二次函数的知识点归纳总结

1、二次函数的知识点归纳总结二次函数的知识点归纳总结篇一：二次函数知识点概括总结二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 二次函数基础知识? 相关概念及定义b，c 是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。这? 二次函数的概念：一般地，形如 y?ax2?bx?c（a，c 可以为零二次函数的定义域是全体实里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a?0，而 b，数? 二次函数 y?ax2?bx?c 的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式，x 的最高次数是 2b，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项 a，? 二次函数各种形式之间的变换? 二次函数 y?ax2

2、?bx?c 用配方法可化成：y?a?x?h?k 的形式，其中2b4ac?b2h?，k?.2a4a? 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y?ax2；y?ax2?k；y?a?x?h?；2y?a?x?h?k；y?ax2?bx?c.2? 二次函数解析式的表示方法? 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c 为常数，a?0） ；? 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k 为常数，a?0） ；? 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.? 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线

3、与 x 轴有交点，即 b2?4ac?0 时， 抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. ? 抛物线 y?ax2?bx?c 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.?a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a?0 时，开口向上；当 a?0 时，开口向下；b.特别地，y 轴记作直线 x?0. 2aa 相等，抛物线的开口大小、形状相同.? 对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x?b4ac?b2（?）? 顶点坐标坐标：2a4a? 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. ? 抛物线 y?a

4、x2?bx?c 中，a,b,c 与函数图像的关系 ? 二次项系数 a二次函数 y?ax2?bx?c 中，a 作为二次项系数，显然 a?0 当 a?0 时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 当 a?0 时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大 小? 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴 在 a?0 的前提下，b当 b?0 时，?0，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；2ab当 b?0 时，?0，即抛物线的对称轴就是 y

5、轴；2ab?0，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧 2a 在 a?0 的前提下，结论刚好与上述相反，即b当 b?0 时，?0，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；2ab当 b?0 时，?0，即抛物线的对称轴就是 y 轴；2ab当 b?0 时，?0，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧2a总结起来，在 a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置 总结：? 常数项 c 当 c?0 时， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， 即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当 c?0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0； 当 c?0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即

6、抛物线与 y轴交点的纵坐标为负总结起来，c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置b，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的总之，只要 a，? 求抛物线的顶点、对称轴的方法当 b?0 时，?b4ac?b2b?4ac?b2?（?）? 公式法：y?ax?bx?c?a?x?，顶点是，对称轴是直线?2a4a2a?4a?bx?.2a2? 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y?a?x?h?k 的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线 x?h.22? 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶

7、点， 再用公式法或对称性进行验证， 才能做到万无一失. ?用待定系数法求二次函数的解析式? 一般式： y?ax?bx?c.已知图像上三点或三对x、 y的值， 通常选择一般式. ?顶点式：y?a?x?h?k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.22? 交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x1、x2，通常选用交点式：y?a?x?x1?x?x2?. ? 直线与抛物线的交点?y 轴与抛物线 y?ax2?bx?c 得交点为(0, c).222? 与 y 轴平行的直线 x?h 与抛物线 y?ax?bx?c 有且只有一个交点(h,ah?bh?c).? 抛物线与x轴的交点:二次函数y?ax?bx?c的图

8、像与x轴的两个交点的横坐标 x1、x2，是对应一元二次方程ax?bx?c?0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点?0?抛物线与 x 轴相交；有一个交点 （顶点在 x 轴上） ?0?抛物线与 x 轴相切；没有交点?0?抛物线与 x 轴相离.? 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k，则横坐标是 ax?bx?c?k 的两个实数根.2一次函数 y?kx?n?k?0?的图像 l 与二次函数 y?ax?bx?c?a?0?的图像 g 的交点，22? 由方程

9、组 ?y?kx?n?y?ax?bx?c2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时?l 与 g 有两个交点; 方程组只有一组解时?l 与 g 只有一个交点； 方程组无解时?l 与 g 没有交点.? 抛物线与 x 轴两交点之间的距离： 若抛物线 y?ax2?bx?c 与 x 轴两交点为a?x1，0?，b?x2，0?，由于x1、x2 是方程 ax2?bx?c?0 的两个根，故bcx1?x2?,x1?x2?aaab?x1?x2?x1?x22?x1?x22b2?4ac?b?4c?4x1x2?aaaa?2? 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况， 可以用一般式或顶点式表达? 关于 x 轴对

