数字信号处理西安电子高西全课后习题答案PPT课件

1、解： x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+(n1)+2(n2)+4(n3)+0.5(n4)+2(n6)2 给定信号： 2n+54n160n40 其它(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值； (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；(x(n)=第1页/共445页（3） 令x1(n)=2x(n2)， 试画出x1(n)波形； （4） 令x2(n)=2x(n+2)， 试画出x2(n)波形； （5） 令x3(n)=x(2n)， 试画出x3(n)波形。 解： (1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。 (2) x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)

2、+3(n+1)+6(n) +6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4)4014)(6)()52(mmmnmnm第2页/共445页（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（二）所示。 (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（三）所示。 (5) 画x3(n)时， 先画x(n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180)， 然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图（四）所示。 第3页/共445页题2解图（一）第4页/共445页题2解图（二）第5页/共445页题2解图（三）第6页/共445页题2解图（四）

3、第7页/共445页3 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 是常数AnAnx 873cos)()81( je)(nnx(1)(2)解： （1） 因为=, 所以, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T=14。（2） 因为=, 所以=16, 这是无理数， 因此是非周期序列。738123142第8页/共445页4 对题1图给出的x(n)要求： (1) 画出x(n)的波形； (2) 计算xe(n)=x(n)+x(n)， 并画出xe(n)波形； (3) 计算xo(n)= x(n)x(n)， 并画出xo(n)波形; (4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 将x1(n)与x(n

4、)进行比较， 你能得到什么结论？2121第9页/共445页解：（1） x(n)的波形如题4解图（一）所示。(2) 将x(n)与x(n)的波形对应相加， 再除以2， 得到xe(n)。 毫无疑问， 这是一个偶对称序列。 xe(n)的波形如题4解图（二）所示。 (3) 画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。第10页/共445页题4解图（一）第11页/共445页题4解图（二）第12页/共445页题4解图（三）第13页/共445页(4) 很容易证明： x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。 偶对称序列可以用题中(2)的公式计算， 奇对称序列可

5、以用题中(3)的公式计算。 5 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(nn0)n0为整常数 （4）y(n)=x(n)第14页/共445页（5）y(n)=x2(n) （6）y(n)=x(n2) （7）y(n)= （8）y(n)=x(n)sin(n)解： （1） 令输入为x(nn0)输出为 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02) y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n)nm

6、mx0)(第15页/共445页故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1) +3ax1(n2)+bx2(n2) Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2) Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2)所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是线性系统。第16页/共445页（2） 令输入为x(nn0)输出为y(n)=2x(nn0)+3y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n)故该系统是非时变的。 由于Tax1(n)+bx2(n)=2a

7、x1(n)+2bx2(n)+3Tax1(n)=2ax1(n)+3Tbx2(n)=2bx2(n)+3Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是非线性系统。第17页/共445页(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为x(nn1)输出为y(n)=x(nn1n0)y(nn1)=x(nn1n0)=y(n)故延时器是非时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0)=aTx1(n)+bTx2(n)故延时器是线性系统。第18页/共445页(4) y(n)=x(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(n+n0)y(n

8、n0)=x(n+n0)=y(n)因此系统是线性系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)因此系统是非时变系统。第19页/共445页（5） y(n)=x2(n)令输入为 x(nn0)输出为y(n)=x2(nn0)y(nn0)=x2(nn0)=y(n)故系统是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2 aTx1(n)+bTx2(n) =ax21(n)+bx22(n)因此系统是非线性系统。第20页/共445页（6） y(n)=x(n2)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0)2)y(nn0)=x(n

9、n0)2)=y(n)故系统是非时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n2)+bx2(n2)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。第21页/共445页（7） y(n)=x(m)令输入为x(nn0)输出为 y(n)=0DD)x(m-n0)y(nn0)=x(m)y(n)故系统是时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(m)+bx2(m)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。nm 0nm 000nnmnm 0第22页/共445页（8） y(n)=x(n) sin(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0) sin(n)y(nn0)=x(nn

10、0) sin(nn0)y(n)故系统不是非时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n) sin(n)+bx2(n) sin(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。第23页/共445页6 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。 （1） y(n)=x(nk) （2） y(n)=x(n)+x(n+1) （3） y(n)= x(k) （4） y(n)=x(nn0) （5） y(n)=ex(n)101NkN00nnnnk第24页/共445页解：（1）只要N1， 该系统就是因果系统， 因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。 如果|x(n)

