中考数学压轴题专项汇编专题平行四边形的存在性

1、1 / 8专题 23 平行四边形的存在性破解策略以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综台性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高，这类题，一般有两个类型：( 1)“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题：以a, b, c三点为顶点的平行四边形构造方法有：_xooo1_ 作平行线：如图，连结ab bc ac分别过点a, b, c作其对边的平行线, 三条直线的交点为d e，f. 则四边形abcdacbe abfc匀为平行四边形 . 倍长中线：如图，延长边ac ab bc上的中线，使延长部分与中线相等，得点d,e, f, 连结de ef, fd

2、?则四边形abcd acbe abfc均为平行四边形 .(2) “两个定点、两个动点”的平行四边形存在性问题：先确定其中一个动点的位置，转化为“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题，再构造平行四边形 . 解平行四边形存在性问题，无论是以上哪种类型， 若没有指定四边形顶点顺序，都需 要分类讨论 . 通常这类问题的解题策略有：(1) 几何法：先分类，再画出平行四边形，然后根据平行四边形的性质来解答. 如图，若ab/ cd且ab= cd分别过点b, c作一组平行线be cf,分别过点a d作一组平 行线ae df则厶aeb dfc从而得到线段间的关系式解决问题.f 2 / 8(2) 代数法：先

3、罗列四个顶点的坐标，再分类讨论列方程，然后解方程并检验. 如图?已知平行四边形abo.连结ac bd交于点o.设顶点坐标为a (xa, yq . b(xb, yb), c(xc, yc), d(xd, yd). _x0001_ 用平移的性质求未知点的坐标: 利用中点坐标公式求未知点的坐标: xa + xc = xb+ xd2 2 ya + yc yb + y有时候几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好. 例题讲解2 例 1 如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y = x + m灶n经过点 a( 3, 0), b( 0, - 3), p是直线ab上的一个动点，过点p作x轴的垂线交抛物线于点

4、m( 1) 分别求出直线ab和这条抛物线的表达式；( 2)是否存在这样的点p,使得以点p, m b, o为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点p的横坐标；若不存在，请说明理由. xd，或xb - xc = xa - xd, yb- yc= ya- y。. a d xa = xc - 3 / 8解：(1 将点a, b的坐标代入抛物线的表达式，得y = x2 2x + 3 . 设直线ab的表达式 为y= kx + b, 将点a, b的坐标代入，得y = x 3. (2) 存在. 因为pm/ ob所以当pm= ob时， 四边形即为平行四边形. 根据题意设点p的坐标为 (p, p3), 则点m的

5、坐标为 (p, p2 2p 3). 所以(p- 3)- (p2- 2p- 3) = 3.解得 p = 3- 21，故满足条件的点p的横坐标为 p = 21. 2 2 例 2 边长为 2 的正方形oab( 在平面直角坐标系中的位置如图所示，d是oa边的中点，连结cd点e在第一象限，且del dc de= dc以直线ab为对称轴的抛物线过c, e两点. (1)求抛物线的表达式；(2)m为直线上一动点，n为抛物线上一动点，问：是否存在点m n,使得以点m n, d, e为顶点的四边形是平形四边形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由. 易证 od4a ged(aas, 所以ge =

6、 od =丄0人=1 .2 所以点e的坐标为 ( 3, 1). 而直线ab为抛物线的对称轴，直线ab的表达式为x = 2, 所以可设抛物线的表达式为y= a (x2) 2+ k, 4 / 8(2) 存在. 1 24由题意可设点m的坐标为 ( 2, m), n的坐标为n, n2-n 23 3以点m n, d, e为顶点的四边形是平行四边形有以下可能:1 - 221 24 cy x 2xx 23333所以抛物线的表达式为将c, e两点的坐标代入表达式，得爭 4 a + k = 2, ?a + k = 1, 3 2 3 5 / 82 1n 3由平移的性质可得1 24m 0nn 2 133(ii )

7、如图 3，若de mn mi nd. 此时点m的坐标为（ 2, 3） , n的坐标为（ 0, 2）. 当de为平行四边形的对角线时，如图4.当de为平行四边形的边时，（i ）如图2，若dei mn mdi neodam 1n 4解得n 12 3.1 24 c c .nn 2 0 m 133由平移的性质可得由平行四边形对角线互相平分性质可得1 32 n.1 24 c0 1mnn 233此时点m的坐标为（ 2, 1），n的坐标解得m 3. n 0. 6 / 81 m 解得3 n 2. 1 2 此时点m的坐标为2,丄，n的坐标为2,.3 3 例 3 如图，抛物线y x2 bx c的顶点为d(- 1,

