D1-8函数的连续性与间断点;1-9初等函数的连续性

1、11)直接用四则法则直接用四则法则;2) 恒等变形后用四则法则恒等变形后用四则法则3)利用无穷小的性质利用无穷小的性质; 无限项无限项:约去零因式约去零因式通分通分 分子分母有理化分子分母有理化课前复习：求极限的方法：课前复习：求极限的方法：抓大头抓大头4)无穷小与无穷大的关系法无穷小与无穷大的关系法;5)复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则(变量代换法变量代换法);0:0型型: 型型: 型型化无限为有限法化无限为有限法6)利用极限存在的充要条件求极限利用极限存在的充要条件求极限(如分段函数如分段函数);7)利用夹逼准则和单调有界准则利用夹逼准则和单调有界准则;8)重要极限法重要极限法

2、;9)等价无穷小代换法等价无穷小代换法.思考每种方法的理论依据、条件及适用范围思考每种方法的理论依据、条件及适用范围.()0sin( )(1) lim1;( )xxx 1( )( )0(2) lim 1( ).xxxe 2纠正作业：纠正作业：2200011limsinlimlimsin0 xxxxxxx如如：1.求极限的四则法则是求极限的四则法则是有条件有条件的的. .不能无条件使用不能无条件使用. . 解解: 1sin1,x 20lim0 xx 201limsin0 xxxarctan1limlimlimarctan0 xxxxxxx如如：解解: arctan,2x 1lim0 xx arc

3、tanlim0 xxx3. 如何求曲线的渐近线如何求曲线的渐近线. .lim( ),1.:( )xf xbyf xyb 水水平平渐渐近近果果的的线线：定定则则义义如如lim( ),2(:)xaf xyf xxa 如如果果则则的的铅铅直直渐渐近近：义义线线定定. . 2.求极限时应先看求极限时应先看极限过程极限过程及及极限类型极限类型. .3观察图像：观察图像：1,0( )0,0 xg xxx oxy 0, 20, 1)(xxxfyx1o20lim(2)xx 2yxo2 xy13(0)f 0lim( )=xf x(0)f x = 0处处无极限无极限.10lim ( ).xg x即即不不存存在在4

4、二、二、 函数的间断点函数的间断点 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第八节函数的连续性与间断点 第一章 5可见可见 ,函数函数0( )f xx在在点点一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义1.定义定义:0( )yf xx 在在点点的的某邻域内有某邻域内有定义定义, 00lim( )(),xxf xf x 0( ).f xx则则称称函函数数在在处处连连续续(1) 0( )f xx在在点点有有定定义义，0()f x即即存存在在；(2) 极限极限0lim( )xxf x存存在在；(3)00lim( )().xxf xf x 设函数设函数连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:且且2

5、22lim ( )lim4 xxf xx 22.yxx函函数数在在处处连连续续0lim s n0ixx sin0.yxx函函数数在在处处连连续续 (2)f sin 0 6例例1.1sin,0( )0.0 ,0 xxxf xxx 试试证证函函数数在在处处连连续续证：证：01limsin0,xxx (0)0,f 又又由定义由定义1知：知：.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf0lim( )(0),xf xf例例2.2,0,( )0.2,0,xxf xxxx 讨讨论论函函数数在在处处的的连连续续性性解：解：00lim( )lim(2)xxf xx 2 00lim( )lim(2)xxf xx 2

6、0lim( )xf x 不不存存在在( )0.f xx 故故函函数数在在点点处处不不连连续续7(1) 函数的增量函数的增量:02. x函函数数在在点点 处处连连续续的的等等价价定定义义: :000( )(, ),(, ),f xU xxU x 有有定定义义设设在在内内0 xxx 0 xx就就称称为为自自变变量量 在在 处处的的增增量量；( ).f xx 称称为为函函数数相相于于的的增增量量应应0( )()yf xf x 00()()yf xxf x 即即0 xxx 0)(xfy x y xyo0 xx 0 xx y )(xfy oxy00,xxx 0( )()0.f xf xy 00lim(