11、|M， 则|y(n)|M， 因此系统是稳定系统。（2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以后（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|M, 则|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M, 因此系统是稳定系统。（3） 如果|x(n)|M， 则|y(n)|x(k)|2n0+1|M， 因此系统是稳定的； 假设n00， 系统是非因果的， 因为输出还和x(n)的将来值有关。 00nnnnk第25页/共445页m（4）假设n00， 系统是因果系统， 因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|M， 因此系统是稳定的。（5） 系统是因果系统， 因为系统的

12、输出不取决于x(n)的未来值。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM， 因此系统是稳定的。7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示， 要求画出y(n)输出的波形。解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)=x(m)h(nm)第26页/共445页题7图第27页/共445页y(n)=2,1,0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5第28页/共445页解法（二）采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3)h(n

13、)=2(n)+(n1)+ (n2)由于x(n)*(n)=x(n)x(n)*A(nk)=Ax(nk)故21第29页/共445页y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*2(n)+(n1)+ (n2) =2x(n)+x(n1)+x(n2)将x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2) +4.5(n3)+2(n4)+(n5)2121第30页/共445页8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况， 分别求出输出y(n)。 （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n)（2） h(n)=2R4(n), x(n

14、)=(n)(n2)（3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n)解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(nm) 先确定求和域。 由R4(m)和R5(nm)确定y（n）对于m的非零区间如下:0m34mnm第31页/共445页根据非零区间， 将n分成四种情况求解： n7时， y(n)=0nm 034nm第32页/共445页最后结果为 0 n7 n+1 0n3 8n4n7y(n)的波形如题8解图（一）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*(n)(n2)=2R4(n)2R4(n2) =2(n)+(n1)(n+4)(n+5)y(n)的波形如题8解图（二）所示y(n)=第3

15、3页/共445页题8解图（一）第34页/共445页 题8解图（二）第35页/共445页(3) y(n)=x(n)*h(n) = R5(m)0.5nmu(nm)=0.5nR5(m)0.5mu(nm)y（n）对于m 的非零区间为 0m4, mn n0时， y(n)=0 0n4时， mm第36页/共445页nmnmnny0115 . 015 . 015 . 05 . 0)(=(10.5n1)0.5n=20.5n n5时nnmmnny5 . 0315 . 05 . 015 . 015 . 05 . 0)(4015最后写成统一表达式： y(n)=(20.5n)R5(n)+310.5nu(n5)第37页/

16、共445页9 证明线性卷积服从交换律、 结合律和分配律， 即证明下面等式成立： （1） x(n)*h(n)=h(n)*x(n)（2） x(n)*(h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n)（3） x(n)*(h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)证明： （1） 因为令m=nm, 则mmnhmxnhnx)()()()()()()()()()(nxnhmhmnxnhnxm第38页/共445页(2) 利用上面已证明的结果， 得到)()()()()()()()()()()()(12121221kmnhkhmxmnhmnhmxnhnhnxnhnhnxmkm第3

17、9页/共445页交换求和号的次序， 得到)()( )()()()()()()(121221knhknxkhkmnhmxkhnhnhnxkmk)()()(12nhnxnh)()()(21nhnhnx第40页/共445页)()()()()()()()()()()()()()( )3(21212121nhnxnhnxmnhmxmnhmxmnhmnhmxnhnhnxmmm10 设系统的单位脉冲响应h(n)=(3/8)0.5nu(n)， 系统的输入x(n)是一些观测数据， 设x(n)=x0, x1, x2, , xk, ， 试利用递推法求系统的输出y(n)。 递推时设系统初始状态为零状态。第41页/共4

18、45页解： 5 . 083)(5 . 083)()()(0mnnmmmnmmxmnuxnhnxnyn=0时， n0083)( xnyn=1时， )5 . 0(835 . 083)( 10110 xxxnymmm第42页/共445页)5 . 05 . 0(835 . 083)( 2102220 xxxxnymmmn=2时， 最后得到nmmnmxny05 . 083)(11 设系统由下面差分方程描述： ) 1(21)() 1(21)(nxnxnyny设系统是因果的， 利用递推法求系统的单位脉冲响应。第43页/共445页解： 令x(n)=(n), 则) 1(21)() 1(21)(nnnhnhn=0

