二次函数的图像和性质讲义

1、二次函数图象和性质【知识点归纳】1、求抛物线的顶点、对称轴的方法4ac b2bb（3）当 a0 时，当 x=时，函数有最小值；当 a0 时，当 x =时，函数4a2a2a4ac b2有最大值4a，顶点是3、图象的平移：将二次函数 y=ax (a0）的图象进行平移，可得到 y=ax c，y=a(xh) ，y=a(xh) k 的图象 将 y=ax 的图象向上(c0）或向下(c 0）平移|c|个单位，即可得到 y=ax c 的图象其顶点是（0,c）形状、对称轴、开口方向与抛物线 y=ax 相同2222222b 4ac b22（1）公式法：y ax bx c ax 2a4a（b4ac bb，），对称轴

2、是直线x .2a4a2a22（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为顶点为(h,k)，对称轴是直线xy ax h k的形式，得到2 将 y=ax 的图象向左 （h0） 或向右(h0） 平移|h|个单位， 即可得到 y=a(xh) 的图象 其顶点是（h，0） ，对称轴是直线 x=h，形状、开口方向与抛物线 y=ax 相同 将 y=ax 的图象向左（h0)或向下(k0)平移|k|个单位，即可得到 y=a(xh) +k 的图象，其顶点是（h，k） ，对称轴是直线 x=h，形状、开口方向与抛物线 y=ax 相同记住规律：左加右减，上加下减4、 用待定系数法求二次函数的解析式222222 h.

3、（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.2、二次函数的图象及性质：（1）二次函数 y=ax (a0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是 y 轴；当 a0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a0 时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大（2）二次函数y ax bx c的图象是一条对称轴平行 y 轴或者与 y 轴重合的抛物线顶点224ac b2bb为（，） ，对称轴 x=；当 a0 时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x4a2a2abb，y 随 x 的增大而增大，x，

4、y 随 x 的增大而减小；当 a0 时，抛物线开口向2a2a（1）一般式：y ax2bx c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.y ax h k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.2（2）顶点式：bb下，图象有最高点，且 x，y 随 x 的增大而减小，x，y 随 x 的增大而增大2a2a（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y ax x1x x2- 1 -【典型例题】例 1、二次函数 y=ax bx c 的图象如图所示，则 a 0，b 0，c 0（填“”或“” ）例 2、二次函数 y=ax bxc 与一次函数 y=axc 在同一坐标系中的图象大致

5、是图中的（）222例 5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数 y=ax （ac）xc 与一次函数 y=axc的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）2例 6、抛物线 y=ax bxc 如图所示，则它关于 y 轴对称的抛物线的表达式是例 7、已知二次函数 y=（m2）x （m3）xm2 的图象过点（0，5）（1）求 m 的值，并写出二次函数的表达式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴22b例 3、在同一坐标系中，函数 y=ax bx 与 y=的图象大致是图中的（）x2例 4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用 y=002

6、25x 09x10 表示，而且左右两条抛物线关于 y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？2例 8、 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫， 每日最高产量为 40 只， 且每日生产的产品全部售出 已知生产 x 只玩具熊猫的成本为 r （元） ， 每只售价为 p （元） ， 且 r， p 与 x 的表达式分别为 r=50030 x，p=1702x（1）当日产量为多少时，每日获利为 1750 元？（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？- 2 -训练题训练题 a a：1抛物线 y=2x 6x1 的顶点坐标为，对称轴为2如图，若 a0，b0，c0，则抛物线 y=ax bxc 的大致图象为（）

7、10已知抛物线 y=ax bxc 经过点 a（4，2）和 b（5，7） 且过点 c(0,3)（1）求抛物线的表达式； （2）用描点法画出这条抛物线222153已知二次函数y=x x6，当x=时，y422最小=；当x时，y 随 x的增大而减小4抛物线 y=2x 向左平移 1 个单位，再向下平移3 个单位，得到的抛物线表达式为22111如图，已知二次函数y=2x bxc，图象过 a（3，6） ，并与 x 轴交于 b（1，0）和2点 c，顶点为 p（1）求这个二次函数表达式；（2）设 d 为线段 oc 上的一点，且满足dpc=bac，求 d 点坐标5二次函数 y=ax bxc 的图象如图所示，则 a

8、c 0 （填“” 、 “”或“=”） 。116已知点（1，y ） 、 （3，y ） 、 （，y ）在函数 y=3x 6x12 的图象上，则 y 、y 、22212312y3的大小关系是（）ay1y2y3 by2y1y3cy2y3y1 dy3y1y27二次函数 y=x bxc 的图象的最高点是（1，3） ，则 b、c 的值是（）ab=2，c=4 bb=2，c=4 cb=2，c=4 db=2，c=48如图，坐标系中抛物线是函数 y=ax bxc 的图象，则下列式子能成立的是（）aabc0 babc0 cbac d2c3b9函数 y=ax bxc 和 y=axb 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是

9、（）22212已知矩形的长大于宽的 2 倍，周长为 12，从它的一个点作一条射线将矩形分成一个三角1形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于设梯形的面积为 s，梯形2中较短的底的长为 x，试写出梯形面积关于 x 的函数表达式，并指出自变量 x 的取值范围- 3 - 3 -训练题训练题 b b：1抛物线 y=a（x2） （x5）与 x 轴的交点坐标为它的表达式为213已知二次函数 y=x mxm2求证：无论 m 取何实数，抛物线总与 x 轴有两个交点222已知抛物线的对称轴是 x=1，它与 x 轴交点的距离等于 4，它在 y 轴上的截距是6，则象限3若 a0，b0，c0，0，那么抛

10、物线 y=ax bxc 经过4抛物线 y=x 2x3 的顶点坐标是2214已知二次函数 y=x 2kxk k2（1）当实数 k 为何值时，图象经过原点？（2）当实数 k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？225若抛物线 y=2x （m3）xm7 的对称轴是 x=1，则 m=6抛物线 y=2x 8xm 与 x 轴只有一个交点，则 m=227已知抛物线 y=ax bxc 的系数有 abc=0，则这条抛物线经过点8二次函数 y=kx 3x4 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围9抛物线 y=x 222axa 的顶点在直线 y=2 上，则 a 的值是210抛物线 y=3x 5x 与两坐标轴交点的