二次函数经典解题技巧

1、龙文教育学科教师辅导讲义龙文教育学科教师辅导讲义课课题题教学目标教学目标教学容教学容介绍一些些能加快速度的计算公式介绍一些些能加快速度的计算公式二次函数知识点总汇二次函数知识点总汇b 4ac b23 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：y ax bx c ax 2a4a22b4ac b2（，），顶点是，2a4a对称轴是直线x b.2a（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y axhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x h.2（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方

2、法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线y ax2 bx c中，a,b,c的作用y ax2中的a完全一样.y ax2 bx c的对称轴是直线（1）a决定开口方向及开口大小，这与（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线x bbb，故：b 0时，对称轴为y轴； 0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧； 0（即a、b异aa2a号）时，对称轴在y轴右侧.y ax2 bx c与y轴交点的位置.（3）c的大小决定抛物线当xc： 0时，y c，抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点（0，c） 0，抛物线经过原点; c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于

3、负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：（2）顶点式：y轴右侧，则b 0.ay ax2 bx c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.y axhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.2（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：12.直线与抛物线的交点y ax x1x x2.（1）y轴与抛物线y ax2 bx c得交点为(0,c).y轴平行的直线x h与抛物线y ax2 bx c有且只有一个交点(h,ah2bh c).（2）与（3）抛物线与x轴的交点二次函数y ax2 bx c的

4、图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2bx c 0的两个实数 0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上） 0抛物线与x轴相切；没有交点 0抛物线与x轴相离.有两个交点（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bx c k的两个实数根.（ 5 ） 一 次 函 数y kx nk 0的 图 像l与 二 次 函 数y ax2bx ca 0的 图 像g的 交 点 ， 由 方 程 组y kx

5、ny ax2bxc的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与g有两个交点; 方程组只有一组解时l与g只有一个交点；方程组无解时l与g没有交点.（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax2 bx c与x轴两交点为ax1，0，bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bx c 0的两个根，故的两个根，故bcx1 x2 ,x1 x2aaab x1 x2x1 x22x1 x22b24acb 4c4x1x2 aaaa26、点到坐标轴及原点的距离点 p(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点 p(x,y)到 x 轴的距离等y（2）点 p(x,y)到 y 轴的距离等于x（3）点 p(x,y)到原点的

6、距离等于x2 y25、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数s=pmpn=k(k 0)图像上任一点p 作xky x xy。 y ,xyk,sk。xyx 轴、y 轴的垂线pm，pn，则所得的矩形pmon 的面积考点三、二次函数的最值考点三、二次函数的最值4ac b2b如果自变量的取值围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） ，即当x 时，y最值4a2a如果自变量的取值围是x1。 x x2，那么，首先要看bb是否在自变量取值围x1 x x2，若在此围，则当 x=时，2a2ay最值4ac b24a；若不在此围，则需要考虑函数在x1 x x2围的2、函数平移规律（中考试题中，

7、只占 3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）3、直线斜率：y y1k tan2x2 x1b为直线在y轴上的截距4、直线方程：一般两点斜截距1，一般一般 直线方程ax+by+c=02，两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式:yy1y2y1( xx1)x2x1y y1 k(x x1)-最最常用，记牢3，点斜知道一点与斜率知道一点与斜率4，斜截斜截式方程，简称斜截式: ykxb(k0)5 ，截距由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：xy1ab记牢可大幅提高运算速度5、设两条直线分别为，l1：y k1x b1若l1l2：y k2

8、x b2/ l2，则有l1/ l2 k1 k2且b1 b2。l1 l2 k1 k2 1若6、点p（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离:d kx0 y0bk (1)22kx0 y0bk 12对于点 p（x0，y0）到直线滴一般式方程ax+by+c=0 滴距离有常用记牢d ax0by0ca2b22 2、 如图，已知二次函数y ax24xc的图象与坐标轴交于点a（-1， 0）和点b（0，-5） （1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点p，使得abp的周长最小请求出点p的坐标20 a(1) 4(1)c,解： （1）根据题意，得2 分25 a0 40