19、时， 1) 1(21)0() 1(21)0(hhn=1时， 12121)0(21) 1 ()0(21) 1 (hh第44页/共445页n=2时， 21) 1 (21)2(hhn=3时， 221)2(21) 3(hh归纳起来， 结果为)() 1(21)(1nnunhn第45页/共445页12. 设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述， 初始条件y(-1)=0， 试分析该系统是否是线性非时变系统。 解： 分析的方法是让系统输入分别为(n)、 (n1)、 (n)+(n1)时， 求它的输出， 再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。 （1） 令x(n)=(n), 这时系统的输出用y1(

20、n)表示。)() 1()(11nnayny该情况在教材例1.4.1 中已求出， 系统的输出为y1(n)=anu(n)第46页/共445页(2) 令x(n)=(n1)， 这时系统的输出用y2(n)表示。 ) 1() 1()(22nnaynyn=0时， 0) 1() 1( )0( 22yayn=1时， 1)0()0( ) 1 (22yayn=2时， ayay) 1 () 1 ( )2(2212)(nany任意 n 时， 第47页/共445页最后得到) 1()( 12nuanyn(3) 令x(n)=(n)+(n1), 系统的输出用y3(n)表示。 ) 1()() 1()(33nnnaynyn=0时，

21、 n=1时， 1) 1()0() 1( )0(33yay1)0() 1 ()0( ) 1 (33ayayn=2时， 233)1 () 1()2() 1 ( )2(aaaayay第48页/共445页n=3时， 任意 n 时， 32233)()2()3()2( )3(aaaaayay13)( nnaany最后得到)() 1()(13nuanuanynn第49页/共445页由（1）和（2）得到y1(n)=T(n), y2(n)=T(n1)y1(n)=y2(n1)因此可断言这是一个时不变系统。 情况（3）的输入信号是情况（1）和情况（2）输入信号的相加信号， 因此y3(n)=T(n)+(n1)。 观察

22、y1(n)、 y2(n)、 y3(n)， 得到y3(n)=y1(n)+y2(n)， 因此该系统是线性系统。 最后得到结论： 用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n), 0a1描写的系统， 当初始条件为零时， 是一个线性时不变系统。 第50页/共445页13 有一连续信号xa(t)=cos(2ft+j)， 式中， f=20 Hz, j=/2。（1） 求出xa(t)的周期；（2） 用采样间隔T=0.02 s对xa(t)进行采样， 试写出采样信号 的表达式；（3） 画出对应 的时域离散信号（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。 解： （1） xa(t)的周期为)(txa)(txas 05

23、. 01fT第51页/共445页)( )40cos()()2cos()(nTtnTnTtfnTtxnnajj（2）（3） x(n)的数字频率=0.8， 故， 因而周期N=5， 所以 x(n)=cos(0.8n+/2)画出其波形如题13解图所示。252第52页/共445页题13解图第53页/共445页14. 已知滑动平均滤波器的差分方程为)4()3()2() 1()(51)(nxnxnxnxnxny（1） 求出该滤波器的单位脉冲响应；（2） 如果输入信号波形如前面例1.3.4的图1.3.1所示， 试求出y(n)并画出它的波形。解： （1） 将题中差分方程中的x(n)用(n)代替， 得到该滤波器的

24、单位脉冲响应， 即)4()3()2() 1()(51)(nnnnnnh第54页/共445页（2） 已知输入信号， 用卷积法求输出。 输出信号y(n)为kknhkxny)()()(表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。 计算时， 表中x(k)不动， h(k)反转后变成h(k)， h(nk)则随着n的加大向右滑动， 每滑动一次， 将h(nk)和x(k)对应相乘， 再相加和平均， 得到相应的y(n)。 “滑动平均”清楚地表明了这种计算过程。 最后得到的输出波形如前面图1.3.2所示。 该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化， 使波形变化缓慢。 第55页/共445页第56页/共445页

25、15*. 已知系统的差分方程和输入信号分别为)2(2)() 1(21)(nxnxnyny 1 , 2 , 4 , 3 , 2 , 1 )(nx用递推法计算系统的零状态响应。 解： 求解程序ex115.m如下： %程序ex115.m% 调用filter解差分方程y(n)+0.5y(n1)=x(n)+2x(n2)xn=1， 2， 3， 4， 2， 1， zeros(1， 10)； %x(n)=单位脉冲序列， 长度N=31B=1， 0， 2； A=1， 0.5； %差分方程系数第57页/共445页yn=filter(B， A， xn) %调用filter解差分方程， 求系统输出信号y(n)n=0：

