纯金属电阻率的统计模型

1、 6.7 6.7 纯金属电阻率的统计模型纯金属电阻率的统计模型一电阻率的本质一电阻率的本质 二实验规律二实验规律 三电阻率研究的重要性及前人的工作三电阻率研究的重要性及前人的工作 四提出四提出“纯金属电阻率的统计模型纯金属电阻率的统计模型”的基础与的基础与 思路思路 五电阻率与声子参数的关系五电阻率与声子参数的关系 六纯金属电阻率与温度的依赖关系六纯金属电阻率与温度的依赖关系七高低温电阻率与温度的关系存在差异的原因七高低温电阻率与温度的关系存在差异的原因 八八. . 小结小结九思考题九思考题 内容提要内容提要一电阻率的本质一电阻率的本质 1 1金属的电阻率金属的电阻率 本质本质 金属的电阻率金

2、属的电阻率 与外电场与外电场 和电流密度和电流密度 的的关系为：关系为： 外电场外电场 一定，电阻率一定，电阻率 大的金属电流密大的金属电流密度度 就小。而电流密度就小。而电流密度 正比于电子在电场方向的飘正比于电子在电场方向的飘移速度。这就是说电阻率移速度。这就是说电阻率 大的金属，电子的飘移速大的金属，电子的飘移速度就小。电子的飘移速度小，表明电子在外电场作用度就小。电子的飘移速度小，表明电子在外电场作用下的定向运动受到的阻力大。对于纯金属，这个阻力下的定向运动受到的阻力大。对于纯金属，这个阻力只能是来自晶格，是原子在平衡位置的振动引起了导只能是来自晶格，是原子在平衡位置的振动引起了导电电

3、子的散射，使电子的运动方向随时发生变化，减电电子的散射，使电子的运动方向随时发生变化，减缓了在外电场方向的飘移速度。缓了在外电场方向的飘移速度。 j jjj 2. 2. 比喻：比喻： 拿做广播体操作比喻。把穿越体操阵列者比拿做广播体操作比喻。把穿越体操阵列者比喻成电子，做操者比喻成振动的原子。一旦做起喻成电子，做操者比喻成振动的原子。一旦做起操来，要想穿过这体操阵列，为了避开做操者，操来，要想穿过这体操阵列，为了避开做操者，穿越者不得不东躲西闪。这样以来，穿过这体操穿越者不得不东躲西闪。这样以来，穿过这体操阵列花费的时间就长了，穿越速度就降低了。阵列花费的时间就长了，穿越速度就降低了。 二实验

4、规律二实验规律 高温：纯金属电阻率高温：纯金属电阻率 甚低温：甚低温： 后者称为后者称为Bloch-Bloch-GrGr neisonneison定律定律问题：为什么纯金属电阻率与温度会有如此的奇异关问题：为什么纯金属电阻率与温度会有如此的奇异关系？系？T5T三三. 电阻率研究的重要性及电阻率研究的重要性及前人的工作前人的工作 纯金属电阻率理论研究是纯金属电阻率理论研究是认识和理解电子与声子相互作用的认识和理解电子与声子相互作用的最典型的例子之一最典型的例子之一, ,也是超导的理论基础也是超导的理论基础。 包括包括J.J.BardeenBardeen在内的不少人对纯金属电阻率与温度奇异的在内的

5、不少人对纯金属电阻率与温度奇异的依赖关系进行过深入的理论研究，但依赖关系进行过深入的理论研究，但“处理方法、数学积分及处理方法、数学积分及至结果表达式都是相当令人生畏的。至结果表达式都是相当令人生畏的。” ” “The manipulation, integration and resulting expressions are rather formidable.” R.J.Elliot and A.F.Gibson, AnIntroduction to Solid State Physics and its Applications, 311 (1976) ，这些研究内容难以以基础课的这些

6、研究内容难以以基础课的内容向学生们讲授，高低温电阻率温度依赖性的奇异特性，其内容向学生们讲授，高低温电阻率温度依赖性的奇异特性，其物理机理也不甚明了。物理机理也不甚明了。 问题：能否用更简单明了的模型来揭示纯金属电阻率与温度的问题：能否用更简单明了的模型来揭示纯金属电阻率与温度的依赖关系？依赖关系？四四. 提出提出“纯金属电阻率的统计模型纯金属电阻率的统计模型”的基的基 础与思路础与思路 1 1 基础一基础一 纯金属具有电阻率，是晶格的振动引起了电纯金属具有电阻率，是晶格的振动引起了电子的散射，使电子的运动方向随时发生了变化。子的散射，使电子的运动方向随时发生了变化。 电子运动方向发生变化，说