10、称y?a2x?bx?关于 cx 轴对称后，得到的解析式是 y?ax2?bx?c；y?a?x?h?k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y?a?x?h?k； ? 关于 y轴对称y?a2x?bx?关于 cy 轴对称后，得到的解析式是 y?ax2?bx?c；22y?a?x?h?k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y?a?x?h?k； ? 关于原点对称 y?a2x?bx?关于原点对称后， 得到的解析式是 cy?ax2?bx?c； y?a?x?h?关于原点对称后，得到的解析式是 ky?a?x?h?k；? 关于顶点对称2222b2 y?ax?bx?关于顶点对称后，得到的解析式是 cy?ax?bx?c

11、?；2a22y?a?x?h?k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y?a?x?h?k22? 关于点?m，n?对称n?对称后，得到的解析式是 y?a?x?h?2m?2n?k y?a?x?h?k 关于点?m，22? 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变 求抛物线的对称抛物线的表达式时， 可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式? 二次函数图象的平移? 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；

12、k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”? 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。 ? 三点式。1，已知抛物线 y=ax+bx+c 经过 a（，0） ，b（2，0） ，c（0，-3）三点，求抛物线的解析式。2， 已知抛物线 y=a(x-1)+4 ， 经过点 a （2， 3） ， 求抛物线的解析式。 ? 顶点式。221，已知抛物线 y=x-2ax+a+b 顶点为 a（2，1） ，求抛物线的解析式。22， 已知抛物线 y=4(x+a)-2a的顶点为 （3， 1） ， 求抛物线的解析式。 ? 交点式。1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-

13、a)(x-b)的解析式。22，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0） ， （1，0）求抛物线 y=? 定点式。1，在直角坐标系中，不论 a 取何值，抛物线 y?1a(x-2a)(x-b)的解析式。 2125?ax?x?2a?2 经过 x 轴上一定点 q，直线 22y?(a?2)x?2 经过点 q,求抛物线的解析式。2，抛物线 y= x +(2m-1)x-2m与 x 轴的一定交点经过直线 y=mx+m+4，求抛物线的解析式。23， 抛物线 y=ax+ax-2 过直线 y=mx-2m+2 上的定点 a， 求抛物线的解析式。 ?平移式。221， 把抛物线 y= -2x 向左平移 2 个单位长度，再

14、向下平移 1 个单位长度，得到抛物线 y=a( x-h) +k,求此抛物线解析式。 2， 抛物线 y?x2?x?3 向上平移,使抛物线经过点 c(0,2),求抛物线的解析式. ? 距离式。21， 抛物线 y=ax+4ax+1(a0)与 x 轴的两个交点间的距离为 2， 求抛物线的解析式。22，已知抛物线 y=m x+3mx-4m(m0)与 x 轴交于 a、b 两点，与 轴交于 c点，且 ab=bc,求此抛物线的解析式。 ? 对称轴式。221、抛物线y=x-2x+(m-4m+4)与 x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到 y 轴距离的 2 倍，求抛物线的解析式。2、 已知抛物线 y=-

15、x+ax+4, 交 x 轴于 a,b（点 a 在点 b 左边）两点，交 y轴于点 c,且 ob-oa=223oc，求此抛物 4线的解析式。 ? 对称式。1， 平行四边形 abcd 对角线 ac 在 x 轴上，且a（-10，0） ，ac=16，d（2，6） 。ad 交 y 轴于 e，将三角形 abc 沿x 轴折叠，点 b 到 b1 的位置，求经过 a,b,e 三点的抛物线的解析式。22， 求与抛物线 y=x+4x+3 关于 y 轴（或x 轴）对称的抛物线的解析式。 ?切点式。221，已知直线 y=ax-a(a0) 与抛物线 y=mx 有唯一公共点，求抛物线的解析式。22， 直线 y=x+a 与抛