26、length(yn)1； subplot(3， 2， 1)； stem(n， yn， .) ； axis(1， 15， 2， 8)title(系统的零状态响应 )； xlabel(n)； ylabel(y(n)程序运行结果： 第58页/共445页yn =1.0000 1.5000 4.2500 5.8750 5.0625 6.4688 0.7656 1.6172 -0.8086 0.4043 -0.2021 0.1011 -0.0505 0.0253 -0.0126 0.0063 -0.0032 0.0016 -0.0008 0.0004 -0.0002 0.0001 -0.0000 0.00

27、00 -0.0000 0.0000程序运行结果的y(n)波形图如题15*解图所示。第59页/共445页题15*解图第60页/共445页16*. 已知两个系统的差分方程分别为 （1）y(n)=0.6y(n1)0.08y(n2)+x(n) （2）y(n)=0.7y(n1)0.1y(n2)+2x(n)x(n2)分别求出所描述的系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。 解： （1） 系统差分方程的系数向量为B1=1， A1=1， 0.6， 0.08（2） 系统差分方程的系数向量为B2=2， 0， 1, A2=1， 0.7， 0.1第61页/共445页2.5习题与上机题解答习题与上机题解答1 设X(ej)和Y

28、(ej)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换， 试求下面序列的傅里叶变换： (1) x(nn0) (2) x*(n)(3) x(n) (4) x(n)*y(n)(5) x(n)y(n) (6) nx(n)(7) x(2n) (8) x2(n)奇数偶数nnnxnx 0 )2/()(9(9)第62页/共445页解：（1） nnnnxnnxj00e )()(FT令n=nn0, 即n=n+n0， 则)e (e )()(FTjj)(j000Xenxnnxnnnn（2）)e (e )(e )()(FTjjjXnxnxnxnnnn第63页/共445页（3） nnnxnxje )()(FT令n=n， 则)e

29、(e )()(FTjjXnxnxnn（4） FTx(n)*y(n)=X(ej)Y(ej) 下面证明上式成立： mmnymxnynx)()()()(第64页/共445页mnnmnymxnynxje)()()()(FT令k=nm, 则)e ()e (e )(e )(ee)()()()(FTjjjjjjyxmxkykymxnynxmnkkmnkk第65页/共445页（5） nnnnnYnxnynxnynxjjjjede )e (21)( e )()()()(FT)( j)( jd)e ()e (21de )()e (21XYnxYjnnj第66页/共445页或者 )( jjd)e ()e (21)(

30、)(FTYXnynx（6） 因为nnnxXjje )()e (对该式两边求导， 得到)(jFTe )(jd)e (dnnxnnxXnnjj第67页/共445页因此d)e (dj)(FTjXnnx（7） nnnxnxje)2()2(FT令n=2n， 则第68页/共445页)(e)e (21)(ee )(21e)() 1()(21e )()2(FT)(21j21j21j21j21j， 2/jXXenxnxnxnxnxnxnnnjnnnnnnnn取偶数第69页/共445页或者)e()e (21)2(FT21j21jXXnx（8） nnnxnxj22e )()(FT利用（5）题结果， 令x(n)=y(

31、n), 则d)e ()e (21)e ()e (21)(FTjjjj2XXXXnx第70页/共445页（9）nnnxnxje )2/()2/(FT令n=n/2， 则)e (e )()2/(FT2 j2 jXnxnxnn2 已知 |, 0|, 1)e (00jX求X(ej)的傅里叶反变换x(n)。 第71页/共445页解： nnnxnsinde21)(0j003. 线性时不变系统的频率响应（频率响应函数）H(ej)=|H(ej)|ej()， 如果单位脉冲响应h(n)为实序列， 试证明输入x(n)=A cos(0n+j)的稳态响应为)(cos| )e (|)(00j0jnHAny第72页/共445

32、页解解： 假设输入信号x(n)=ej0n，系统单位脉冲响应为h(n)， 则系统输出为nmmnmmnHmhmhnxnhny00000jjjj)(je )e (e )(e e )()()()(上式说明当输入信号为复指数序列时， 输出序列仍是复指数序列， 且频率相同， 但幅度和相位取决于网络传输函数。 利用该性质解此题：第73页/共445页)cos()(0jnAnxeeee 21jjjj00jjnnA)(jjjj)(jjjjjjjjjj0000000000e)e (eee)e (e21)e (ee)e (ee 21)(jjjjHHeAHHAnynnnn第74页/共445页上式中|H(ej)|是的偶函

