哈工大大学物理 相对论习题课

1、相对论相对论狭义相对论的两个基本假设狭义相对论的两个基本假设相对性原理相对性原理: 物理定律在所有惯性系中都是相同的物理定律在所有惯性系中都是相同的,不存在任何一个特殊的绝对的惯性系不存在任何一个特殊的绝对的惯性系.光速不变原理光速不变原理: 在所有的惯性系中在所有的惯性系中,光在真空中的速光在真空中的速率都相同，均为率都相同，均为c.二、狭义相对论的时空观二、狭义相对论的时空观洛伦兹洛伦兹变换变换1）满足相对性原理和光速不变原理）满足相对性原理和光速不变原理2）当质点速率远小于真空光速）当质点速率远小于真空光速 c 时，该变时，该变 换应能使伽利略变换重新成立。换应能使伽利略变换重新成立。2

2、21xu txuc yyzz2221utxctuc 221xutxucyyzz2221utxctuc坐标变换坐标变换:2222211111xxxyyxzzxvud xvud tvcvd yvud tvcvd zvud tvc2222211111xxxyyxzzxvud xvud tvcvd yvud tvcvd zvud tvc速度变换速度变换:1 . 同时性的相对性同时性的相对性2122()1uxxc21ttt3. 长度收缩长度收缩 (运动的尺收缩运动的尺收缩)2021uLLc狭义相对论的时空观狭义相对论的时空观2. 时间延缓时间延缓 (运动的时钟变慢运动的时钟变慢)0221uc狭义相对论动

3、力学狭义相对论动力学动量动量 能量能量 质能关系质能关系1. 动量：动量：0221mPmvvvc2. 能量：能量：200 Em c静能静能:总能：总能：2Emc20221mcuc3. 能量和动量的关系能量和动量的关系22 22 40 EP cm c0221mmvc动能：动能：2200kEEEmcm c质能方程质能方程例例. k 惯性系中观测者记录两事件的空间间隔和时间间隔分别是惯性系中观测者记录两事件的空间间隔和时间间隔分别是 x2-x1=600m 和和 t2-t1=810-7 s ，为了使两事件对为了使两事件对 k 系来说是同时发生的，系来说是同时发生的，k 系必须以多大速度相对于系必须以多

4、大速度相对于 k 系沿系沿 x 轴方向运动？轴方向运动？已知已知 k 系中：系中：721218 10,600tttsxxxm 由洛伦兹变换可知由洛伦兹变换可知2221utxctuc 为了使在为了使在 k 系中看来是同时发生的，需使系中看来是同时发生的，需使0t 281.2 10/tucum sx例例.在惯性系在惯性系 k 中，有两个事件同时发生在中，有两个事件同时发生在 x 轴上相距轴上相距 1000m 的两点，的两点，而在另一惯性系而在另一惯性系 k （沿沿 x 轴方向相对于轴方向相对于 k 运动）中测得这两个事件发生运动）中测得这两个事件发生的地点相距的地点相距2000m， 求在求在 k

5、系中测得这两个事件的时间间隔。系中测得这两个事件的时间间隔。解答提示解答提示在在 k 系中：系中：0,1000txm 在在 k 系中：系中：2000 xm由由222(1)1utxctuc 由（由（2）式可得）式可得32uc代入（代入（1），得），得 k 系中两事件的时间间隔系中两事件的时间间隔65.77 10 ( )ts 22(2)1xu txuc 例例. 设有一宇宙飞船设有一宇宙飞船 A 以速率以速率0.9c 匀速向东飞行，另一宇宙飞船匀速向东飞行，另一宇宙飞船 B 以速率以速率 0.8c 匀速向西飞行。试问，乘坐在宇宙飞船匀速向西飞行。试问，乘坐在宇宙飞船 B 上的宇航员所测上的宇航员所测

