土木工程测量第05章

1、第五章 测量误差理论 测量与观测值测量与观测值 观测观测与观测值的分类与观测值的分类 观测条件观测条件 等精度观测和不等精度观测等精度观测和不等精度观测 直接观测和间接观测直接观测和间接观测 观测和非独立观测观测和非独立观测第一节 观测误差一、测量误差的来源1测量仪器和工具2观测者3外界条件的影响 由于仪器和工具加工制造不完善或校正之后残余误差存在所引起的误差。 由于观测者感觉器官鉴别能力的局限性所引起的误差。 外界条件的变化所引起的误差。观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测。 观测条件相同的各次观测，称为等精度观测； 人、仪器和外界条件，通常称为观测条件。 在观测结果中，有时还会出现错

2、误，称之为粗差。 粗差在观测结果中是不允许出现的，为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取必要的检核措施。二二、测量误差的分类例：例： 误差误差 处理方法处理方法 钢尺尺长误差钢尺尺长误差 l ld d 计算改正计算改正 钢尺温度误差钢尺温度误差 l lt t 计算改正计算改正 水准仪视准轴误差水准仪视准轴误差I I 操作时抵消操作时抵消( (前后视等距前后视等距) ) 经纬仪视准轴误差经纬仪视准轴误差C C 操作时抵消操作时抵消( (盘左盘右取平均盘左盘右取平均) ) 2.系统误差系统误差 误差出现的大小、符号相同，或按误差出现的大小、符号相同，或按 规律性变化，具有规律性变化，具有积累性

3、积累性。 系统误差可以消除或减弱系统误差可以消除或减弱。 ( (计算改正、观测方法、仪器检校计算改正、观测方法、仪器检校) )测量误差分为：测量误差分为：粗差粗差、系统误差系统误差和和偶然误差偶然误差1.粗差粗差( (错误错误) )超限的误差超限的误差3.偶然误差偶然误差误差出现的大小、符号各不相同，误差出现的大小、符号各不相同， 表面看无规律性。表面看无规律性。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差， 导致观测值产生误差导致观测值产生误差 。 准确度(测量成果与真值的差异） 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值） 测量平差（求解最或是值并评定

4、精度）4.几个概念几个概念: : 精（密）度（观测值之间的离散程度）1系统误差 在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差出现的符号和大小均相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 系统误差在测量成果中具有累积性，对测量成果影响较大，但它的符号和大小又具有一定的规律性，一般可采用下列方法消除或减弱其影响。 （1）进行计算改正 （2）选择适当的观测方法 （3）检验校正仪器2偶然误差 在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果观测误差的符号和大小都不一致，表面上没有任何规律性，这种误差称为偶然误差。三、偶然误差的特性 偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是随着对同一量观测次数的

5、增加，大量的偶然误差就表现出一定的统计规律性，观测次数越多，这种规律性越明显。 例如，对三角形的三个内角进行测量，由于观测值含有偶然误差，三角形各内角之和l不等于其真值180。用X表示真值，则l与X的差值称为真误差（即偶然误差），即Xl 现在相同的观测条件下观测了217个三角形，计算出217个内角和观测值的真误差。再按绝对值大小，分区间统计相应的误差个数，列入表中。 偶然误差的统计偶然误差的统计* （1）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差个数多； （2）绝对值相等的正负误差的个数大致相等； （3）最大误差不超过27。*举例举例: : 在某测区，等精度观测了在某测区，等精度观测了358个三角形的

6、内个三角形的内 角之和，得到角之和，得到358个三角形闭合差个三角形闭合差 i i( (偶然误偶然误 差，也即真误差差，也即真误差) ) ，然后对三角形闭合差，然后对三角形闭合差 i i 进行分析。进行分析。 分析结果表明，分析结果表明，当观测次数很多时，偶然当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而而 且，观测次数越多，规律性越明显。且，观测次数越多，规律性越明显。用用频率直方图频率直方图表示的偶然误差统计：表示的偶然误差统计：频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近， 对称于对称于y轴

7、。轴。频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区 间的频率间的频率k/n，而所有条形的，而所有条形的总面积等于总面积等于1。各条形顶边中点各条形顶边中点连线经光滑后的曲连线经光滑后的曲线形状，表现出偶线形状，表现出偶然误差的普遍规律然误差的普遍规律 图6-1 误差统计直方图 0lim nn n 21偶然误差的四个特性：偶然误差的四个特性： （1）在一定观测条件下，偶然误差的绝对值有一定在一定观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出该限值的误差出现的概率为零；的限值，或者说，超出该限值的误差出现的概率为零； (有界性有界性) （2）

