中央电大土木工程本科工程数学形成性考核册答案

1、工程数学作业（一）答案（满分 100 分）第 2章矩阵（一）单项选择题（每小题2 分，共20 分）a1a2a3a1a2a3设 b1b2b32 ，则 2a1 3b12a2 3b22a3 3b3 （D）c1c2c3c1c2c3A. 4B. 4C. 6D. 6000100a0若201，则 a00100a1B. 11A.C.22（ A ）D. 111103乘积矩阵2452中元素 c23（ C）1A. 1B. 7C. 10D. 8设 A , B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B ）A. AB1A11B.(AB) 1BA1BC. (AB) 1A 1B 1D. (AB) 1A1B1设 A,

2、B均为n 阶方阵， k0 且 k1，则下列等式正确的是（ D）A. ABABB.ABn A BC. kAk AD.kA(k) n A下列结论正确的是（A ）A. 若 A 是正交矩阵，则A 1也是正交矩阵B. 若 A , B 均为 n 阶对称矩阵，则AB 也是对称矩阵C. 若 A , B 均为 n 阶非零矩阵，则AB 也是非零矩阵D. 若 A , B 均为 n 阶非零矩阵，则AB0矩阵13C）2的伴随矩阵为（513B.13A.525253D.53C.1212方阵 A 可逆的充分必要条件是（B）A. A0B. A0C. A*0D.A*0设 A , B , C 均为 n 阶可逆矩阵，则(ACB )

3、1（ D）A.(B)1A1C1B.BC1A1C. A 1C 1(B 1)D.(B1)C1A1设 A , B , C 均为 n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）A. (AB) 2A22ABB 2B. (AB)B BA B2C. (2 ABC) 12C1B1A1D. (2 ABC)2CBA1/14（二）填空题（每小题2 分，共 20 分）210 1407001111 11x是关于 x 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是2111若A为34矩阵， B为25矩阵，切乘积AC B 有意义，则 C 为 5× 4 矩阵15二阶矩阵 A115010112120063设 A4 0,B，则(

4、A B)31451834设 A, B均为 3阶矩阵，且AB3 ，则2 AB72设 A, B均为 3阶矩阵，且A1, B3，则3(A B 1)2 3若 A1aa00为正交矩阵，则1212矩阵 402的秩为 2033A1O1A11O设 A1 , A2 是两个可逆矩阵，则OA2OA 12（三）解答题（每小题 8 分，共 48 分）设 A12B1154，求 AB； AC； 2A3C； A5B； AB ；3,4, C3153(AB) C 答案： AB03C662A3C17161A04378A 5B2622AB77562112023(AB) C8012151121103114, B, C321，求 AC

5、BC设 A1221100020241146410321解： AC BC (A B)C0122102002310102已知A121, B111 ，求满足方程 3 A2X B中的 X3422112/14解：3A2XB1 (3A B)1832X252227115写出 4 阶行列式4312151275112221020143602533110中元素 a41, a42 的代数余子式，并求其值020120答案 ： a41( 1)414360 a42 ( 1) 4 21 3645253053用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：1221234100023121100 212；1111111022110261111

6、解：（ 1）1221002 r1r2122 1002 r2r13r3A | I2120 1 02 r1r30362 102r 222100106320111201223 r21023310099912 r3r19 r32121201202 r3r20103399900110012222110212033036021009221122999A 121299922199999999922626171000（2）A11752013(过程略 ) (3) A 11100102101104153001110110111101100求矩阵01210的秩1121132013/141011011r1r21011

7、01110110111101100r1r30 110111r2 r401101112r1 r4101210100011100001110211320101112210001110解：1011011R(A) 3r3 r40 1 1011 100011100000000（四）证明题（每小题4 分，共12 分）对任意方阵A ，试证AA 是对称矩阵证明： (A A')'A'( A')'A'AA A'AA 是对称矩阵若 A 是 n 阶方阵，且 AAI，试证 A1或 1证明 ：A 是 n 阶方阵，且AAI2AAAAAI1A 1或A 1若 A 是正交矩