33、数， 相位函数是的奇函数， |H(ej)|=|H(e-j)|， ()=(), 故)(cos()e (eeeeee)e (21)(00j)(j)(jjj000000jjjnHAHAnynjjnj4设其它01 . 01)(nnx第75页/共445页将x(n)以4为周期进行周期延拓， 形成周期序列， 画出x(n)和的波形， 求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。)(nx)(nx)(nx)(kX解： 画出x(n)和的波形如题4解图所示。 )(nx为周期以4) ( e)4cos(2)ee (ee1ee )()(DFS)(4j4j4j4j2j102j42j30kXknxnxkXkkkkknknknn第76页/

34、共445页 题4解图第77页/共445页或者 为周期以4)( 41sin21sine )e(ee)ee (ee1e1e)(4141j41j41j21j21j21j2j102jkXkkkXkjkkkkkkkkjnkn第78页/共445页)2( e )4cos()2( )(2)42()(42)(FT)e (4jjkkkkXkkXnxXkkkk第79页/共445页5. 设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ej)表示， 不直接求出X(ej)， 完成下列运算或工作：题5图第80页/共445页)e (0 jX(1)(2)jd)e (X(3)e (jX(4) 确定并画出傅里叶变换实部ReX(ej)的时间序

35、列xa(n)；2jd| )(e|X(5)(6)d|d)e (d|2jX第81页/共445页解(1)6)()e (730 jnnxX(2)42)0(d)e (jxX(3)2)() 1(e )()e (73jjnnnnnxnxX（4） 因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分， 即nnjnxeXRjeee )()()()(21)(enxnxnx第82页/共445页按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示。题5解图第83页/共445页(5)28)(2d)e (7322njnxX(6) 因为)(jFTd)e (djnnxX因此316)(2dd)e (d7322jnnnxX第84页/共445页6 试

36、求如下序列的傅里叶变换：(1) x1(n)=(n3)(2) 1(21)() 1(21)(2nnnnx(3) x3(n)=anu(n)0a1(4) x4(n)=u(n+3)u(n4)解解(1)3jjj1ee)3()e (nnnX第85页/共445页(2)cos1)ee (211 e211e21e )()e (jjjjj2j2nnnxX(3)j0jjj3e11e e )()e (aanuaXnnnnnn第86页/共445页(4)33jjj4ee )4()3()e (nnnnnunuXjj3 jj4j31j30j31j30jee1e1e1e1eeeennnnnnnn)21sin()27sin(e)e

37、e (e)ee (eee1e1e1eee1e1e1e13j21j21j21j27j27j27j3 jj7 jj4 j3 jj3jj4 j第87页/共445页或者: )3()4()3()(73nRnununxnnnRXj7j4e )3()e (j7 j60j7e1e1e)(FTnnnRnnnRXj7j4e )3()e (3 jj7 jee1e1)21sin()27sin()ee (e)ee (ee)ee (e)ee (e2j2j2j27j27j2j3 j2j2j227j2727jjj第88页/共445页7 设： （1） x(n)是实偶函数， （2） x(n)是实奇函数， 分别分析推导以上两种假设

38、下， 其x(n)的傅里叶变换性质。 解解：令nnnxXjje )()e (1) 因为x(n)是实偶函数， 对上式两边取共轭， 得到)e (e)(e)()e (j)( jjjXnxnxXnnnn第89页/共445页因此 X(ej)=X*（ej）上式说明x(n)是实序列， X(ej)具有共轭对称性质。 nnnnxnxXsinj)cos(e )()e (jj由于x(n)是偶函数， x(n) sin是奇函数， 那么nnx0sin)(因此nnxXcos)()e (j第90页/共445页该式说明X(ej)是实函数， 且是的偶函数。 总结以上, x(n)是实偶函数时， 对应的傅里叶变换X(ej)是实函数，

39、是的偶函数。 （2） x(n)是实奇函数。 上面已推出， 由于x(n)是实序列， X(ej)具有共轭对称性质， 即 X(ej)=X*(ej)nnnnxnxXsinj)cos(e )()e (jj第91页/共445页由于x(n)是奇函数， 上式中x(n) cos是奇函数， 那么0cos)(nnx因此 nnxXsin)(j)(ej这说明X(ej)是纯虚数， 且是的奇函数。 8 设x(n)=R4(n)， 试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)， 并分别用图表示。 第92页/共445页解解：)()(21)(44enRnRnx)()(21)(44onRnRnxxe(n)和xo(n