8、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；概率大； (趋向性趋向性) （3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同；绝对值相等的正、负误差出现的概率相同； (对对称性称性) （4）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数值，随着观测次数n n的无限增大而趋于零，的无限增大而趋于零， (抵偿性抵偿性)即即式中式中 偶然误差的代数和，偶然误差的代数和，* 偶然误差具有正态分布的特性偶然误差具有正态分布的特性当观测次数当观测次数n无限增多无限增多(n)、误差区间误差区间d d 无限缩小无限缩小( (d

9、 d 0)0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为这条曲线称为“正态分布曲正态分布曲线线”，又称为，又称为“高斯误差分高斯误差分布曲线布曲线”。所以偶然误差所以偶然误差具有具有正态分布正态分布的特性。的特性。图图6-1 误差统计直方图误差统计直方图第二节第二节 精度评定的标准精度评定的标准 在测量工作中，常采用以下几种标准评定测在测量工作中，常采用以下几种标准评定测量成果的精度。量成果的精度。中误差中误差 相对中误差相对中误差 极限误差极限误差*一、中误差一、中误差 设在相同的观测条件下，对某量进行设在相同的观测条件下，对某量进行n次重复观测

10、，次重复观测，其观测值为其观测值为l1，l2，ln，相应的真误差为相应的真误差为1，2，n。则观测值的中误差。则观测值的中误差m为：为： nm 式中式中 真误差的平方和，真误差的平方和， 22221n 例例5-1 设有甲、乙两组观测值，各组均为等精度观测，设有甲、乙两组观测值，各组均为等精度观测，它们的真误差分别为：它们的真误差分别为： 甲组：甲组：1,3,2,3,4,0 ,2,4,2,3 乙组：乙组：1,3,0 ,8,1,1,2,7,1,0 试计算甲、乙两组各自的观测精度。试计算甲、乙两组各自的观测精度。解解: : 1013234024232222222222 甲甲m7 . 2 101308

11、1127102222222222 乙乙m6 . 3 中误中误差所代表差所代表的是某一的是某一组观测值组观测值的精度。的精度。 m1小于小于m2, ,说明第一组观测值的误差分布比较说明第一组观测值的误差分布比较集中集中， 其其精度较高精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比；相对地，第二组观测值的误差分布比 较较离散，离散，其其精度较低：精度较低： m1= 2.7 是第一组观测值的中误差；是第一组观测值的中误差； m2= 3.6 是第二组观测值的中误差。是第二组观测值的中误差。mDDmmK1 二、相对中误差二、相对中误差 相对中误差是中误差的绝对值与相应观测结果相对中误差是中误差的绝对值与相应

12、观测结果之比，并化为分子为之比，并化为分子为1的分数，即的分数，即 例例 丈量两段距离，丈量两段距离，D1=100m，m1=1cm和和D2=30m，m2=1cm， 试计算两段距离的相对中误差。试计算两段距离的相对中误差。100001m100m01. 0111 DmmK30001m30m01. 0222 DmmK解解m2允m3允三、极限误差三、极限误差 在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值，称为极限误差，也称限差或容许误差。过的限值，称为极限误差，也称限差或容许误差。或或 如果某个观测值的偶然误差超过了容许误差，就如果某个观测值的偶然误差超过了

13、容许误差，就可以认为该观测值含有粗差，应舍去不用或返工重可以认为该观测值含有粗差，应舍去不用或返工重测。测。 根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d 内的概内的概率为：率为：demdfPm22221)()(误差出现在误差出现在K倍倍中误差区间内的中误差区间内的概率为：概率为：kmkmmdemkmP22221)( 将将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率： P(| | m)=0.683=68.3 出现机会出现机会（ 31.7%

14、） P(| | 2m)=0.954=95.4 出现机会出现机会（4.6%） P(| | 3m)=0.997=99.7 出现机会出现机会（0.3%）测量中，测量中，一般取一般取两倍中误差两倍中误差(2m)作为作为容许误差容许误差，也称为，也称为限差：限差：| 容容|=2|m|或或 |=3|m|一一.一般函数的中误差一般函数的中误差令 的系数为 ， (c)式为：ixiixFf由于 和 是一个很小的量，可代替代替上式中的 和 ： ixidxdznnxxFxxFxxF2211(c)代入(b)得对(a)全微分：nndxxFdxxFdxxFdZ2211(b)设有函数：),(21nxxxFZ为独立独立观测值

15、ix设 有真误差 ，函数 也产生真误差ixixZ(a)第三节第三节 观测值函数的中误差观测值函数的中误差 （误差传播定律）（误差传播定律）)()(22)(11)()2()2(22)2(11)2() 1 () 1 (22) 1 (11) 1 (knnkkknnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf对Z观测了k次，有k个式(d)对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1n且ij）jijinnxxffxxffxxffxfxfxf2223131212122222221212(e)对K个(e)式取总和：njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)njijijijinnx