6、得的宇宙飞船得的宇宙飞船 A 的速率是多少？的速率是多少？设向东为设向东为 x 轴正方向，对地面参照系轴正方向，对地面参照系 s , A 的速度为的速度为0.9xvc对以对以 B 为参照系的为参照系的 s ， A 的速度为的速度为2,0.81xxxvuvucuvc 0.988xvvc不能在第三参考系下观察！不能在第三参考系下观察！例例. 在折射率为在折射率为 n 的静止连续介质中，光速的静止连续介质中，光速 v0 =c/n . 已知水的折射率已知水的折射率 n，试问当水管中的水以速率试问当水管中的水以速率 u 流动时，通过运动着的水的光速流动时，通过运动着的水的光速 v 多多大？大？设地面参照

7、系为设地面参照系为 s 系，系， 流水参照系为流水参照系为 s 系。系。s系相对系相对 s 系的速度，即水流系的速度，即水流速度为速度为 u ，速度方向为速度方向为 x 轴正方向。光对轴正方向。光对 s 系，即对静水的速度系，即对静水的速度 v0 =c/n.依据相对论速度变换公式，流水中传播的光相对依据相对论速度变换公式，流水中传播的光相对 s 系及地面的速度系及地面的速度 v 为为21cunvu cc n结果表明，光好像是被运动介质所拖动。但又不是完全的拖动，结果表明，光好像是被运动介质所拖动。但又不是完全的拖动，只是运动介质速度的一部分，只是运动介质速度的一部分， f=1-1/n2 加到了

8、光速加到了光速 v0=c/n 中。中。1851年，菲索从实验室中观测到了这个效应。然而，直到相对论年，菲索从实验室中观测到了这个效应。然而，直到相对论出现后，该效应才得到了满意的解释。出现后，该效应才得到了满意的解释。2()c ncn unncu2(1)cn uunncu2(1)cn uunnc21(1)cunn1()1cnu cnu nc例例. 一根米尺静止放在一根米尺静止放在 S 系中，与系中，与 OX 轴成轴成 30o 角，如果在角，如果在 S 系中系中测得该米尺与测得该米尺与 OX 轴成轴成 45o 角，那末角，那末 S系相对于系相对于 S 系的速度系的速度 u 为多大？为多大？S 系

9、中测的得米尺的长度是多少？系中测的得米尺的长度是多少？ 解答提示解答提示在在 s 系中米尺为原长，有系中米尺为原长，有yzOyZOxlylu031 cos302xl 在在 s 系中：系中：022223cos4511(1)2xxlllucuc011 sin302yl 01sin45(2)2yylll由（由（2），在），在 s 系测得米尺长度系测得米尺长度20.707( )2lm代入代入(1)，2211,3uc s 系相对于系相对于 s 系的速度系的速度20.816 .3ucc例：一山洞长例：一山洞长1km，一列火车静止时长度也是，一列火车静止时长度也是1km。这列火车以。这列火车以0.6c的速度

10、穿过山洞时，在地面上测量，的速度穿过山洞时，在地面上测量，(1)列车从前端进入列车从前端进入山洞到尾端驶出山洞需要多长时间？山洞到尾端驶出山洞需要多长时间？(2)整个列车全在山洞内整个列车全在山洞内的时间有多长？的时间有多长？(3)如果在列车上测量呢？如果在列车上测量呢？解：解：(1)S系系(地面地面)：201All火车长火车长山洞长山洞长1.0 kmBl 510s0.6ABlltcSSyxxyu0.8km 系系(火车火车)：S列车长列车长01.0kmAll 201Bll 山洞长山洞长510 sABlltu0.8km(2)S系：系：61.11 10 sBAlltu 系：系：SBAll列车的长度

11、比山洞长，整个列车不可列车的长度比山洞长，整个列车不可能有全在山洞内的时刻能有全在山洞内的时刻u(3)u例例. 火箭相对于地面以火箭相对于地面以v=0.6c 的匀速度向上飞离地球。在火箭发的匀速度向上飞离地球。在火箭发射射 后后(火箭上的钟火箭上的钟)，该火箭向地面发射一导弹，其速，该火箭向地面发射一导弹，其速度相对于地球为度相对于地球为v1=0.3c，问火箭发射后多长时间，导弹到达地问火箭发射后多长时间，导弹到达地球？球？(地球上的钟地球上的钟)，计算中假设地面不动。，计算中假设地面不动。10ts 12212.51ttsv c 12125v ttsv1237.5ttts 解解:例例. 静止的