8、 4), 与y轴交于点 c( 0 , 3), 与x轴交于a, b两点 (点a在点b的左侧 ). (1)求抛物线的表达式；(2)若点e在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点f, 使以a, c, e, f为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点f的坐标；若不存在，请说明理由. 解(1) 将点c, d的坐标代入抛物线的表达式，得y x2 2x 3.( 2) 存在. 令x2 2x 3 0, 解得 x1 1,x23. 所以点a的坐标为 ( 一 3, 0) , b的坐标为 (1, 0). 由点f在抛物线上可设点f的坐标为m,m22m 3 . 方法一：如图1、图 2, 当ac为平行四边形的边

9、是, 7 / 8过点f作fp垂直于抛物线的对称轴，垂足为p. 图 2 8 / 8易证 pefa oc所以pf= ao= 3, 从而点f的坐标为（ 2, 5）或（一 4, 5）. 如图 3，当ac为平行四边形的对角线时，过点f作fp丄y轴于点p.令抛物线的对称轴交x轴于点q,易证 pcfa qh 所以pf= aq= 2, 从而点f的坐标为（一2, 3）, 此时点f与点c纵坐标相同，所以点e在x轴上 . xe m 3 0 , 可得2ye m 2m 3 0 又因为点e在抛物线的对称轴上, 所以 m= 2 , 则点f的坐标为（一2, 3）. 如图 1, 当ae cf为平行四边形的对角线时，xe可得ey

10、m+3, m22m 5.又因为点e在抛物线的对称轴上, 所以 m= 4, 则点f的坐标为（一2, 3）. 如图 2, 当af, ce为平行四边形的对角线时，xe可得3 m, m22 m.又因为点e在抛物线的对称轴上，所以m= 2. 则点f的坐标为（ 2, 5）. 综上可得，满足平行四边形的点f的坐标为（一2, 3）（4, 5）（ 2, 5） 进阶训练1. 如图，四边形abcd是直角梯形，ad/ bc / b= 90 , ad= 24cm, bc= 28cm, 点p从点a出发，沿ad以 1cm/s的速度向点d运动；点q从点c同时出发，沿cb以 3cm/s的速度向点b运动，其中一个动点到达终点时，

11、另一个点也随之停止运动. 问：从运动开始，经过多长时间，四边形pqc成为平行四边形？方法二：如图3, 当ac ef为平行四边形的对角线时, 9 / 82. 如图，抛物线y = ax2 + bx+ c 过a (- 3, 0), b( 1, 0), c(0, 3) 三点，抛物线的顶点位p.(1)求抛物线的表达式；(2)直线y = 2x+ 3 上是否存在点m使得以a, p, c, m为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点m的坐标；若不存在，请说明理由. 3?如图，在矩形oab( 中, oa= 5, ab= 4, 点d为边ab上一点，将 bcd&直线cd折叠，使点b恰好落在0a边上的点e

12、处，分别以oc 0a所在的直线为x轴.y轴建立平面直角坐标系?若点n在过o d. c三点的抛物线的对称轴上，点m在抛物线上，问是否存在这样的点m与点n,使得以m n, c, e为顶点的四边形是平行四边形？若存在?请求出m点坐标 ; 若不存在，请说明理由 . 答案：存在满足条件的点m其坐标为 ( 2, 16), (- 6, 16) 或( 2, - 16). 3 3 提示 : 易证 da0a eoc从而点d的坐标为(-,-5)，得到过点q d, c的抛物线的2 解析式为y=4x2+dx. 再分类讨论，由对角线互相平分，中点横纵坐标相等列出方程，3 3 从而找到符合条件的点m ( 参考例 3 的方法

13、二 ) 4. 如图，抛物线与x轴交于点a (- 5, 0), b(3, 0), 与y轴交于点 c(0, 5). 有一宽度为 1, 长度足够的矩形 ( 阴影部分 ) 沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点p, q.交直线ac于点m n.在矩形的平移过程中，当以点p, q m n为顶点的四边形是平行四边形时，求点m的坐标 . 10 / 8/a：q/ fi占0答案：点m的坐标为 (2, 3) , (-2-76,3-6) 或(-2+76,3+ 提示 ?由点a, b, c的坐标可得抛物线的表达式为yn-lx zx+s ，直线ac的表达式为3 3 y= x + 5,设点m 的坐标为 (t ,t + 5) ，则点n t 1 , + 4), r