16、物线 y=ax +k 的唯一公共点 a（2，1）,求抛物线的解析式。 ? 判别式式。221、已知关于 x 的一元二次方程（m+1）x+2(m+1)x+2=0 有两个相等的实数根，求抛物线 y=-x+(m+1)x+3 解析式。22、已知抛物线y=(a+2)x-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。23、 已知抛物线 y=(m+1)x+(m+2)x+1 与 x 轴有唯一公共点， 求抛物线的解析式。知识点一、 二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀-一般 两根 三顶点 （1）一般一般式：y?ax?bx?c(a,b,c 是常数，a?0)2（2）两根当抛物线 y?ax2?bx?c

17、 与 x 轴有交点时，即对应二次好方程ax?bx?c?0 有实根 x1 和2x2 存在时， 根据二次三项式的分解因式 ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2)，二次函数 y?ax2?bx?c 可转化为两根式 y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点，则不能这样表示。a 的绝对值越大， 抛物线的开口越小,a 的绝对值越大， 抛物线的开口越小.（3）三顶点顶点式：y?a(x?h)?k(a,h,k 是常数，a?0)2知识点二、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） ，即当 x?b时，2ay 最值4ac?b2?。4a如果自变量的取值范围是 x1?x

18、?x2，那么，首先要看?b是否在自变量取值范围 x1?x?x2 内，若在 2ab4ac?b2此范围内，则当 x=?时，y 最值?；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1?x?x2 范围内的增减2a4a2性， 如果在此范围内， y随x的增大而增大， 则当x?x2时， y最大?ax2?bx2?c，当 x?x1 时，2如果在此范围内， y 随 x 的增大而减小， 则当 x?x1 时， y 最大?ax1 当 x?x2y最小?ax12?bx1?c；?bx1?c，2时，y 最小?ax2?bx2?c。、几种特殊的二次函数的图像特征如下：知识点四、二次函数的性质1、二次函数 y?ax2?bx?c(a,b,c 是

19、常数，a?0)中，a、b、c 的含义：a 表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上a0 时，图像与x 轴有两个交点； 当?=0 时，图像与x 轴有一个交点； 当?篇二：二次函数知识归纳与总结二次函数知识归纳与总结二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果特 y?ax2?bx?c(a,b,c 是常数，a?0)，特别注意那么 y 叫做 x的二次函数。a 不为零y?ax2?bx?c(a,b,c 是常数，a?0)叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于 x?b对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法 五点法

20、：（1） 先根据函数解析式， 求出顶点坐标， 在平面直角坐标系中描出顶点 m，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线 y?ax?bx?c 与坐标轴的交点：当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 a,b 及抛物线与 y 轴的交点 c，再找到点 c 的对称点 d。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 c 及对称点 d。由 c、m、d 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 a、b，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。2二次函数的解析式二次函数的解析

21、式有三种形式：口诀-一般 两根 三顶点 （1）一般一般式：y?ax?bx?c(a,b,c 是常数，a?0)2（2）两根当抛物线 y?ax?bx?c 与 x 轴有交点时，即对应二次好方程2ax2?bx?c?0 有实根 x1 和 x2 存在时，根据二次三项式的分解因式ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2)，二次函数 y?ax2?bx?c 可转化为两根式y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点，则不能这样表示。a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（3）三顶点顶点式：y?a(x?h)2?k(a,h,k 是常数，a?0)二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（

22、或最小值） ，即当b4ac?b2x?时，y 最值?。2a4a如果自变量的取值范围是 x1?x?x2，那么，首先要看?b是否在自变量取值范围 2ab4ac?b2时， y 最值?； 若不在此范围内， 则 x1?x?x2 内， 若在此范围内， 则当 x=?2a4a需要考虑函数在 x1?x?x2 范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当2x?x2 时，y 最大?ax2?bx2?c，当 x?x1 时，y 最小?ax12?bx1?c；如果在此范围内，2y 随 x 的增大而减小，则当 x?x1 时，y 最大?ax1?bx1?c，当 x?x2 时，2y 最小?ax2?bx2?c。二次函数

