圆锥曲线第三定义及扩展

1、圆锥曲线第三定义在椭圆)0(12222babyax中，a，b两点关于原点对称，p是椭圆上异于a，b两点的任意一点，若pbpakk,存在，则22abkkpbpa?。 （反之亦成立）在双曲线)0, 0(12222babyax中， a，b两点关于原点对称，p是椭圆上异于a，b两点的任意一点，若pbpakk,存在，则22abkkpbpa?。 （反之亦成立）焦点在y轴上时，椭圆满足22bakkpbpa?，双曲线满足22bakkpbpa?例、已知椭圆)0( 12222babyax的长轴长为4，若点p 是椭圆上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交与m 、n两点，记直线pm 、pn的斜率分别为k1、 k2。若

2、k1k2=41，则椭圆的方程为。变式：1、设点 a，b的坐标为（ -2 ，0） ， （2，0） ，点 p是曲线 c上任意一点，且直线pa与 pb的斜率之积为41，则曲线c的方程为。2、设点 p是曲线 c上任意一点，坐标原点是o，曲线 c与 x轴相交于两点m （-2， 0） ，n（2，0） ，直线 pm ，pn的斜率之积为43，则op的最小值是。3、已知abc的两个顶点坐标分别是（-8 ，0） ， （ 8，0） ，且 ac ，bc所在直线斜率之积为m（0m） ，求顶点c的轨迹。4、p是双曲线)0,0(12222babyax上一点， m ，n分别是双曲线的左右顶点，直线pm ，pn的斜率之积为51

3、，则双曲线离心率为。5、已知椭圆12322yx的左右顶点分别是a、b，m 是椭圆上异于a、b 的动点，求证：mbmakk?为定值。6、平面内与两定点1(,0)aa，2( ,0)a a(0)a连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上1a、2a两点所成的曲线c可以是圆、 椭圆成双曲线 求曲线c的方程， 并讨论c的形状与m值得关系；第三定义的应用例、椭圆1422yx的左右顶点分别是a，b，点 s是椭圆上位于x轴上方的动点， 直线 as ，bs与直线310: xl分别交于点m 、n，求线段mn长度的最小值。变式：已知a,b 分别为曲线c：22xa+2y=1（y0,a0 ）与 x 轴的左、右两个交点

4、，直线l过点 b,且与x轴垂直， s为l上异于点b的一点，连结as交曲线 c于点 t.(1) 若曲线 c为半圆，点t 为圆弧ab的三等分点，试求出点s的坐标；（ii ）如图，点m是以 sb为直径的圆与线段tb的交点，试问：是否存在a, 使得 o,m,s 三点共线若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由。第三定义的变形22abkkoboa?框架一：已知椭圆)0(12222babyax， a，b 是椭圆上的两动点，m为平面上一动点且满足obuoaom。则有如图框架。 （已知任意两个，可以推导第三个）。相应的双曲线中有220abkkboa?，当焦点在y 轴上时，椭圆满足220bakkboa?，双曲

5、线满足220bakkboa?。例、已知椭圆的中心为坐标原点o ，焦点在x轴上，斜率为1 且过椭圆右焦点f 的直线交椭圆于 a、b两点，oboa与(3, 1)a共线（）求椭圆的离心率；（）设 m为椭圆上任意一点，且),(roboaom，证明22为定值变式：已知在椭圆)0(12222babyax， a，b 是椭圆上的两动点，m为椭圆上一动点满足obuoaom且22=1，证明：220abkkboa?框架二：已知椭圆)0(12222babyax， a，b 是椭圆上的两动点，m为平面上一动点且满足obuoaom。则有如下框架：220abkkboa?222222ubyax。例、设动点p 满足onomop2

6、，其中， m ，n 是椭圆12422yx上的点，直线om 、on的斜率之积为21，求动点p的轨迹方程。变式： 设动点 m满足obuoaom，其中 a、b是椭圆)0(12222babyax上的点，且220abkkboa?。证明： p的轨迹方程为222222ubyax。框架三：已知动直线l与椭圆)0(12222babyax交于),(),(2221yxqxxp两个不同的两点，且opqsopq的面积为，其中 o为坐标原点。有如下框图。220abkkqop?2absopq22221byy22221axx例、已知直线l与椭圆c: 22132xy交于11,p xy,22q xy两不同点，且opq的面积 s=62, 其中o为坐标原点。（）证明2212xx和2212yy均为定值（）设线段pq的中点为m，求ompq的最大值；（）椭圆c上是否存在点d, e, g，使得62odeodgoegsss若存在，判断deg的形状；若不存在，请说明理由.变式： 已知l与椭圆)0( 12222babyax交于),(),(2221yxbxxa两个不同的两点，已知),(),(2211by