9、c.解得a 1,3 分c 5.2二次函数的表达式为y x 4x 54 分2（2）令y=0，得二次函数y x 4x 5的图象与x轴的另一个交点坐标c（5, 0）.5 分由于p是对称轴x 2上一点，22连结ab，由于ab oa ob26，要使abp的周长最小，只要pa pb最小.6 分由于点a与点c关于对称轴x 2对称，连结bc交对称轴于点p，则pa pb=bp+pc=bc，根据两点之间，线段最短，可得pa pb的最小值为bc.因而bc与对称轴x 2的交点p就是所求的点.8 分设直线bc的解析式为y kx b，根据题意，可得b 5,k 1,解得b 5.0 5k b.所以直线bc的解析式为y x 5

10、.9 分因此直线bc与对称轴x 2的交点坐标是方程组x 2,x 2,的解，解得y 3.y x 5所求的点p的坐标为（2，-3）.10 分压轴题中求最值压轴题中求最值此种题多分类讨论，求出函数关系式，再求各种情况的最值，最后求出最值。典型例题：1 如图，在梯形 abcd 中，adbc，b90，bc6，ad3，dcb30.点e、f同时从 b 点出发，沿射线bc向右匀速移动.已知f点移动速度是e点移动速度的 2 倍，以ef为一边在cb的上方作等边efg设 e 点移动距离为x（x0）.efg的边长是_（用含有x的代数式表示） ，当 x2 时，点 g 的位置在_；若efg与梯形 abcd 重叠部分面积是

11、 y，求当 0 x2时，y与x之间的函数关系式；当 2x6时，y与 x 之间的函数关系式；探求中得到的函数 y 在 x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值.解： x，d 点b e f cga d 当 0 x2时，efg在梯形 abcd 部，所以y分两种情况：.当 2x3时，如图 1，点 e、点 f 在线段 bc 上，efg与梯形 abcd 重叠部分为四边形 efnm，fncfcn30,fnfc62x.gn3x6.由于在 rtnmg 中，g60，所以，此时y32x ；4ga dmn34x237 329 39 3（3x6）2.x x 8228.当 3x6时，如图 2，点 e 在线段 bc 上，点

12、 f 在射线 ch 上，efg与梯形 abcd 重叠部分为ecp，ec6x,yb e f c图 13323 39 3（6x）2.x x 822832x 在 x0 时，y 随 x 增大而增大，4当 0 x2时，yx2 时，y最大3；g189 37 329 39 3当 2x3时，y在 x时，y最大；x x 77822323 39 3当 3x6时，y在 x6 时，y 随 x 增大而减小，x x a d8229 3x3 时，y最大.p8189 3综上所述：当 x时，y最大77b e c f图 2如图，直线h35y x 6分别与 x 轴、y 轴交于 a、b 两点；直线y x与 ab 交于点 c，与过点

13、a 且平行于 y 轴的直线交于点44d.点 e 从点 a 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左运动.过点 e 作 x 轴的垂线，分别交直线 ab、od 于 p、q 两点，以 pq 为边向右作正方形 pqmn.设正方形 pqmn 与acd 重叠部分（阴影部分）的面积为 s（平方单位） ，点 e 的运动时间为 t（秒）.（1）求点 c 的坐标.（2）当 0t0 时，直接写出点（4，9）在正方形 pqmn 部时 t 的取值围.2）.】2b4ac b,【参考公式：二次函数 y=ax2+bx+c 图象的顶点坐标为（2a4a3y x 6,x 3,4解： （1）由题意，得解得15y .y 5x.4415）.45353（2）根据题意，得 ae=t，oe=8-t.点 q 的纵坐标为(8-t)，点 p 的纵坐标为t，pq=(8-t)-t=10-2t.4444