全国高考文科数学试题及答案新课标

1、绝密启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1 .本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必先将自己的 姓名、准考证号码填写在答题卡上。2. 回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3. 回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。1.已知集合 A x 1 X 2 , B x

2、0 X 3,贝U AUBA. (1,3)B . (1,0)C. (0,2)D . (2,3)2 .若a为实数，且Jai 3 i ,则a =1 iA . -4B. -3C. 3D . 4A .逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显着B . 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C. 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D . 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4. 向量 a (1, 1), b ( 1,2),则(2a b) aA . -1B. 0C. 1D . 35. 设Sn等差数列an的前n项和。若a1 + a3 + a5 = 3 ,则S5 =A . 5B. 7C

3、. 9D. 116.个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为B.7.已知三点 A(1,0) , B(0, 3),C(2, 3),贝U ABC外接圆的圆心到原点的距离为8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名着九开始Jz章算术中的 更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a, b分别为14, 18 ,则输出的a =A . 0B. 2C. 4D. 1419.已知等比数列a.满足a1, a3a5 = 4仙 1),则4a2 =输出垃A. 2B. 110.已知A, B是球O的球面上两点,AOB = 90 , C为该球面上的动点。若三棱锥O ABC体积

4、的最大值为36,则球O的表面积为A. 36 B. 64 C. 144 D. 256 11.如图，长方形 ABCD的边AB = 2 , BC = 1 , O是AB的中点,点P沿着边BC, CD与DA运动，记 AOB = X。将动点P到A, B两点距离之和表示为 X的函数f(x),则y f(x)的图象大致为12.设函数f()ln(1 | x|)，则使得f(X) f (2x 1)成立的X的取值范围是1 X1A.(3,I)1B. (，3)U(I，)1 1C. ( 3,3)1 13)U(?第II卷(非选择题，共90分)本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22

5、题第24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分。313. 已知函数f (X) ax 2x的图象过点(1,4),贝U a =。X y 5 014. 若x, y满足约束条件2x y 1 0，则Z 2x y的最大值为 。x 2y 1015已知双曲线过点(4,J3)，且渐近线方程为 V1x，则该双曲线的标准方程为。2216.已知曲线y X InX在点(1,1)处的切线与曲线 y ax (a 2)x 1相切，则a = 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. (本小题满分12分)ABC中，D是BC上的点,AD 平分 BAC, BD=2DC。(1)求 Si

6、nSin(2)若 BAC 60o ,求 B。18. (本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A , B两地区分别随机调查了 40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表。A地区用户满意度评分的频率分布直方图B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数2814106(1)在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；B地区用户满意度评分的频率分布直方图(

7、2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区的满意度等级为不满意的概率大？说明理由19. (本小题满分12分)如图，长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AB = 16, BC = 10 , AAi = 8,点 E, F 分别在 A1B1, D1C1 上，A1E = D1F = 4 ,过点 E, F 的 平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。(1) 在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2) 求平面把该长方体分成的两部分体积的比值。20. (本小题满分12分)已知椭圆C: 2

8、y2 1(a b 0)的离心率为,点(2, . 2)在C上。 a b2(1)求C的方程；(2)直线I不过原点O且不平行于坐标轴，I与C有两个交点 A, B ,线段AB的中点为M。证 明：直线OM的斜率与直线I的斜率的乘积为定值。21. (本小题满分12分)已知函数 f(x) ln X a(1 x)。(1) 讨论f (x)的单调性；(2) 当f (x)有最大值，且最大值大于2a - 2时，求a的取值范围。请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写 清题号C22. (本小题满分10分)选修4 - 1:几何证明选讲如图，O为等腰三角形 ABC内一点， O与

9、ABC的底边BC交 于M , N两点，与底边上的高 AD交于点G,且与AB, AC分别相切 于E, F两点。(1)证明：EF / BC;(2)若AG等于 O的半径，且 AE MN 2 3 ,求四边形 EBCF的面积。23. （本小题满分10分）选修4 - 4:坐标系与参数方程X t cos在直角坐标系XOy中，曲线Ci :（t为参数，t 0）,其中O < 在以O为极点,y t SinX轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ， C3:2 3 cos。（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若Ci与C2相交于点A, Ci与C3相交于点B,求| AB |的最大值。24. （本小题满分

