第3章复变函数的积分

1、1同微积分一样，在复变函数中，积分法也是研究复变函数性质十分重要的方法在解决实际问题中也是有力的工具 本章先介绍复变函数积分的概念，性质和计算方法然后介绍关于解析函数积分的柯西古萨基本定理及其推广，有了这些基础，我们建立柯西积分公式，最后证明解析函数的导数仍是解析函数，从而导出高阶导数公式.第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分21.有向曲线有向曲线: 设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲线曲线, , 如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作的两个可能方向中的一个作为正方向为正方向( (或正向或正向), ), 那么我们就把那么我们就把C理解

2、为带理解为带有方向的曲线有方向的曲线, , 称为称为有向曲线有向曲线. .xyoAB如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向, . C记为记为3.1 复积分的概念及其简单性质复积分的概念及其简单性质3.1.1积分的定义积分的定义3简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义:简单闭曲线C 的正向是指当曲线上的点P 顺此方向前进时, 邻近P 点的曲线的内部始终位于P 点的左方. xyoPPPP与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到

3、终点的方向.42. 定义定义3.1( ),( ) , ( ) , azbzf zCCab以为起点为终点沿 有定义 顺着从 到 的方向取设分点oxyab1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 1 (1,2, ),kkkzzkn在每个弧段上任意取一点设有向曲线C( ),()zz tt 011,kknazzzzzb把曲线C分成若干弧段,作和式1 (),nnkkkSfz5oxyab1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 1 , , ,( )(),( )(),( ):kkknCzzzSJf zCabJf zCabf z dz其中当分点无限增多 而这些弧段长度的最大值趋于零时 如果和数 的极限存在且等

4、于则称沿从 到可积 而称 为沿从 到的积分 并记号表示( )d .CJf zz.C称为积分路径( )d,Cf zzC表示沿 正方向积分( )dCf zzC表示沿 负方向积分.6关于定义的说明关于定义的说明:(1) , ( ),.baJJf z dzJa bC如果 存在 一般不能把 写成因为的值不仅和有关 而且和积分路径 有关(2) ( ),( ).f zCf zC沿 可积的必要条件是沿 有界1(3)( )dlim().nkkCnkCf zzfz曲线 等分时，有（4）如果 为闭曲线，那末沿此闭曲线的 积分记作 .CCdzzf)(C CCdzzf)(C C C73. 定理定理3.1( )( , )

5、( , ),( ) ,f zu x yiv x yCf zC若函数沿曲线 连续则沿可积 且证明：证明： ),()()( ttyitxtzzC由参数方程给出由参数方程给出设光滑曲线设光滑曲线正方向为参数增加的方向正方向为参数增加的方向, , BA及终点及终点对应于起点对应于起点及及参数参数 ( )dCCCf zzudxvdyivdxudy注：今后我们所提曲线，若无特殊声明，总假定是光滑或按段光滑的。8, 0)( ttz并且并且 , ),(),()( 内处处连续内处处连续在在如果如果Dyxviyxuzf , ),( ),( 内均为连续函数内均为连续函数在在和和那么那么Dyxvyxu , kkki

6、设设 )( 111 kkkkkkkiyxiyxzzz因为因为 )()(11 kkkkyyixx, kkyix 91()nnkkkSfz nkkkkkkkyixviu1)(,(),( 1 (,)(,)nkkkkkkkuxvy , , 都是连续函数都是连续函数由于由于vu根据线积分的存在定理根据线积分的存在定理,所以1 (,)(,)nkkkkkkkivxuy 10当当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, , , ),( , 下式两端极限存在下式两端极限存在的取法如何的取法如何点点的分法任何的分法任何不论对不论对kkC nkkkkkkknkkkkkkknkkk

7、yuxviyvxuzf111),(),(),(),()( Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 11 : ddd )(相乘后求积分得到相乘后求积分得到与与yixzivuzf Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式即复函数积分可表为两个实积分即复函数积分可表为两个实积分.123.1.2. 复变函数积分的计算问题复变函数积分的计算问题( ),f zC沿 连续 则设有向曲线C：( )( )( ),()zz tx tiy t

8、t ( ) ( ) ( )d(3.2)Cf z dzf z t z tt( )Re ( ) ( )dIm ( ) ( )d(3.3)Cf z dzf z t z ttif z t z tt复积分的变量代换公式或13证明证明( )dCf zzddddCCu xv yiv xu y ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )du x ty t x tv x ty ty tt ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )div x ty t x tu x ty ty tt tty itxtytxivtytxud)()()(),()(),(.d)()( ttztzf注：注： 用公式(3.

