第一章第四讲贝叶斯公式事件的独立性

1、第一章随机事件及其概率概率论与数理统计课程教学团队概率论与数理统计课程教学团队第四讲贝叶斯公式事件的独立性概率论与数理统计课程教学团队第一章第四讲贝叶斯公式 事件的独立性第四讲贝叶斯公式 事件的独立性贝叶斯公式 事件的独立性三.小结第一章第四讲贝叶斯公式 事件的独立性复习全概率公式:设s是样本空间，事件组Bl, B1,，Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0, A为一事件, 则有P(A) = P(ABi) P(Bi) +P(AIB2) P(B2)+ +P(AB) P(B“)病树主人外出委托邻居浇水，若不浇水， 树死去概率为0.8；若浇水，树死去的概率 为0.15,有0.9的把握确定邻居会浇

2、水。 1,求主人回来树还活着的概率 2,如果主人回来树已经死了，求邻居忘记 浇水的概率。0.785； 16/43全概率公式是求“最后结果”的概率，可通过综合分析一事件发生的不同原因、情况或途径及其1='可能性，来求得该事件发生的概率.第一章第四讲贝叶斯公式 事件的独立性第一章第四讲贝叶斯公式 事件的独立性下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反的问题，“由果索因”。即一事件已经发生，要考察该事件发生的各种原因、情况或途径的可能性.1='由条件概率的定义和全概率公式可得到如下 贝叶斯公式.定理1设S是试验E的样本空间,A为E的事件, 事件组Bi, B2,，为S的一个划分，且 P(A

3、) >0, P(Bi) >0,则有'P(4)=八,i =1,2, , n工 P(AlBJP(Bj)丿T第一章第四讲贝叶斯公式 事件的独立性第一章第四讲贝叶斯公式 事件的独立性特别地，由A = AB AB ,有P(B I A)=P(AE)P(A I B)P(B)P(A) P(A I B)P(B) + P(A I B)P(B)第一章第四讲贝叶斯公式 事件的独立性例1用仪器检验产品质量，已知一件次品经检验后被认为是次品的概率为099,而一件正品经检验后 被认为是次品的概率为0.005,已知产品的次品率 为4% 若一产品经检验被认为是次品，求它确是 次品的概率.解：以A表示“产品经

4、检验被认为是次品”，以B表示“产品确是次品”，则要求P(BL4).依题意有P(B) = 0.04, P(B) = 0.96,P(A I B) = 0.99, P(A I B) = 0.005,由贝叶斯公式，得P(AB)P(A 1B)P(B)P(B 1 A)=二 P(A)P(A 1 B)P(B) + P(A0.99x0.04=0.8920.99x0.04 + 0.005x0.96*第一章第四讲贝叶斯公式 事件的独立性例2 （续）三个电池生产车间如，42,缶同时普通电 池和高性能电池，一小时总产量为600只，各车间 产量如下表：车间普通电池咼性能电池共计产量41200100300A'250

5、150200A35050100随机抽取一只电池，已知它是咼性能电池,求它是由车间力1，力2，力3生产的概率各是多少?解：以H表示高性能电池，由全概率公式，得P(H)= P(H I A1)P(A1)+ P(/ I A2)P(A2)+ I A3)P(A3)1131111=X1X1x =3243262由贝叶斯公式，得p（A 1/）=p（a2h）=p（a3h）=P(H 丨AJP(4)1/61P(H)"1 / 2 -3P(H A2)P(A2)1/41P(H)1/22P(H 1 A3)P(A3)1/121P(H)1/26例3 （续）某电子设备制造厂所用的元件是由三家工厂提供，根据以往记录有如下数

6、据:工厂次品率份额Ai0. 020. 15A20. 010.8A30. 030. 05随机抽取一元件，4，求它是次品的概率2, 若取出的产品为次品，求它是由力1，昇2，力3生产的概率各是多少?0.0125； 0.24； 0.64； 0.12二、事彳直观说法：对于两事件，若其中任何一个 事件的发生不影响另一个事件的发生， 则这两事件是独立的.定义1若事件A与B满足：P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立.P(AB) = P(A)P(B) o P(AIB)=P(A)O P(AB)/P(B) = P(A)定理2若事件A与B相互独立，则A与斤，才与B,才与斤也相互独立.证明

7、：由aabjab,得P(A) = P(AjB) + P(AE) = P(A)P(B)+ P(AB),贝(J P(AB) = P(A) P(A)P(B)=P(A)(1-P(B)= P(A)P(B),因此A与斤独立.同样可得才与B,才与斤相互独立.定义2 对于A、B、C三个事件, 若P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C), 则称事件A、B、C相互独立.第一章第四讲贝叶斯今式事件的独立性例3甲乙两人独立地向同一目标射击一次，其命中率分别为0.9和08,求目标被击中的概率.解：设C “目标被击中” ,A “甲击中

8、” ,B “乙击中”, 则 P(C) = P(AuB) = P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.9+0.8-0.9x0.8=0.9&例4有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元件能正常运行的概率为P，求系统正常运行的概率.解：设川表示第Z个元件 运行正常,r=l, 2, 3, 4.1pH 2 3 |4A表示系统运行正常.WJ A=A1(A2A3uA4),由事件独立性，有P(A) = P(A1)P(A2)P(A3)+P(A4) -P(A2)P(A3)P(A4)=p (p2 +p -p3)判断下列说法是否正确？ 1,若A与B互不相容，则他们互相独立； 2 ,若A与B互相独立，则他们

9、互不相容； 3,若P(A)=P(B)=0.5,则A,B互不相容-4,若P(A)=P(B)=0.5,则A,B互相独立 5,若A与B互不相容，则他们互为对立事件6若A与B互为对立事件，则他们互不相容第一章第四讲贝叶斯公式 事件的独立性第一章第四讲贝叶斯公式 事件的独立性有一种检验HIV病毒的方法，其结果有概率为0.005报道为假阳性，现有140名不带病毒的正常 人全部接受此检验，被报道至少有一人带病毒的 概率为多大？答案：(0.995)"°三人独立破译密码，已知各人能译出的概率 分别为1/2,1/3,1/4.问三人中至少有一人能将 密码译岀的概率为多大？答案：12 33 2 3 44课堂练习1、设某批产品，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%,各厂产品的次品率分别为4%、2%、 5%,现从中任取一件,(1)求取到的是次品的概率；(2)检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率.2、加工某零件共需四道工序，设第一、四道工序的次品率分别是2%、3%、5%、3%,假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率.三、小结1、贝