7、)()xxf xf x 0lim0 xy 即即8000()()()f xf xf x 左连续左连续右连续右连续0(2)( )f xx函函数数在在处处等等连连续续有有下下列列价价定定义义：00( )( ).f xxf xx在在 处处连连续续在在 处处既既连连续续定定理理左左又又右右连连续续: :000lim( )()xxf xff xxx 在在 处处连连续续00()()yf xxf x 0( )yf xx 设设函函数数在在 的的某某邻邻域域内内有有定定义义，则则0lim0 xy 请思考：函数在点请思考：函数在点 处处连续连续与在点与在点 处处有极限有极限的区别与的区别与0 x0 x联系联系.9说

8、明：说明：00lim.)( )(xxf xf xx在在处处连连存存在在续续2)三个连续的定义的主要作用：三个连续的定义的主要作用：常用于常用于具体函数具体函数连续性的判断连续性的判断.03)lim0 xy ：常用于常用于抽象函数抽象函数连续性的判断连续性的判断.常用于分段函数分界点处连续性的判断常用于分段函数分界点处连续性的判断.1)函数在点函数在点 处处连续连续与在点与在点 处处有极限有极限的区别与联系的区别与联系. 0 x0 x反之不一定成立反之不一定成立.001) lim( )()xxf xf x ：0002) ()()()f xf xf x ：,0:( )1,0 xxf xx 如如0l

9、im( )0(0)( )0.xf xff xx存存在在, ,但但在在点点处处不不连连续续yx1o10例例4. 设设解解:021sin,0( ),0 xxxf xaxx 0 , (0 )f (0)fa 又又a ，0 .xa 在在处处连连续续, ,则则解：解：),0(f 00lim( )lim 2xxf x 2 左连续左连续( )0.f xx 所所以以在在处处不不连连续续(0 )f (0 )f 1 右不连续右不连续),0(f xxfxxcoslim)(lim00 0 , 20 cos)(xxxxf，例例3.试讨论函数试讨论函数在在0 x处的连续性处的连续性.(0 )f 001lim( )limsi

10、nxxf xxx 200lim( )lim()xxf xax (0 )(0 )(0)fff由由已已知知：0a P75T10110( )f xx函函数数在在点点(1) 0( )f xx在在点点 的的邻邻域域内内有有定定义义，0()f x即即存存在在；(2) 极限极限0lim( )xxf x存存在在；(3)00lim( )().xxf xf x 连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:二、二、 函数的间断点函数的间断点0(1)xx 在在处处无无定定义义；0(2),xx 虽虽在在有有定定义义00(3),lim( ),xxxxf x 虽虽在在有有定定义义 且且存存在在00lim( )().xxf x

11、f x 但但0lim( );xxf x但但不不存存在在0( )f xx设设在在点点的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义,1.间断点的定义：间断点的定义：( ):f x如如果果函函数数有有下下列列三三种种情情形形之之一一0,( )f xx则则函函数数在在点点不不连连续续为为.不不连连续续点点或或间间断断点点0( )xf x而而点点称称为为函函数数的的2.间断点的分类间断点的分类:第一类间断点第一类间断点:第二类间断点第二类间断点:间断点间断点00()()f xf x 与与都都存存在在00()()f xf x 与与不不都都存存在在122.间断点分类间断点分类:(1) 第一类间断点第一类间断点0

12、00()()f xf xx 都都存存在在第第与与的的间间一一类类断断点点, ,叫叫间间断断点点. .00()(),f xf x 若若0 x可可去去称称为为间间断断点点；00()(),f xf x 若若0 x跳跳跃跃称称为为间间断断点点. .000()()f xf xx 至至少少有有一一个个不不, , ,叫叫存存在在的的间间断断点点第第二二类类间间断断点点. ., 若若其其中中有有一一个个极极限限为为0 x无无则则称称为为穷穷间间断断点点；,若若其其中中有有一一个个为为振振荡荡0 x振振则则称称为为荡荡间间断断点点；(2) 第二类间断点第二类间断点13(1)tanyx 2 x 为其为其无穷间断点

13、无穷间断点 .0 x 为其为其振荡间断点振荡间断点 .1(2)sinyx 1x 为为可去间断点可去间断点 .21(3)1xyx 例如例如:xytan2xyoxyxy1sin0 xoy111 ()yxx2limtanxx 01limsinxx不不存存在在211lim21xxx 142111lim( )1(1)xf xf显然显然1x 为其为其可去间断点可去间断点 .,1( )1,12xxyf xx(4)xoy1(5) 1,0( )0,01,0 xxyf xxxxxyo11(0 )1,f (0 )1f0 x 为为其其跳跃间断点跳跃间断点 .15注意注意: 可去间断点只要可去间断点只要改变改变或者或者