23、的性质2、二次函数 y?ax2?bx?c(a,b,c 是常数，a?0)中，a、b、c 的含义：a 表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上a0 时， 图像与 x 轴有两个交点；当?=0 时， 图像与 x 轴有一个交点；当?0)或左(h 平移|k|个单位或左(h 篇三：二次函数知识点总结b，c 是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一 1二次函数的概念：一般地，形如 y?ax?bx?c（a，c 可以为零二次函数的定义域是全体实数 元二次方程类似，二次项系数 a?0，而 b，2. 二次函数 y?ax?bx?c 的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式，x 的最高次

24、数是 222b，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项 a，二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y?ax 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。22. y?ax?c 的性质： 上加下减。23. y?a?x?h?的性质：左加右减。4.2y?a?x?h?k 的性质：2方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 y?a?x?h?k， 确定其顶点坐标?h，k?； 保持抛物线 y?ax 的形状不变，将其顶点平移到?h，k?处，具体平移方法如下：22向右(h0)或左(h 平移|k|个单位或左(h0)2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下

25、移” 概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二： y?ax2?bx?c 沿 y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位，y?ax2?bx?c 变成y?ax2?bx?c?m（或 y?ax2?bx?c?m）y?ax2?bx?c 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位，y?ax2?bx?c 变成y?a(x?m)2?b(x?m)?c（或y?a(x?m)2?b(x?m)?c）四、二次函数 y?a?x?h?k 与 y?ax?bx?c 的比较22从解析式上看，y?a?x?h?k 与 y?ax?bx?c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22b?4ac?b2b4ac?b2?y?a?x?，其中 h?

26、 ，k?2a?4a2a4a?五、二次函数 y?ax?bx?c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y?ax?bx?c 化为顶点式 y?a(x?h)?k，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标， 然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与2222c?、c?关于对称轴对称的点?2h，c?、以及?0，y 轴的交点?0，0?，?x2，0?（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 与 x轴的交点?x1，画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与六、二次函数 y?ax?bx?c 的性质2y 轴的交点.?b4ac?b2?b1. 当 a?

27、0 时， 抛物线开口向上， 对称轴为 x?， 顶点坐标为? 2a4a2a?b4ac?b2?bb2. 当 a?0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x?，顶点坐标为?时，y 随 x的增大而增大；当?当 x?2a4a2a2a?bb4ac?b2 x?时，y 随 x 的增大而减小；当 x?时，y 有最大值2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法21. 一般式：y?ax?bx?c（a，b，c 为常数，a?0） ； 22. 顶点式：y?a(x?h)?k（a，h，k 为常数，a?0） ；3. 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析

28、式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b2?4ac?0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a二次函数 y?ax?bx?c 中，a 作为二次项系数，显然 a?0 当 a?0 时， 抛物线开口向上， a 的值越大， 开口越小， 反之 a 的值越小，开口越大； 当 a?0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小 2. 一次项系

29、数 b在二次项系数 a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴 在 a?0 的前提下，当 b?0 时，?当 b?0 时，?当 b?0 时，?2b?0，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧； 2ab?0，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 2ab?0，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧 2ab?0，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧； 2ab?0，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 2ab?0，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧 2a 在 a?0 的前提下，结论刚好与上述相反，即 当 b?0 时，?当 b?0 时，?当 b?0 时，?总结起来，在 a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置ab 的符号的判定：对称轴

30、x?总结：3. 常数项 cb在 y 轴左边则 ab?0， 在 y 轴的右侧则 ab?0， 概括的说就是“左同右异” 2ay 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当 c?0 时， 抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0； 当 c?0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负总结起来，c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置 当 c?0 时，抛物线与b，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的总之，只要 a，二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式

31、必须根据题目的特点，选择适当的形式，2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况， 可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称y?ax?bx?c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y?ax?bx?c；22y?a?x?h?k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y?a?x?h?k；2. 关于22y 轴对称2y?ax?bx?c 关于2y 轴对称后，得到的解析式是 y?ax2?bx?c；2y?a?x?h?k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y?a?x?h?k；3.