40、)的波形如题8解图所示。 题8解图第93页/共445页9已知x(n)=anu(n), 0a1， 分别求出其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)的傅里叶变换。解解：nnnxXjje )()e (因为xe(n)的傅里叶变换对应X(ej)的实部， xo(n)的傅里叶变换对应X(ej)的虚部乘以j， 因此第94页/共445页cos21cos1e1e1e11e11)e ()(FT2jjjejejeeaaaaaaRaRXRnxcos21sine1e1e11Imje11Imje (Imj)(FT2jjjjjaaaaaaaXnxo第95页/共445页10 若序列h(n)是实因果序列， 其傅里叶变换的实部如下式：

41、 HR(ej)=1+cos求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。 解解：nnRnhnhHjeejjje )()(FT e21e211cos1)e (第96页/共445页121011 21)(ennnnhnnnnnhnnhnnh其它01101 0)(20)(00)(ee)2/cos(e2e1e )()e (2/jjjjnnnhH第97页/共445页11 若序列h(n)是实因果序列， h(0)=1， 其傅里叶变换的虚部为HI(ej)=sin求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。 解解： eej21sin)e (jjjIHnnoIonhHnhjjjje )(ee 21)(ej)(FT第98页/共

42、445页12100121)(onnnnhnnnnnhnnhnnh其它011010)(20)(00)(o)2/cos(e2e1e )()e (2/jjjjnnnhH第99页/共445页12 设系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n), 0a1， 输入序列为x(n)=(n)+2(n2)完成下面各题： (1) 求出系统输出序列y(n)； (2) 分别求出x(n)、 h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解解(1)2(2)( )2()()()()(2nuanuannnuanxnhnynnn第100页/共445页(2)2 jjje21e)2(2)()e (nnnnXj0jjje11ee )()e (aanu

43、aHnnnnnnj2jjjje1e21)e ()e ()e (aXHY第101页/共445页13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)， 式中f0=100 Hz， 以采样频率fs=400 Hz对xa(t)进行采样， 得到采样信号和时域离散信号x(n)， 试完成下面各题： （1） 写出的傅里叶变换表示式Xa(j)； （2） 写出和x(n)的表达式； （3） 分别求出的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。 解： )(txa)(txa)(txa)(txatttttxXtttttaade ee de )cos(2de )()j ( jjjj0j00第102页/共445页上式中指数函数的傅里叶变换不

44、存在， 引入奇异函数函数， 它的傅里叶变换可以表示成： )()(2)j ( 00aX（2） )()cos(2)()()(0nnaanTtnTnTttxtxnnTnx- )cos(2)(0ms 5 . 21 rad 2002s00fTf第103页/共445页（3） )()(2 )jj (1)(s00ksksaakkTkXTjX式中rad/s 8002ssf)2()2(2e ee e )cos(2e )cos(2e )()e (00jjjj0j0jj00kknnTnxXknnnnnnnnnn第104页/共445页式中0=0T=0.5 rad上式推导过程中， 指数序列的傅里叶变换仍然不存在， 只有引

45、入奇异函数函数才能写出它的傅里叶变换表示式。 14 求出以下序列的Z变换及收敛域:(1) 2nu(n)(2) 2nu(n1)(3) 2nu(n)(4) (n)(5) (n1)(6) 2nu(n)u(n10)第105页/共445页解(1)21 2112)(2)(2ZT110zzzznununnnnnnn(2)21 21121222) 1(2)1(2ZT1111zzzzzzznununnnnnnnnnn第106页/共445页21 2112 2)(2)(2ZT00zzzzznununnnnnnnnnn(3)(4) ZT(n)=10|z|(5) ZT(n1)=z10|z|(6) 0 2121 2)10

46、()(2ZT11101090zzzznununnnn第107页/共445页15 求以下序列的Z变换及其收敛域， 并在z平面上画出极零点分布图。 (1) x(n)=RN(n)N=4(2) x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9, 0=0.5 rad, j=0.25 rad(3)其它02 12 0)(NnNnNNnnnx式中， N=4。第108页/共445页解(1) 0 ) 1(1z11 )()(3414304zzzzzzznRzXnnnn由z41=0， 得零点为3 , 2 , 1 , 0 ez 42jkkk由z3(z1)=0， 得极点为 z1, 2=0, 1零极点图和收敛域如题1