12、静止的 子的寿命约为子的寿命约为 =2 10-6s。今在今在8km的高空，由于的高空，由于 介子的衰变产生一个速度为介子的衰变产生一个速度为 u=0.998c 的的 子，试论证此子，试论证此 子有无子有无可能到达地面。可能到达地面。解：设地球参考系为惯性系解：设地球参考系为惯性系S， 子参考系为子参考系为S 。 已知已知S 系相对于系相对于S系的运动速率为系的运动速率为u=0.998c， 子在子在 S 系的固有寿命为系的固有寿命为 =2 10-6s 。 根据相对论根据相对论时间延缓效应时间延缓效应， 子在子在 S系的寿命为：系的寿命为：226031.6 101ucs60.99831.6 109

13、.4618Luckmkm此此 子有可能到达地面。子有可能到达地面。 子在时间子在时间 内运动的距离为：内运动的距离为：060.9982 10598.88Lucmkm 解法二解法二 ：对于对于S 系来说，系来说， 子不动，地球以速率子不动，地球以速率 u=0.998c朝向朝向 子运动。子运动。在在 子寿命子寿命 =2 10-6s时间内，地球运动的距离为时间内，地球运动的距离为600.9982 10598.8Lucm 对对S 系来说，地面与系来说，地面与 子之间的距离存在相对论子之间的距离存在相对论长度收缩效应长度收缩效应；也就是说，也就是说， S 系中的观测者所测得的地面与系中的观测者所测得的地

14、面与 子之间的距离为：子之间的距离为：22201/8000 1 0.998505.7llucm由此可见，由此可见， 子在衰变之前，地面已经碰上了子在衰变之前，地面已经碰上了 子。子。例：一个电子从静止加速到例：一个电子从静止加速到 0.1c 的速度需要做多少功的速度需要做多少功? 速度从速度从 0.9c 加速到加速到 0.99c 又要做多少功又要做多少功?解解 : 根据功能原理根据功能原理, 要作的功要作的功AE 根据相对论质能关系式根据相对论质能关系式2221Em cm c根据相对论质量公式根据相对论质量公式0221mmvc10,mm022221mmvc( 1 ) 当当 10,v20.1vc

15、时时22160022234.13 1012.58 10m cAm cJvcMeV319.1093897 10emkg1216.24150610JMeV式中式中01221,1mmvc022221mmvc( 2 ) 当当 10.9 ,vc20.99vc时时220022222111m cm cAvcvc133.93102.45JMeV17例：例：匀质细棒静止时的质量为匀质细棒静止时的质量为m0, 长度为长度为L0, 当它沿棒长方向做当它沿棒长方向做高速的匀速直线运动时，测得它的长为高速的匀速直线运动时，测得它的长为L ，那么，该棒的运动，那么，该棒的运动速度速度 v = _ , 该棒所具有的动能该棒

16、所具有的动能Ek = _。解：解：根据运动的尺收缩，得根据运动的尺收缩，得202201(1)vLLcLvcL动能：动能：2202200222200001(1)kEmcm cm cm cvcLLLm cm cLL 请证明：一个自由电子不能一次完全吸收一个光子。请证明：一个自由电子不能一次完全吸收一个光子。1phec2p解：假设一个自由电子可以一次完全吸收一个解：假设一个自由电子可以一次完全吸收一个光子。如图所示，设相互作用前后电子的动量光子。如图所示，设相互作用前后电子的动量分别为分别为 和和 ，光子的频率为，光子的频率为 ，电子的静，电子的静止质量为止质量为 m0 ，则根据动量守恒定律和能量守则根据动量守恒定律和能量守恒定律可知：恒定律可知：1p2p12hpepc(1)222422241020p cm chp cm c(2)根据余弦定理根据余弦定理