10、10分）选修4 - 5:不等式选讲设a, b, c, d均为正数，且 a + b = C + d ,证明：（1）若 ab > cd;则.a b -,/C d ;（2）Ja . b . C d 是 Ia b| |c d | 的充要条件。参考答案选择题(1) A(2) D(3) D(4) C(5) A(6) D(7) B(8) B(9) C(10) C(11) B(12) A二填空题(13) -2(14) 82X(15)4y2 1(16) 8三解答题(17)解：Sin C Si n( BACB)1 .Sin2由(I)知 2sin B Sin C ,所以 tanB- ,即B 30o(18)解:

11、(I)00400.03500300.0250.020C(M 5OgM 90100(I)由正弦定理得ADBD ADDCSinBSinBAD SinC Sin CAD因为AD平分BAC,BD2DC ,所以SinBDC1SinCBD2)因为C180o(BACB), BAC 60o ,所以B地区用户满意度评分的平均值高于通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散。() A地区用户的满意度等级为不满意的概率大。记CB表示事件：“ B地区用户的满意记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意” 度等级为不

12、满意”由直方图得P(CA)的估计值为(0.010.02 0.03) 100.6P(CB)的估计值为(0.005 0.02) 100.25所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大。(19)解:AE 4,EB112, EM AA1因为EHGF为正方形，所以EH EF BC10于是MH . EH 2EM26,AH 10,HB因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为(-也正确)9(20) 解:(I)由题意有a2 b2解得 a2 8,b242 2所以C的方程为Z 184()设直线 l : y kx b(k 0,b O), A(X, yj, B(X2, y2), M (Xm , yM

13、 )2kx b代入82 y4故XMx1 x22kb2，yMkxMb2k2 1于是直线OM的斜率kOM芸2k，即a*所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。(21) 解:1(I) f(x)的定义域为(O,), f(x) aX若 a O ,则 f (X)0,所以 f(x)在(0,)单调递增若 a O ,则当 X (0丄)时，f (X) O ；当 X (1,)时，f (X) aa1单调递增，在(-，)单调递减。a()由(I)知，当 a O时，f(x)在(O,)无最大值；当a O时,111值，最大值为 f( ) In() a(1) ln a a 1aaa1因此f () 2a 2等价于In a a

14、 1 OaO。所以 f(x)在(O,1)a1f (x)在X -取得最大a令 g(a) In a a 1 ,则 g(a)在(O,)单调递增，g(1) O于是，当Oa 1时，g(a)O ；当a1 时，g(a)(2 k21)x2 4kbx 2b28 O因此，a的取值范围是(0,1)(22) 解：(I)由于 ABC是等腰三角形， AD又因为e O分别与AB , AC相切于点E, F,所以AE AF ,BC ,所以AD是CAB的平分线故 AD EF从而EF / BC()由(I)知， AE AF , AD EF ,故AD是EF的垂直平分线.又EF为eO的弦，所以O在AD上连结 OE,OM ,贝U OE A

15、E由AG等于eO的半径得AO 2OE ,所以 OAE30°,因此ABC和AEF都是等边三角形因为AE2、3 ,所以 AO 4,OE 2因为OM1 OE 2, DM MN 3 ,所以 OD21 ,于是AD5,AB所以四边形EBCF的面积为1 /10、323)(2、3)2 于16“3(23) 解:(I)曲线C2的直角坐标方程为2y曲线C3的直角坐标方程为y2 2 3x 0.联立 X2 y2 2y.0,x2 y223x 0解得0,0,:J232.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和芒232)()曲线C1的极坐标方程为(R, 0),其中因此A的极坐标为(2sin , ) , B的极坐标为(2 . 3 CQS ,)所以 IABl | 2sin2.3COS | 4 |si n( ) |35当时，| AB |取得最大值，最大值为 4(24) 解:由题设 a b c d,ab Cd 得(、_a 、,b)2 GIC 、,d)2因此匕, a , b 、. c Id() (i)若 |a b| |c d | ,则(a b