9、2)或(3.3)计算复变函数的积分,是从积分路径的参数方程着手,称为参数方程法.14例例1 解解. , , ,d)(1 010为整数为整数径的正向圆周径的正向圆周为半为半为中心为中心为以为以求求nrzCzzzCn zxyor0z 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri15zxyor0z , 0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ninrin; 0 rzznzzz0d)(1 10所以所以 . 0,

10、 0, 0,2nni重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关. .,d20 inneri Cnzzzd)(110163.1.3 复变函数积分的性质复变函数积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.;d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(为常数为常数kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf12 (4) , , nCC CC如果是由等光滑曲线依次相互连接所组成的按段光滑曲线 则12( )( )d( )d( )d .nCCCCf z dzf zzf

11、 zzf zz17 , ( ) ( ), ( )d( ) d.CCCLf zCf zMf zzf zsML设曲线 的长度为函数在上连续且满足那末估值不等式估值不等式22(5)( )d( )|d( ) d ,()()CCCf zzf zzf zsdzdxdyds弧长微分(6)积分估值积分估值定理定理3.218证明证明 , 1两点之间的距离两点之间的距离与与是是因为因为 kkkzzz , 度度为这两点之间弧段的长为这两点之间弧段的长ks knkkzf 1)( 所以所以 nkkkzf1)( nkkksf1)( 两端取极限得两端取极限得.d)(d)( CCszfzzf nkkksf1)( 因为因为 n

12、kksM1,ML .d)(d)( MLszfzzfCC 所以所以证毕证毕19例例2 计算 ，其中 为从原点到点 的直线段。CzdzCi 43解：解：直线的方程可写成10 ,4,3ttytx或10 ,43ttitz于是2102102)43(21)43()43(itdtitdtizdzC由于CCCCxdyydxiydyxdxidydxiyxzdz)(容易验证，右边两个线积分都与路线 无关，所以 的值无论 是怎样的曲线都等于CCzdzC2)43(21i20例例3 解解. 1 1 (3) ; 1 (2) ; 1 (1) : ,dRe 2的折线再到轴到点从原点沿的弧段上从原点到点抛物线的直线段从原点到点

13、为其中计算ixixyiCzzC(1) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),10()( titttz,d)1(d,Re tiztz 于是于是 CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x21(2) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为xyoi 11iy=x2xy ),10()(2 titttz,d)21(d,Re ttiztz 于是于是 CzzdRe 10d)21(titt1032322 tit;3221i 22xyoi 11iy=x2xy (3) 积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为),10()(

14、tttz1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为),10(1)( tittz,dd,Re tztz 于是于是,dd, 1Re tizz 于是于是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i 积分路径不同积分路径不同,积分结果也可能不同积分结果也可能不同.23例例4 解解, 12zdzzz计算积分其中 为圆环及实轴积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为:21,I ztt zdzz12dtxyo2C1C1212III2:2(0),iCze1:(0),iCze:12,II ztt Izdzz1Czdzz2CzdzzIIzdzz0diiieiee21dt022d2iiieiee.所围区域

15、位于上半平面部分的边界24112dt0diiieiee21dt022d2iiieiee30diie1302diie230diie20cos3id 0sin3id 2234.3253.1.4 小结与思考 这一小节我们学习了积分的定义、存在条这一小节我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质件以及计算和性质. 应注意复变函数的积分有应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质跟微积分学中的线积分完全相似的性质. 本课本课中重点掌握复积分的一般方法中重点掌握复积分的一般方法.作业作业 ：lP99：第三章习题 1，2263.2 柯西柯西-古萨基本定理古萨基本定理早在早在1825年柯西给出