8、阵，试证A 也是正交矩阵证明：A 是正交矩阵A 1A(A)1(A1)1A(A)即 A 是正交矩阵工程数学作业（第二次）(满分 100 分 )第 3 章线性方程组（一）单项选择题(每小题 2 分，共 16 分 )x12x24x31x1用消元法得x2x30 的解x2为（ C）x32x3A. 1,0,2B. 7, 2, 2C. 11, 2,2D. 11, 2,2x12x23x32线性方程组x1x36 （B）3x23x34A. 有无穷多解B. 有唯一解C. 无解D. 只有零解10013向量组0,1, 0 ,2 ,0 的秩为（A ）00114A. 3B. 2C. 4D. 54/141011设向量组为11

9、001,2,3,4，则（ B）是极大无关组01110101A.1,2B. 1, 2,3C.1,2 ,4D. 1 A 与 A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ）A. 秩(A)秩 (A)B. 秩(A)秩 (A)C.秩 (A)秩(A)D. 秩(A)秩(A) 1若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A）A. 可能无解B. 有唯一解C. 有无穷多解D. 无解以下结论正确的是（ D）A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D. 齐次

10、线性方程组一定有解若向量组1 ,2 ,s 线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出A. 至少有一个向量B.没有一个向量C. 至多有一个向量D.任何一个向量9设 A ，为 n 阶矩阵，既是又是的特征值，x 既是又是的属于的特征向量，则结论（）成立是 AB 的特征值是 A+B 的特征值是 A B 的特征值 x 是 A+B 的属于 的特征向量10设，为n 阶矩阵，若等式（）成立，则称和相似 AB BA ( AB)AB PAP 1B PAPB（二）填空题 (每小题2分，共 16分)当时，齐次线性方程组x1x20有非零解x1x20向量组10,0,0 ,21, 1, 1 线性相关向量组 1

11、, 2,3 , 1,2,0 , 1, 0, 0 ,0 , 0, 0 的秩是设齐次线性方程组1 x12 x23 x30 的系数行列式 12 3 0 ，则这个方程组有无穷多解，且系数列向量 1 , 2 , 3是线性相关的向量组11,0,20,1 ,30, 0 的极大线性无关组是 1 , 2 向量组1 ,2 ,s 的秩与矩阵1, 2 , s的秩相同设线性方程组AX0 中有 5 个未知量，且秩( A)3 ，则其基础解系中线性无关的解向量有个设线性方程组AXb 有解， X 0 是它的一个特解，且AX 0 的基础解系为X1, X2，则 AXb 的通解为X 0 k1 X1 k 2 X 2 9若是的特征值，则

12、是方程IA 0的根10若矩阵满足A 1A ，则称为正交矩阵（三）解答题 (第 1 小题 9 分，其余每小题11 分)1用消元法解线性方程组5/14x13x22 x3x463x18x2x35x402x1x24x3x412x14 x2x33x42解：132163r1r 2132163r2r1101923381502r1r30178185r2r30178Ar1r4r1r42141120581000273914132013480010123r4r3101923481019234819rr100421131r40178180178187r3r20101523 r35r3 r400331200114001

13、1005613005613000111004212442r4r110002x121010154615r4r201001r4r 4r3x2111方程组解为0011400101x310001300013x43设有线性方程组11x111y11z2为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解 ?111112112r1 r2r1r3A1111r1r30112112111011213解：112r 2r3011(1)00(2)(1)(1)(1) 2当1且2 时， R(A)R( A) 3 ，方程组有唯一解当1时， R(A)R(A)1，方程组有无穷多解4818902612446433判断向量能否由向量组1,2,3 线