16、xffxfxfxf1,222222212122(f)(f)式两边除以K，得(g)式：(g)njijijijinnKxxffKxfKxfKxfK1,222222212122由偶然误差的抵偿性知：0limnxxjin(g)式最后一项极小于前面各项，可忽略不计，则：则：前面各项KxfKxfKxfKnn22222221212即即22222221212xnnxxzmfmfmfm(h)22222221212xnnxxzmfmfmfm(h)考虑考虑 ，代入上式，得中误差关系式：，代入上式，得中误差关系式：iixFf2222222121nnZmxFmxFmxFm(6-10)上式为上式为一般函数的中误差公式一般

17、函数的中误差公式，也称为，也称为误差传播定律误差传播定律。 通过以上误差传播定律的推导，我们通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结出可以总结出求观测值函数中误差的步骤求观测值函数中误差的步骤： 1.列出函数式；列出函数式； 2.对函数式求全微分；对函数式求全微分； 3.套用误差传播定律，写出中误差式。套用误差传播定律，写出中误差式。 1.倍数函数的中误差 设有函数式 (x为观测值，K为x的系数) 全微分 得中误差式xxZKmmKmKdxdZKxZ22例：例：量得 地形图上两点间长度 =168.5mm0.2mm, 计算该两点实地距离S及其中误差ms：l1000:1m2 . 0m5 .168m2

18、 . 0mm2002 . 01000100010001000SmmddlSlSlS解：解：列函数式 求全微分 中误差式二二 .几种常用函数的中误差几种常用函数的中误差 2.线性函数的中误差线性函数的中误差 设有函数式 全微分 中误差式nnxkxkxkZ2211nndxkdxkdxkdz22112222222121nnZmkmkmkm例：例：设有某线性函数设有某线性函数 其中其中 、 、 分别为独立观测值，它们的中误差分分别为独立观测值，它们的中误差分 别为别为 求Z的中误差 。 314121491144xxxZ321xxxmm6,mm2,mm3321mmmZm314121491144dxdxd

19、xdzmm6 . 1623214121492144233222211xxxZmfmfmfm解：解：对上式全微分：由中误差式得： 函数式 全微分 中误差式 nnnnnllllx12111lnnlnlnddddx1211121221211222nnnnxmmmm3.算术平均值的中误差式算术平均值的中误差式 由于等精度观测时， ，代入上式： 得mmmmn21nmmnnmX221n 由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了缩小了 倍。 对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均， 是提高观测成果精度最有效的方法。4.和或差函数的中误差和或差函数的中误差 函数式： 全微分： 中误差式：nxxxZ

20、21ndxdxdxdz2122221nZmmmm当等精度观测时： 上式可写成：mmmmmn321nmmZ例：例：测定A、B间的高差 ，共连续测了9站。设测量 每站高差的中误差 ，求总高差 的中 误差 。 解：解： ABhmm2mhmABh921hhhhABmm692nmmh观测值函数中误差公式汇总 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差一般函数倍数函数 和差函数 线性函数 算术平均值 ),(21nxxxFZ2222222121nnZmxFmxFmxFmxxZKmmKmKxZ22nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmk

21、mnnnnnllllx12111nmmX 观测值的算术平均值观测值的算术平均值(最或是值) 用观测值的改正数用观测值的改正数v计算观测值的计算观测值的 中误差中误差 (即:白塞尔公式) 算术平均值的相对中误差算术平均值的相对中误差 第四节第四节 等（同）精度直接观测平差等（同）精度直接观测平差 一一. .观测值的观测值的算术平均值算术平均值(最或是值、最可靠值) 证明算术平均值为该量的最或是值： 设该量的真值为X，则各观测值的真误差为 1= 1- X 2= 2- X n= n- X对某未知量未知量进行了n 次观测，得n个观测值1,2,n,则该量的算术平均值为：x= =1+2+nnn上式等号两边

22、分别相加得和： lnX L= nlnlllLn21 nXl 当观测无限多次时：nlXnnnlimlim得Xnlnlim两边除以n：由 lnX nlXn当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该 量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均 值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。L X nXl XLXnln 0)(limlimXLnnn观测值改正数特点二二. .观测值的改正数观测值的改正数v ： 以算术平均值为最或是值，并据此计算各观测值的改正数 v ，符合vv=min 的“最小二乘原则”。Vi = L - i (i=1,2,n)特点特点1 改正数总和为零：改正数总和为零：对上式取和：以

23、代入：通常用于计算检核L= nv=nL- nv =n -=0v =0特点特点2 vv符合符合“最小二乘原则最小二乘原则”：则即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvv dx(x-)=0nx-=0 x= n精度评定 比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，1nvvnnmnvvm1即在 与 中：精度评定精度评定用观测值的改正数v计算中误差1nvvm一.计算公式(即白塞尔公式)：1nvvn证明如下：证明如下：nnnnlxvlXlxvlXlxvlX22221111真误差：真误差：改正数：改正数：证明两式根号内相等XlXlXlnn2211nnlLvlLvlLv2211iiiivXLv对