16、了如下定理，它是复变函数论中的一年柯西给出了如下定理，它是复变函数论中的一条基本定理，现称为条基本定理，现称为柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理27n定理定理3.2.1 如果函数 在单连通域 内处处解析，那末函数 沿 内的任何一条封闭曲线 的积分值为零。即n推论推论3.2.1 设函数 在复平面上的单连通域 内解析，则 在 内任意两点之间的积分与路径无关。 0dzzfc)(zfBB)(zfC)(zfB)(zfB28证明：证明：设 与 是D内连接 与 的两条曲线，则正方向曲线 与负方向曲线 就连接成D内的一条闭曲线C， 从而由柯西积分定理及的性质（4）有:1C2C0z1z1C2C120( )( )(

17、 )CCCf z dzf z dzf z dz因此12( )( )CCf z dzf z dz293.3 基本定理的推广基本定理的推广定理定理3.3.1 设 是简单闭曲线， 为 的内部，函数 在闭域 上解析，则CDC)(zfCDD 0dzzfc定理定理3.3.2 设 是简单闭曲线， 为 的内部，函数在 内解析，在 上连续，则CDCDCDD 0dzzfc定理定理3.3.3 （闭路变形原理）（闭路变形原理）在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.30n定理定理3.3.4 （复合闭路定理）（复合闭路定理）n设 为多连通域 内的一条简单闭曲线， 是在 内部的简单闭

18、曲线，它们互不包含也互不相交，并且以 为边界的区域全含于 ，则有如下结论：n如果 在 内解析，那么 1）n其中 及 均取正方向;n 2）nCCC,21nCCCC,21DCCD CnkCkdzzfdzzf1)()( 0)(dzzfkC)(zfCD31n这里 为由 及 所组成的复合闭路（其方向是： 按逆时针进行，n 按顺时针进行）.n例如例如：根据闭路变形原理，例2中包含 的任何一条正向简单闭曲线 都有：C), 2 , 1(nkCkCkCizzdz200z32例例3.3.1 计算 的值， 为包含圆周 在内的任何正向简单闭曲线.dzzzz2121|z解：函数 有两个奇点 和 ，在 内作两个互不包含也

19、互不相交的正向圆周 与 ， 只包含奇点 ， 只包含 ，那末根据复合闭路定理，有dzzzz2120z1z1C2C1C0z2C1zdzzzzdzzzzdzzzzCC21222121212idzzdzzdzzdzzCCCC4111111221133 3. 4 原函数与不定积分原函数与不定积分n推论推论3.2.1 如果函数 在单连通域 内处处解析，那么积分 与连结起点及终点的路线 无关.n由推论3.2.1，积分 在 内确定了一个单值函数 ，即n定理定理3.4.1 如果 在单连通域 内处处解析，那么函数 必为 内的一个解析函数，并且)(zfBCdzzf)(Cdfzz0)(B)(zF)(zFdfzz0)(

20、)(zfB)(zFB)()(zfzF34证明：证明： 作一个以Z为心，以充分小的 为半径的圆 ，使得 在 内取动点 ，则zD CCDC(0)zzz 00()( )1( )( )zzzzzF zzF zfdfdzz 由于积分与路径无关，因而我们可取 的积分路径为由 沿与 相同的路径到Z ,再从Z沿直线段到 ,从而有0( )zzzfd0z0( )zzfdzz()( )1( )zzzF zzF zfdzz于是0()( )1( )( )( )zzzF zzF zf zfdf zzz000111( )( ) ( )( )zzzzzzzzzfdf z dfdf z dzzz 图3.3 图3.335但已知

21、在D内连续，所以对 ，可取上述的 充分小，使得在 内的一切点 均有 ， 从而由定理3.2有( )f z0 C( )( )ff z0()( )1( ) ( )( )zzzzF zzF zf zff z dzzz即0()( )( )lim( )zF zzF zF zf zz 36n定义定义 如果函数 在区域 内的导数等于 ，即 ，那么称 为 在区域 内的原函数.n 的任意两个原函数相差一个常数.n定义定义 的原函数的一般表达式 （其中 为任意常数.）为 的不定积分，记作n定理定理3.4.2 如果 在单连通域 内处处解析， 为 的一个原函数，那么 这里 为域 内的两点.)(zB)(zf)()(zfz