47、5解图(a)所示， 图中, z=1处的零极点相互对消。第109页/共445页题15解图第110页/共445页(2) )( ee eeAr21 )()cos()(jjjj000nununArnxnnnnjjje1ee1e21eeee21)(1jj1j00jjjj0000zrzrAzrzrAzXjnnnnnnnnjjjj)e1 ()e1 ()cos(cos1j1j1000zrzrzrAjjrz 第111页/共445页零点为 cos)cos(01jj rz极点为00j3j2e erzrz极零点分布图如题15解图(b)所示。(3)令y(n)=R4(n), 则x(n+1)=y(n)*y(n)zX(z)=

48、Y(z)2, X(z)=z1Y(z)2第112页/共445页因为) 1(111)(3414zzzzzzY因此2472341) 1(11) 1(1)(zzzzzzzzX极点为z1=0, z2=1零点为3 , 2 , 1 , 0 e42jkzkk在z=1处的极零点相互对消， 收敛域为0|z|， 极零点分布图如题15解图(c)所示。第113页/共445页16 已知112122113)(zzzX求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。 解解： X(z)有两个极点： z1=0.5, z2=2， 因为收敛域总是以极点为界， 因此收敛域有三种情况： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三种收敛域对应

49、三种不同的原序列。 （1）收敛域|z|0.5： 第114页/共445页zzzXjnxcnd)(21)(1令nnnzzzzzzzzzzXzF)2)(5 . 0(75 )21)(5 . 01 (75)()(11111n0时， 因为c内无极点，x(n)=0;n1时， c内有极点 0 ， 但z=0是一个n阶极点， 改为求圆外极点留数， 圆外极点有z1=0.5, z2=2， 那么第115页/共445页) 1(22)21(3)2()2)(5 . 0()75()5 . 0()2)(5 . 0()75(2),(sRe5 . 0),( sRe)(25 . 0nuzzzzzzzzzzzFzFnxnnznzn(2)

50、收敛域0.5|z|2:)2)(5 . 0()75()( zzzzzFn第116页/共445页n0时， c内有极点0.5，nzFnx)21(35 . 0 ),( sRe)( n0时， c内有极点 0.5、 0 ， 但 0 是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， c外极点只有一个， 即2，x(n)=ResF(z), 2=2 2nu(n1)最后得到) 1(22)()21(3)(nununxnn第117页/共445页（3）收敛域|z|2: )2)(5 . 0()75()( zzzzzFnn0时， c内有极点 0.5、 2，nnzFzFnx222132 ),( sRe5 . 0),( sRe)( n0时

51、， 由收敛域判断， 这是一个因果序列， 因此x(n)=0； 或者这样分析， c内有极点0.5、 2、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数，c外无极点， 所以x(n)=0。 第118页/共445页最后得到)(22213)( nunxnn17 已知x(n)=anu(n), 0a1。 分别求： (1) x(n)的Z变换；(2) nx(n)的Z变换；(3) anu(n)的Z变换。解解： (1)azazznuanuazXnnnn 11)()(ZT)(1第119页/共445页azazazzXzznnx )1 ()(dd)( ZT212(2)(3)100 11)(ZTazazzazanuannnn

52、nnn18 已知2112523)(zzzzX分别求： （1） 收敛域0.5|z|2对应的原序列x(n)。 第120页/共445页解：cnzzzXnxd)(j21)(1)2)(5 . 0(232523)()(12111zzzzzzzzzXzFnnn（1） 收敛域0.5|z|2:n0时，c内有极点0.5，x(n)=ResF(z), 0.5=0.5n=2nn0时， c内有极点0.5、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数， c外极点只有2， x(n)=ResF(z), 2=2n第121页/共445页最后得到 x(n)=2nu(n)+2nu(n1)=2|n|n2:n0时， c内有极点0.5、

53、2，nnznnzzzzzFzFnx25 . 0)2()2)(5 . 0(235 . 02),(sRe5 . 0),( sRe)( 2第122页/共445页n0时， c内有极点0.5、 2、 0， 但极点0是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， 可是c外没有极点， 因此x(n)=0最后得到 x(n)=(0.5n2n)u(n)19 用部分分式法求以下X(z)的反变换：21|,252311)(211zzzzzX(1)第123页/共445页(2)21|,41121)(21zzzzX解： (1)21z 411311)(21zzzX 4131)(22zzzzX第124页/共445页21652161 )21

