.2若不等式|x-4| + |x + 6/|>2对所有的兀都恒成立，则a的取值范围是3. （2009辽宁选作24）设函数f（x） =|兀一 1丨+ 1兀一d|（t）若 a = -l9 解不等 iv（x） > 3 ；（ii）如果vxer,/

14、u）>2,求d的取值范围。五.涉及绝对值不等式的恒成立问题，方法：分段去绝对值1. <2010年高考福建卷理科21）（木小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数jw=|x-a|o（i ）若不等式/g0m3的解集为求实数"的值；（ii）在（i ）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数ni的取值 范围。2. （2011年高考陕西卷理科15）（不等式选做题）若关于x的不等式同、卜+ 1| +卜-2|存 在实数解，则实数g的取值范围是3. 【2012高考真题辽宁理24】(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 己知/(x)=|or+l|(dw /?),不等式 fx) <

15、; 3 的解集为x|-2<x<lo(i) 求0的值;(ii) 若f(x) - 2/(-) < k恒成立，求斤的取值范围。2六：性质：|x-y|<|x| + |y|, |x+y| <|x| + |y|运用j-2| <1,则 |x-2j + l| 的最大1. (2010年高考福建卷理科)对于实数x, y,若|x-l|<l,值为.2. 【2012高考江苏24】选修4 - 5：不等式选讲(10分)已知实数x, y满足:| 兀 + y |v , 12x y |< ,求证:3'62. 比较法解不等式1. (2011年高考福建卷理科21)(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲设不等式|2x -1|<1的解集为m.(i) 求集合m；(ii) 若a, bwm,试比较ab+1与a+b的大小.2. (2010年高考江苏卷试题21)选修4-5：不等式选讲(本小题满分10分)设a、b