数列求和的几种方法的PPT课件

1、四、裂项求和法四、裂项求和法二、倒序相加法二、倒序相加法 三、错位相减法三、错位相减法五、分组求和法五、分组求和法一、直接求和法一、直接求和法第1页/共20页1 等差数列求和公式：（1）Sn=n(a1+an)/2(2) Sn=na1+n(n-1)d/22 等比数列求和公式：(1) Sn=1-qa1(1-qn)q1 q1 (2) Sn=1-qa1-anq 当q=1时,Sn=na1第2页/共20页 练习: 求和1. 1+2+3+n + +（n+1n+1） 答案: Sn=（n+2)(n+1)/22. 2+4+8+2n 答案: Sn=2n+1-2方法一：直接求和法（公式法）第3页/共20页二、倒序相加

2、法二、倒序相加法如果一个数列如果一个数列 a an n ，与首末，与首末两项等距的两项之和等于首两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒和，这一求和的方法称为倒序相加法序相加法. . 第4页/共20页三、错位相减法：三、错位相减法：如果一个数列的各项是由一如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法可采用错位相减法. .第5页/共20页例1 求数列 x,

3、 2x2,3x3, nxn， 的前n项和。 解：当x=0时 Sn=0当x=1时 Sn=1+2+3+ n=n(n+1)/2当x1时 Sn=x+ 2x2+3x3+ + nxn xSn= x2 +2x3+3x4 + (n-1)xn +nxn +1 得：(1-x)Sn=x+ x2+x3+ +xn - nxn +1 化简得： Sn =x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x) 第6页/共20页 0 (x=0) 综合得 Sn= n(n+1)/2 (x=1) x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x) (x1）第7页/共20页小结 1:“错位相减法”求和,常应

4、用于通项型如anbn的数列求和,其中an为等差数列, bn 为等比数列.第8页/共20页练习 1求和: 1/2+2/4+3/8+n/2n 方法:可以将等式两边同时乘以2或1/2,然后利用“错位相减法”求和.第9页/共20页四、裂项求和法：四、裂项求和法：把数列的通项拆成两项之差，把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前些正负项相互抵消，于是前n n项的和变成首尾若干少数项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称项之和，这一求和方法称 为裂向求和法为裂向求和法. . 第10页/共20页例2

5、：求和Sn=125 +158 +181 1 + +1(3n-1) (3n+2) 解：数列的通项公式为an=1(3n-1) (3n+2) =13 (13n-1 -13n+2 )Sn=13 (12 -15 +15 -18 +18 -111 +13n-4 - 13n-1 +13n-1 -13n+2 )第11页/共20页小结2：本题利用的是“裂项法”，此法常用于形如1/f(n)g(n)的数列求和，其中f(n),g(n)是关于n（nN)的一次函数。把数列中的每一项都拆成两项的差，从而产生一些可以相消的项，最后剩下有限的几项。方法：对裂项公式的分析，通俗地说，裂项，裂什麽？此方法应注意：裂通项第12页/共

6、20页nnsa求已知,21nn11111-nnnn1211212112121nnnn2111121211nnnnnnn第13页/共20页五、分组求和法：五、分组求和法：求和方法称为分组求和法把求和方法称为分组求和法把数列的每一项分成两项，或数列的每一项分成两项，或把数列的项把数列的项“集集”在一块重在一块重新组合，或把整个数列分成新组合，或把整个数列分成两部分，使其转化为等差或两部分，使其转化为等差或等比数列，这一方法叫分组等比数列，这一方法叫分组求和法。求和法。 第14页/共20页例 3：求和1+(1+12 )+(1+12 +14 )+(1+12 +14 +12n-1 )解：an=1+12

7、+14 +12n-1 =1（1-12n ）1-12 =2-12n-1 Sn=(2-120 )+(2-121 )+(2-122 )+(2-12n-1 ) =2n-( 120 +121 +122 +12n-1 )=2n-1（1-12n ）1-12 =2n+12n-1 2第15页/共20页小结 3：本题利用的是“分组求和法”方法：把数列的通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列，再根据公式进行求和。第16页/共20页练习3：若数列an中，an= -2 n - (-1)n ，求S10和S99 分析：利用分组求和法第17页/共20页总结： 直接求和（公式法）等差、或等比数列用求和公式，常数列直接运算。倒序相加法类比等差数列的求和方法。错位相减法数列 anbn的求和，其中an是等差数列，bn是等比数列。裂项法分组求和法把通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列进行求