54、)(21(31 4131)(2zzzzzzzzzX)(2165)21(61)(2116521161)(11nunxzzzXnn第125页/共445页(2)21z 41121)(21zzzX 21252123 2121z2z 412)(2zzzzzzzX112112521123)(zzzX第126页/共445页) 1()21(25)21(23)(nunxnn20 设确定性序列x(n)的自相关函数用下式表示： nxxmnxnxmr)()()(试用x(n)的Z变换X(z)和x(n)的傅里叶变换X(ej)分别表示自相关函数的Z变换Rxx(z)和傅里叶变换Rxx(ej)。第127页/共445页解： 解法

55、一nxxmnxnxmr)()()(mnmmnmxxzmnxnxzmnxnxzR )()()()()(令m=n+m, 则)()( )()()()()(1zXzXzmxznxzmxnxzRnmmnnmnmxx第128页/共445页解法二)()()()()()()()(1zXzXzRmxmxmnxnxmrxxnxx)e ()e ()()e (jjejjXXzRRzxxxx因为x(n)是实序列， X(ej)=X*(ej)， 因此2jj)e ()e (XRxx第129页/共445页21 用Z变换法解下列差分方程： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0 n1(2) y(n)0

56、.9y(n1)=0.05u(n)， y(1)=1， y(n)=0n1(3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n) y(1)=0.2, y(2)=0.5, y(n)=0, 当n3时。解： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0n1)1)(9 . 01 (05. 0)(1105. 0)(9 . 0)(1111zzzYzzzYzY第130页/共445页1111119 . 005. 019 . 0105. 0)()(nnnzzzzzzzzYzFn0时， 5 . 09 . 05 . 0 1 . 005. 0)9 . 0(1 . 005. 0 1),( sRe9

57、. 0),( sRe)(11nnzFzFnyn0时， y(n)=0最后得到 y(n)=0.5 (0.9)n+1+0.5u(n)第131页/共445页(2) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n), y(1)=1, y(n)=0 n1111105. 0)()(9 . 0)(zzkyzYzzYkk11111105. 09 . 0)(9 . 0)(105. 0) 1()(9 . 0)(zzYzzYzzyzYzzY)1)(9 . 01 (9 . 095. 0)(111zzzzY第132页/共445页nnnzzzzzzzzzzYzF) 1)(9 . 0(9 . 095. 0)1)(9 . 01 (9

58、 . 095. 0)()(11111n0时， )()5 . 0)9 . 0(45. 0( 1 ),( sRe9 . 0 ),( sRe)(nuzFzFnynn0时， y(n)=0最后得到 y(n)=0.45(0.9)n+0.5u(n)第133页/共445页(3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n)y(1)=0.2, y(2)=0.5, y(n)=0, 当n2时Y(z)0.8z1Y(z)+y(1)z0.15z2Y(z)+y(1)z+y(2)z2=121115. 08 . 013 . 091. 1)(zzzzYnnnzzzzzzzzzzYzF)5 . 0)(3 . 0(3 . 09

59、1. 115. 08 . 013 . 091. 1)()(12111第134页/共445页n0时，nnzFzFny5 . 02 . 0275. 13 . 02 . 0873. 0 5 . 0 ),( sRe 3 . 0 ),( sRe)( y(n)=4.365 0.3n+6.375 0.5nn0时, y(n)=0最后得到 y(n)=(4.365 0.3n+6.375 0.5n)u(n)第135页/共445页22 设线性时不变系统的系统函数H(z)为为实数aazzazH 11)(111（1） 在z平面上用几何法证明该系统是全通网络， 即|H(ej)|=常数；（2） 参数 a 如何取值， 才能使系

60、统因果稳定？画出其极零点分布及收敛域。 解解： 11)(1111azazazzazH(1)第136页/共445页极点为a, 零点为a1。 设a=0.6， 极零点分布图如题22解图(a)所示。 我们知道|H(ej)|等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度， 按照题22解图(a)， 得到ACABaaazazHzj1je1jee)e (j因为角公用， aOAOBOCOA1，且AOBAOC， 故aACAB1，即第137页/共445页aACABH1)e (j故H(z)是一个全通网络。 或者按照余弦定理证明:1cos22aaAC1cos212aaABaaaaaaACABH1cos21cos21)(e221j