24、上式取n项的平方和 vvvn22由上两式得其中: 0lnLv证明两式根号内相等 222222)(nnXlnnXnlXL njijijinn1,2222122122)( 02222nn vvnvvvn222nvvnn21nvvn中误差定义:nm白塞尔公式:1nvvm解：解：该水平角该水平角真值未知真值未知，可用，可用算术平均值的改正数算术平均值的改正数V V计计 算其中误差：算其中误差：例：例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表， 求其算术平均值及观测值的中误差。算例1:98315601 .nVVm4715983 .nmM76 4245 1.74 例例5-2 某一段距离共丈量了六次，结果

25、如表下所示，求算术某一段距离共丈量了六次，结果如表下所示，求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。148.643148.590148.610148.624148.654148.647 m628.148 nlL148.628 1 nvvm-15+38+18+4-26-19 0 v 1 nnvvM2251444324166763613046163046 mm7 .24 )16(63046 mm1 .10 DMK m628.148m0101. 0 147161 返回返回距离丈量精度计算例算例算例3：对某距离用精密量距方法丈量六次，求对

26、某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离的算术该距离的算术 平均值平均值 ； 观测值的中误差观测值的中误差 ； 算术平均值的中误算术平均值的中误 差差 ； 算术平均值的相对中误差算术平均值的相对中误差 ：xxmMxM /凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。第五节第五节 误差传播定律的应用误差传播定律的应用 用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 m m1515 。例例1：要求三角形最大闭合差m15 ，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ 123=(1+2+3)-180解：解：由题意：2m= 15,则 m= 7.5每个角的测角中误差：3

27、 . 435 . 7m测回即43 . 45 . 8,5 . 83 . 4,22nnnmmx由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：5 . 826m3 . 435 . 7 xm误差传播定律的应用误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。 解:(1)测量水平距离的精度 基本公式： 2cosKlD 求全微分： dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2水平距离中误差： 22222)2sin()cos( mKlmKmlD)206265( 其中： 误差传播定律的应用误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。 解: (2)测量

28、高差的精度 基本公式： 求全微分： dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2高差中误差： 2222)2cos(2sin21 mKlmKmlh2sin21Klh )206265( 其中： 误差传播定律的应用误差传播定律的应用例3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为 求该正方形的周长S和面积A的中误差.解: (1)周长 , lml (2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中: 求该正方形的周长S和面积A的中误差.iliml lllllmmmmmlllll43214321且lS4lSmm4 面积 , 2lA lAlmm2 周长的中误差为 dldS4全微分:面积的中误差为 全微分:ldl

29、dA2解:(1)周长和面积的中误差分别为 例3:(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中: 求该正方形的周长S和面积A的中误差.iliml lllllmmmmmlllll43213321且lSmm4lAlmm2 (2)周长 ;周长的中误差为 lllllS44321 面积llllllSmmmmmmm24222224321 得周长的中误差为 2243214LllllA全微分:432141414141dldldldldL 但由于LdLdA2llllllAlmmLmLmLmLmLm22222222224422224321第六节第六节 不等（同）精度直接观测平差不等（同）精度直接观测平差一、权的概念一

30、、权的概念 权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。1 权的定义：权的定义：设一组不同精度的观测值为设一组不同精度的观测值为l i ,其中误差为其中误差为mi(I=1,2n)，选定任一大于零的常数选定任一大于零的常数，则定义权为则定义权为： 2iimP称称Pi为观测值为观测值l i 的权。的权。1 权的定义：权的定义：对于一组已知中误差对于一组已知中误差mi的观测值而言，选定一个的观测值而言，选定一个大于零的常数大于零的常数值，就有一组对应的权；由此可值，就有一组对应

31、的权；由此可得各观测值权之间的比例关系：得各观测值权之间的比例关系：2iimP2222122221211:1:1:nnimmmmmmPPP2 权的性质权的性质（1 1）权表示观测值的相对精度；（）权表示观测值的相对精度；（2 2）权与中误差）权与中误差的平方成反比，权始终大于零，权大则精度高；的平方成反比，权始终大于零，权大则精度高；（3 3）权的大小由选定的）权的大小由选定的值确定，但测值权之间值确定，但测值权之间权的比例关系不变，同一问题仅能选定一个权的比例关系不变，同一问题仅能选定一个值。值。二、测量中常用的定权方法二、测量中常用的定权方法1 同精度观测值的权同精度观测值的权对于一组同精度观测值对于一组同精度观测值l i ，一次观测的中误差为，一次观测的中误差为m，由权的定义，选定由权的定义，选定= m2，则一次观测值的权为：，则一次观测值的权为：1222mmmPn次同精度观测值的次同精度观测值的算术平均值算术平均值的中