《定积分的应用》ppt课件

1、4 4 定积分的运用定积分的运用一一. .微元法微元法二二. .几何运用几何运用 The Application of Definite Integralsl 用定积分处理实践问题，应先明确l 两个问题：第一，定积分能处理哪类问题？第一，定积分能处理哪类问题？(共性共性)第二，用定积分处理这类问题方法的关第二，用定积分处理这类问题方法的关键是什么？键是什么？一、微元法一、微元法第一个问题：用定积分所处理问题的共性：第一个问题：用定积分所处理问题的共性： to integrate.2. 这个在这个在a,b上分布的整体量等于其一切上分布的整体量等于其一切1. 都是求在都是求在a,b非均匀分布的一个

2、整体量，非均匀分布的一个整体量， 如：面积、体积、曲线弧长；作功、引如：面积、体积、曲线弧长；作功、引 力、总本钱、总利润等等；力、总本钱、总利润等等；子区间部分量的总和子区间部分量的总和(可和可和)，详细地讲：，详细地讲：)()()(aFbFdxxfba )(1,1xFnkxxkk )()()(kkkxoxxFxF 因因)()(xFddxxf babaxdFdxxf)()(亦即亦即)(1xFnkk 记作记作设设F(x)可微可微第二个问题：用定积分处理问题的关键第二个问题：用定积分处理问题的关键 在找出整体量的微元：在找出整体量的微元：).(xFd微元法处理问题的步骤微元法处理问题的步骤1.

3、写出实践问题整体改动量的微元表达式：写出实践问题整体改动量的微元表达式：)()()()(xFxfdxxfxFd 通通常常2. 用定积分求出整体改动量：用定积分求出整体改动量：.)()()()( babadxxfxdFaFbF二、定积分的几何运用二、定积分的几何运用1. 1. 平面图形的面积平面图形的面积AreaAreal用微元法求面积用微元法求面积 dxxgxfAd)()( baAdA badxxgxf)()(例例 1 求由求由和和xy21 xy 82所围图形的所围图形的面积面积.(如图如图)思索思索:求面积前需求做那些预备任务求面积前需求做那些预备任务?841dA2dA解解 从图中可以明显看

4、出所求面积分为两部从图中可以明显看出所求面积分为两部,21RR 和和两块面积的微元分别为：两块面积的微元分别为：分分: dxxgxfdA)()(1 dxxgxfdA)()(2 dxxx)8(21 dxxx)8(8 8482dxx84232)8(3241 xx 3128163164dxxxA82148 4823)8(322x 8034 36 l 用微元法求面积 dyygyfAd)()( dcAdA dcdyygyf)()(dA求面积前需求做的预备任务有求面积前需求做的预备任务有:(1) 最好能作出草图最好能作出草图,弄清边境曲线的方程弄清边境曲线的方程; (2) 根据所选方法确定积分变量及总量微

5、元根据所选方法确定积分变量及总量微元;(3) 确定积分区间确定积分区间,为此常需求求出边境曲线为此常需求求出边境曲线 交点的坐标交点的坐标. (如图如图) 例例 2 再求由再求由和和xy21 xy 82所围图形的所围图形的面积面积.(如图如图)42)0, 8( 解解 dxygyfdA)()( dyyyA28242 4223318 yyy 163643243816dyyy2)8(2 36 那种方法好那种方法好？-1-0.50.51-1-0.50.51ydx tytx33sincos例例3 求星形线所围面积，求星形线所围面积， 它的参数方程为：它的参数方程为：)20(sincos33 ttytx)

6、1(3232 yx直角坐标方程直角坐标方程解解 由对称性只需求出由对称性只需求出(1/4 )面积即可。面积即可。ydxdA )cos(sin33tdt 104ydxA 0233cossin4 tdt 0223)sin(cos3sin4 tdttt 2024)sin1 (sin12 tdtt2246135241312 83 例例4 用微元法推导由极坐标给出的曲线用微元法推导由极坐标给出的曲线C：)()( rr)0(),cos1( aar 线线l用微元法先推导用微元法先推导l 极坐标系下求面积极坐标系下求面积l 的表达式的表达式or d )( rdA)( rr d所围的面积所围的面积,并求心脏并求

7、心脏所围图形的面积所围图形的面积.)()(21半半径径弧弧长长 dA)()(21 rdr drdAA)(212 解解 心脏线的对称心脏线的对称 性是明显的，因性是明显的，因 此此1234-2-112)cos1(2 y drA)(21202 da 022)cos1( da 0222)2cos2(tdta 2/042cos24 2/ t令令2223224138aa 例例5 求双纽线：求双纽线： 2sin42 所围封锁所围封锁图形的面积。图形的面积。解解(当他不会作封锁曲线的图形时，如何经过当他不会作封锁曲线的图形时，如何经过 分析求出面积？分析求出面积？) drdAA)(212 分析分析 运用公式：运用公式： 解这个问题的难点在确定积分限。解这个问题的难点在确定积分限。, 02sin42 ,2 X对对于于,又又是是周周期期函函数数留意到留意到 每两个零点曲线封锁一次每两个零点曲线封锁一次. 变化过程中，变化过程中，或或 32220 ，或或 2320 由于周期性的变化由于周期性的变化,他会发现封锁图形将重他会发现封锁图形将重对对称称，因因为为即即又又关关于于)4( xy复出如今第一、三象限复出如今第一、三象限,且图形关于原点对且图形关于原点对称，称，故有故有进而得进而得面面积积，就就得得到到上上积积分分至至因因此此只只要要在在41,40 dA240214 全全面面积积 402si