14、补充补充间断点处函数的间断点处函数的定义定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.1x 为为可去间断点可去间断点 .211xyx xoy1如如补充定义补充定义 ：1x 时时2y 则函数在则函数在 处就连续了处就连续了.1x 1 (1)yxx 0si0 n xyxxx 对对函函数数, ,请请补补定定义义, ,使使它它思思考考题题充充处处：的的在在处处连连续续；0sin(0)limxxfx 16刚学过的主要内容：刚学过的主要内容：01.( )f xx函函数数在在处处连连续续的的等等价价定定义义：000()()()f xf xf x 0000lim( )()im0( )lxxxf xf xf x

15、xy 在在 处处连连续续02.( )f xx在在点点 间间断断的的类类型型第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在173.连续函数与连续区间连续函数与连续区间定义定义1:在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上2:( , ),a bxa 定定义义如如果果函函数数在在开开区区间间内内连连续续 并并且且在在左左端端点点,( )xbf x 处处右右连连续续 在在右右端端点点处处左左连连续续 则则

16、称称在在闭闭区区的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续,该区间该区间叫函数的叫函数的连续区间连续区间. , .a b间间上上连连续续连续函数的图形是一条连续函数的图形是一条连续而不间断连续而不间断的曲线的曲线. ,.C a b , a b在在闭闭区区间间上上的的连连续续函函数数的的集集合合记记作作：例如例如:01( )nnP xaa xa x(,). 在在上上连连续续因为因为 000(,)lim( )()xxxP xP x 有有sin ,cos(,).: yx yx 在在区区间间内内也也是是同同可可证证连连续续的的理理18一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算

17、法则 第九节二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 19tan,cot ,sec ,cscxxxx在其在其定义域内连续定义域内连续一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则定理定理1. 在某点连续的在某点连续的有限个有限个函数经函数经有限次有限次和和 , 差差 , 积积 ,( 利用极限的四则运算法则证明利用极限的四则运算法则证明)sin,cosxx在在定定义义域域内内连连续续商商(分母不为分母不为 0) 运算运算, 结果仍是一个在该点连续的函数结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,定理定理2. (证明略证明略) 若函数若函数y=f(x)在某区间

18、上单值、单调且连续，在某区间上单值、单调且连续，则它的反函数在对应的区间上也单值、单调且连续，则它的反函数在对应的区间上也单值、单调且连续，而且它们的单调性相同而且它们的单调性相同.20定理定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. 例如例如, sin,22yx在在上上连续单调递增，连续单调递增，其其反函数反函数arcsinyx (递减递减)在在 1, 1上也连续上也连续(递减递减)11xOy22 单调单调递增递增.sin xarcsin x;1 , 1arccos上上单单调调减减少少且且连连续续在在同同理理 xyarctan ,arccot(,)

19、.yx yx 在在上上单单调调且且连连续续总之总之,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.(,)xye 在在上上连续连续单调单调其其反函数反函数ln(0,)yx 在在上也连续单调递增上也连续单调递增.又又如如, xyOlnyx xye 11递增递增,21定理定理3.0lim ( ),( ),xxxfaua 若若函函数数在在点点 连连续续 则则有有( 利用极限的利用极限的变量代换法变量代换法)意义：意义：1)在定理在定理3的条件下极限符号可以与函数符号互换的条件下极限符号可以与函数符号互换;0lim(.)xxfx 0lilim (m)( )(uaxxf uff ax 02)3

20、.xxx 把把定定理理 中中的的换换成成可可得得类类似似的的定定理理lilimm ()( )(uaxf ufxf a lim ( ).xfx 0lim ( )lim( )( ).xxuafxf uf a 例例1.解解:1lim.xxe求求所以所以 原式原式1limxxe 01e1lim0 xx 又又由由于于，11.uxyeyeux 因因可可以以看看成成是是由由和和复复合合而而成成0.uyex 且且在在处处连连续续22定理定理4. 连续函数的复合函数是连续的连续函数的复合函数是连续的.(常用常用)证证: 设函数设函数0( ),uxx 在在点点连连续续于是于是故故复合函数复合函数且且即即00().

