浅议构造法及在初等数学中应用

1、浅议构造法及在初等数学中应用所谓构造法，即构造性解题方法，根据对题设条件或结论 充分细致的分析，抓住问题的特征，联想熟知的数学模型， 然后变换命题，恰当地构造辅助元素，它可以是图形、函数、 方程等，借助于该数学模型认识与解决数学问题的一种思想 方法。构造法”包含下述两层意思：（1）利用抽象问题的普遍 性，把实际问题转化为数学模型；（2）利用具体问题的特 殊性，为待解决的问题设计一个合理的框架。构造法打破了基本的'要什么，求什么，给什么，用什 么”的常规解题思路和解题模式，应用它解题，则另辟蹊径, 它是一种重要而灵活的思维方式，没有固定的模式，常常表 现出简捷、明快、精巧、新颖等特点，使

2、数学解题突破常规, 具有很强的创造性。它的应用十分广泛，特别是对有些技巧 性强的题目，这时利用构造法往往能达到意想不到的效果， 它是一种探索和创新，适当的构造可以给人带来耳目一新的 解题感受，能提高学生的解题能力，还可以让学生体会到数 学灵巧之美。1构造方程法构造方程就是构造一些特殊的方程，将一些“相等关 系”转化为“不等关系”，“不等关系”转化为“相等关系” o【例】设al, a2,，an为任意正数，证明对任意正 整数n不等式(al+a2+an) 2wn (al2+a22+ +an2)均成 立证明：原不等式即4 (al+a2+an) 24n (al2+a22+*+an2) wo由此联想到根的

3、判别式而构造一元二次方程：(al2+a22+an2) x2+2 (al+a2+an) x+n二0(*)因方程左边二(alx+1) 2+ (a2x+l) 2+ (anx+1) 2三0 当al, a2,，an不全相等时，alx+1, a2x+l,， anx+1至少有一个不为0,方程(*)左边恒为正数，方程(*)显然无解。当al二a2二二an时，方程(*)有唯一解故二4 (al+a2+an) 24n (al2+a22+-*+an2) wo即(al+a2+an) 2wn (al2+a22+an2)对任意正 整数n均成立。通过以上例题考察题设条件中的数量关系和结构特征， 巧妙设计新的方程，创立新的问题情

4、境，灵活快速地解决问 题，解出“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的欢快心情。2构造函数法函数在我们整个中学数学中占有相当的内容，学生对于 函数性质也比较熟悉。解题过程中不断挖掘学生的潜在意识 而不让学生的思维使注意到某一点上，把自己的解题思路搁 浅了。启发学生思维多变，从而达到培养学生发散思维。【例】设a, b, c为三角形三边长，求证：证明：构造函数显然f (x)在(0, +°°)上是增函数ta, b, c 是三角形三边长，.：c/.f (c) bn, an>cnan3>anbncn即：此题看似非常繁琐，但通过构造已知式的对偶式，问题 就巧妙地解决了。所以说构

5、造对偶式对解决这类问题就显得 十分简便了。4构造几何图形法华罗庚说过：“数离开形少直观，形离开数难入微。” 利用数形结合的思想，可沟通代数，几何的关系，实现难题 巧解在解题时若以数形结合的思想作指导，对于某些较复杂 的问题，通过构造图形启发思维，借助于图形的直观来解题 往往使解题方法简捷.【例】实数x, y满足4x2+4y2-5xy=5,求s=x2+y2的极 值。分析：首先观察约束条件和目标函数，发现它们都是二次曲线。令x=xz +y，y=xz -yz ,将约束条件化为目标函数 化为因此其几何模型为：动圆与定椭圆相切时，动圆半径 平方的2倍，即为目标函数的最小值，也即为定椭圆的长半 轴、短半轴

6、平方的两倍。如图所示。然后，由建立的几何模型，易求得：此题首先观察命题的约束条件和目标函数的形状与结 构形似联想，构造几何模型，即由数及形；然后根据几何模 型的特征，求解极值，即由形促数。这种构造的重要之点在 于，善于发掘题设条件中的几何意义，从而构造出几何图形, 把代数问题转化为几何问题来解决.巧用构造法来证明，是通过建立和构造模型创造性的解 题，是不同于常规解法的创造性思维。由于构造法具有非常 规性，构造内容也变化不定，灵活性强，有时需要构造一个 式子，有时需时构造图形，有时需要构造方程，有时需要构 造函数，复数或向量，这给学生的创新思维提供了很大的培 养和训练空间，需要学生不断去探索和总结，当然，创造性 思维的培养并不是一朝一夕的事，也不是一章一节之内容， 而是应该长期坚持，立足课堂主战场，注重教材中潜在内涵 的挖掘，引导学生的