22、 )(z)(zfB)(zf)(zfczF)(c)(zfczFdzzf)()()(zfB)(zG)(zf10)()()(01zzzGzGdzzf10,zzB37n从定理3.4.2可以看出，用牛顿莱布尼兹公式计算积分，首先，要看积分上、下限的两点是否可以包含在一个单连通域内，且被积函数是否在该单连通域内解析；其次，要易于求出被积函数的原函数。n例例3.4.1 求积分n解：idzzz02cosiiizzddzzz020202|sin21sin21cos)sin(21)sin(212238n例例3.4.2 求积分 的值.izdzz0cos解：函数 在全平面内解析，容易求得它有一个原函数 ，所以zzco

23、szzzcossin1cossincossincos00iiizzzzdzzii1122111eeeieei39例例3.3.4 计算积分izdzez0) 1(解：因为 在复平面上处处解析，zez ) 1(所以iizizzdzeezdzez000|)1 () 1(iizieez0|) 11 (1cos1sini40n练习练习：计算积分n（1） ；n（2） ；n（3） ；（4）计算积分 的值，C是0到n 的摆线： .idziz12)2(idzzz1) 1() 1ln(iizdze32Cdzzz) 182(2a2)cos1 (),sin(ayax41n解解：n（1） ；n（2） ；n（3）0；n（4

24、）注意到积分与路径无关.3311i2ln8)ln34(8122iaaa216316223342n3.5 柯西积分公式柯西积分公式n定理定理3.5.1 （柯西积分公式）（柯西积分公式）如果函数 在区域D内处处解析， C为内D的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D , 为C内的任一点,那末 (3.5.1)n公式(3.5.1)称为柯西积分公式.通过这个公式就可以把一个函数在C内部任何一点的值,用它在边界上的值来表示.)(zf0zdzzzzfizfC00)(21)(43证明：证明：对于任意固定一点 ，则函数 作为 的函数在D内除点z外解析现以点z为心，充分小的 为半径作圆周 ，使 对于复围线 及

25、函数 ，应用复合闭路定理有zD( )( )fFz0CL ( )F( )( )CLffddzz12LdizLLD而( )( )2( )2( )CLffdif zdif zzz因此44( )( )( )( )LLLff zff zdddzzz又根据 的连续性知对 ，只要 时，就有( )f0,0z( )( )2ff z()L再由复变函数积分估值不等式可得( )( )( )2( )CLfff zdif zdzz22故有1( )( )2Cff zdiz45例例3.5.1 求下列积分：1） ；2）dzzziz4|sin21dzzzz)3211(4|解：1） ；0|sinsin2104|zzzdzzzi2）

26、dzzdzzdzzzzzz4|4|4|3211)3211(iii64246n3.6 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数n一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数.这一点与实变函数完全不同,因为一个实变函数的可导性不保证导数的连续性,因而不能保证高阶导数的存在,关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理n定理定理3.6.1 解析函数 的导数仍为解析函数,它的n阶导数为: 其中 C 为在函数 的解析区域D内围绕 的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于D.)(zfCnnndzzzzfinzf), 2 , 1( )()(2!)(100)()(zf0z47高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求

27、导，而在于通过求导来求积分.例例3.6.1 求下列积分的值，其中C为正向圆周1| rz1） ；2）dzzzC5) 1( cosdzzeCz22) 1(解：1）函数 在C内的 处不解析，但 在C内处处解析.故有5) 1( coszz1zzcos12|)(cos)!15(2) 1( cos51)4(5izidzzzzC482）在C内以 为中心作正向圆周 ，以 为中心作正向圆周 ，则根据复合闭路定理有i1Ci2C21222222) 1() 1() 1(CzCzCzdzzedzzedzzedzizizedzizizeCzCz212222)()()()()41sin(22)1 (2)1 (ieieiii49n练习：计算积分 ，C为以下曲线：n1） ；2） ；3） .dzzzzC3)2(cos41|z41|2|z2|z50解： 有两个奇点 ， ，32)(cos)(zzzzf01z22z1） 在 内有一个奇点 ，故)(zf1C01z20323216)(cos2)(cos1izzizdzzzIzC2） 在 内有一个奇点 ，故)(zf2C22zizzizdzzzIzC8)cos(! 212