21、xu 0( ),yf uu 函函数数在在点点连连续续00lim( )().uuf uf u 0lim ( )xxfx 0lim( )uuf u0()f u 0 ()fx ( )fx 0.x在在点点连连续续例如例如,是由连续函数是由连续函数因此因此复合而成复合而成 ,1sinyx sin ,(,)yuu *1,Ruxx*1sinR.ux 在在上上连连续续23三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.)1, 0( aaayx指数函数指数函数;),(内内单单调调且且连连续续在在 )1, 0(log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单调且连续内单

22、调且连续在在 xy xaalog ,log.uayaux 由由复复合合而而成成(0,),yx 故故在在内内连连续续,不同值不同值讨论讨论 均在其定义域内连续均在其定义域内连续(证明略证明略)二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性结论结论:基本初等函数在其定义域内是连续的基本初等函数在其定义域内是连续的.24定理定理5. 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.1.“定义区间定义区间”与定义域不应混淆与定义域不应混淆.定义区间定义区间 定义域定义域 说明说明: 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不在其定义域内不一定连续一定连

23、续;例如例如,cos1,yx:0, 2 , 4 ,Dx 函数在这些孤立点的邻域内没有定义函数在这些孤立点的邻域内没有定义,故均为间断点故均为间断点.2.逆否命题成立逆否命题成立.即在定义区间内不连续的函数是非初即在定义区间内不连续的函数是非初等函数等函数,如：如： sgnyx1,xyxye 如如的连续区间如何找？的连续区间如何找？3.初等函数的连续区间初等函数的连续区间=定义区间定义区间( )( ).f xf x定定义义区区为为初初等等函函数数其其间间在在上上连连续续1 xyo1255. 函数连续性的应用函数连续性的应用-求极限求极限.4.初等函数的间断点就是无定义的点及有定义的孤立点初等函数

24、的间断点就是无定义的点及有定义的孤立点.如如 函数函数的间断点：的间断点：11( )1xxf xe 000lim)( )()(xxf xf xxf x 若若函函数数在在连连续续000lim( )(l mmili)xxxxxxf xfxf 与与 可可交交换换. .1,0 xx( )( ).f xf x定定义义区区为为初初等等函函数数其其间间在在上上连连续续0( ), i)3l(.mxxf xaxa 若若函函数数在在 连连续续定定理理0lim(.)xxfx 0lim ( )lim( )( )uaxxff afxu 则则0limxxf即即与与 可可交交换换. .例例2.1limsin1.xxe 求求

25、1sin1e原原式式. 1sin e解解:第第10个求极限的方法个求极限的方法26例例3.1limsinxx 求求1sinlimxx 原原式式解解:0 ( sin0)xx 在在处处连连续续例例4.3sin0lim(12 ).xxx 求求解解:3sin0lim(12 )xxx 03limln(1 2)sinxxxe 3ln(1 2)sin0limxxxe 03lim2sinxxxe 03lim26xxxee 0( ), i)3l(.mxxf xaxa 若若函函数数在在 连连续续定定理理0lim( )xxfx 0lim ( )xxfx 则则0limxxf与与 可可交交换换. .27则有则有 0(

26、)lim1( )v xxxu x 结论结论1: 若若00lim( )0, lim ( ),xxxxu xv x 0( )ln1( )limv xu xxxe 0lim( ) ( )xxv x u xe 0lim( )ln ( )xxv xu xe 则有则有0( )lim( )v xxxu x结论结论2: 若若00lim( )(0), lim ( ),xxxxu xa av xbba lnbae 1 lnMMe 幂幂指指函函数数的的求求极极限限法法则则: :0lim( )ln1( )xxv xu xe 28定义区间与定定义区间与定义域的区别义域的区别.基本初等函数在基本初等函数在定义区间定义区间内连续内连续连续函数经连续函数经四则运算四则运算仍连续仍连续连续函数的连续函数的复合复合函数连续函数连续一切初等函数在一切初等函数在定义区间定义区间内内连续连续连续函数的连续函数的反函数反函数连续连续内容小结内容