14、性表出，若能，写出一种表出方式其中82353, 17567,2,331010321解：向量能否由向量组1 , 2, 3 线性表出，当且仅当方程组1 x12 x23 x3有解23581037这里A1 ,2, 3,7563013411037001011732110000571R(A)R( A)6/14方程组无解不能由向量1, 2, 3 线性表出计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关1311173912, 28, 30 , 463933413361311131117390112解：1,2,3,428060001839330000413360000该向量组线性相关求齐次线性方程组x13

15、x2x32 x405x1x22 x33x40x111x22 x35x403x15x24 x40的一个基础解系解：13125r1r25123r1r3A3 r1r411125350410511 r 214211431r3r3r 4013142000300001312014370143701431010511420131142000100003r2 r1105114142r2r3014r2r437000000031 rr1050142311r3r2310201400100000x15x351414方程组的一般解为 x23 x3令 x331 ，得基础解系1414x4001求下列线性方程组的全部解x15

16、x22x33x4113x1x24x32x45x19x24 x4175x13x26x3x41解：7/1415 23 1115 23 1151 09113r1 r214r2 r1723 14 25r1 r301427 28r2 r35r1 r42r2 r40142728A904170142728100000536110284145600000109117172xxx11134119214 r2012方程组一般解为721 x31 x40x220 0 000000072令 x3k1 ， x4k2 ，这里k1 ， k2 为任意常数，得方程组通解x17 k11 k217119292x 21k112k11k

17、212x37k27202x 4k1100k 201试证：任一维向量a1 ,a2 ,a3 , a4 都可由向量组11110，1， 31，110201410001线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式1000证明：0100102132143000001任一维向量可唯一表示为a11000a2a10100a1 1a2 ( 21 )a3 ( 32 ) a4 ( 43 )a3a2a3a40010a40001(a1a2 ) 1( a2 a3 ) 2( a3a4 ) 3a4 4试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解证明： 设 AX B 为含 n 个未知量的线性方程

18、组该方程组有解，即R(A)R( A) n从而 AXB有唯一解当且仅当R( A)n而相应齐次线性方程组AX 0只有零解的充分必要条件是R(A)nAXB 有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组AX0 只有零解9设是可逆矩阵的特征值，且0 ，试证：1 是矩阵A 1 的特征值证明：是可逆矩阵的特征值存在向量，使 AI(A1A)A1(A )A1()A18/14A 11即 1 是矩阵 A 1的特征值10用配方法将二次型fx2x 2x2x 22x1x22x2x42x2x32x3x4化为标准型1234解：f (x1 x2)2x32x42 2x2x4 2x2 x3 2x3x4( x1 x2)2 x32

19、2x3 ( x2x4) x42 2x2x4( xx) 2( x3x2x) 2x21242令 y1 x1x2 ， y2x3x2x4 ， y3x2 ， x4y4x1y1y 3x2y3即y2y3y 4x3x4y 4则将二次型化为标准型fy12y22y32工程数学作业（第三次）(满分 100 分 )第 4 章随机事件与概率（一）单项选择题 A , B 为两个事件，则（B ）成立A.(A B) B AB.(A B) B AC.(A B) B AD.(A B) B A如果（C）成立，则事件A 与 B 互为对立事件A. ABB.ABUC. AB且 ABUD.A 与 B 互为对立事件 10 张奖券中含有3 张

20、中奖的奖券，每人购买1 张，则前3 个购买者中恰有1 人中奖的概率为（ D）A. C1030.720.3B.03.C. 0.720.3D. 30.720.34. 对于事件 A , B ，命题（ C ）是正确的 A. 如果 A , B 互不相容，则 A , B 互不相容B.如果 AB，则 ABC.如果 A, B 对立，则A,B 对立D. 如果 A, B 相容，则A,B相容某随机实验的成功率为p( 0p 1) ,则在 3 次重复实验中至少失败1 次的概率为（ D）A. (1p) 3B.1 p3C. 3(1p)D. (1p) 3p(1p) 2p 2 (1 p)6.设随机变量 X B(n ,p) ，且 E ( X )4.8, D(X )0.96 ，则