7、明电子与晶格之间发电子运动方向发生变化，说明电子与晶格之间发生了能量和动量的交换。在第三章生了能量和动量的交换。在第三章人们把人们把光子与光子与晶格的能量和动量的交换，看成是光子与声子的晶格的能量和动量的交换，看成是光子与声子的相互碰撞。同理，我们也可以把电子与晶格之间相互碰撞。同理，我们也可以把电子与晶格之间的相互作用的相互作用, , 看成是电子与声子之间的相互碰撞看成是电子与声子之间的相互碰撞。 2 2 基础二基础二 第三章中晶格热容是一个宏观物理量，是晶格第三章中晶格热容是一个宏观物理量，是晶格振动的统计平均效应。爱因斯坦采取了一个平均频率的振动的统计平均效应。爱因斯坦采取了一个平均频率

8、的简单模型，取得了很成功的结果。电阻率也是一个宏观简单模型，取得了很成功的结果。电阻率也是一个宏观物理量，是电子与物理量，是电子与声子声子作用的统计平均效应。是否可采作用的统计平均效应。是否可采取平均声子的模型来处理纯金属电阻率问题呢？所谓平取平均声子的模型来处理纯金属电阻率问题呢？所谓平均声子模型，是假定声子系统由平均声子来构成，在这均声子模型，是假定声子系统由平均声子来构成，在这个系统中，每个声子的动量等于原声子系统中声子的平个系统中，每个声子的动量等于原声子系统中声子的平均动量。由上一节（均动量。由上一节（6.66.6）已知，对电导有贡献的只）已知，对电导有贡献的只是费密面上的电子，因此

9、纯金属电阻率可看成是费密面是费密面上的电子，因此纯金属电阻率可看成是费密面上的电子与平均声子相互碰撞的结果。上的电子与平均声子相互碰撞的结果。3.3.基础三基础三由上一节可知，立方晶系由上一节可知，立方晶系金属的电阻率金属的电阻率 （1 1） 电子浓度电子浓度 ，电子电荷，电子电荷 ， 费密面上电子的有效费密面上电子的有效质量质量 可看成与温度无关。可见电阻率与温度的依赖关可看成与温度无关。可见电阻率与温度的依赖关系，系，取决于取决于弛豫时间弛豫时间 的倒数与温度的依赖关系。由的倒数与温度的依赖关系。由6.56.5节可知节可知. .2*nemne*mcos1 , 1kkk采用平均声子模型采用平

10、均声子模型, , 上式简化成上式简化成 （2 2） 其中其中 是一常数是一常数，是除是除 态外，费密面上态外，费密面上 其它电子态的总和，其它电子态的总和， 是电子与一个平均声子碰是电子与一个平均声子碰 撞所产生的散射角。撞所产生的散射角。因此，对因此，对 的分析，就转换的分析，就转换 成对因子成对因子 和和 的分析。的分析。 cos1 , Z1kkZk1 , kkcos1五电阻率与声子参数的关系五电阻率与声子参数的关系 1. 1. 求求 是波矢为是波矢为 的电子在单位时间内的电子在单位时间内与一个平均声与一个平均声子的碰撞几率，也即子的碰撞几率，也即波矢为波矢为 的电子在单位时间内与一个的电

11、子在单位时间内与一个平均声子的碰撞次数。把电子和声子看成气体分子，平均声子的碰撞次数。把电子和声子看成气体分子，电子看电子看成成A分子，分子，声子看成声子看成B分子。分子。按照经典分子物理统计理论，按照经典分子物理统计理论，A气体分子与气体分子与B 气体分子单位时间内的碰撞次数，正比于气体分子单位时间内的碰撞次数，正比于A 分分子子和和B分子的平均相对速度分子的平均相对速度和和B 分子的浓度分子的浓度. . kk2/122)(BAr , kk , kk费密面附近电子的平均速度费密面附近电子的平均速度 , ,是一常数是一常数; ;按照德拜按照德拜模型模型, ,声子的速度为金属的声速声子的速度为金

12、属的声速, ,也是常数。所以也是常数。所以 。2.2.求求考虑正常散射过程，由下图可知考虑正常散射过程，由下图可知 (1-(1-cos cos ) ) */mkFpnFFkqkq222sin222)(2)(2sin2Fkqcos1 , kk于是于是（2 2）式变成式变成 电阻率变成电阻率变成 (3)(3)因为因为 是声子的平均动量，由此推出重要结论：是声子的平均动量，由此推出重要结论：纯金属的电阻率与声子浓度和纯金属的电阻率与声子浓度和声子平均动量的平方声子平均动量的平方成正比。成正比。 2)( 1qnp22*)( neqnmpq六六纯金属电阻率与温度的依赖关系纯金属电阻率与温度的依赖关系 晶

13、格振动采用德拜理论，晶格振动采用德拜理论， , , 声子浓度声子浓度 （4 4） 其中其中 SqDdDnVnP0)()(111)(/TkBen32223)(SVD声子的平均动量声子的平均动量 (5) (5) 取变量变换取变量变换 , ,VndDnqPSD0)()(TkxB将以上诸式代入将以上诸式代入(3)(3)式得式得 , (6) , (6)其中常数其中常数 TxTxDDedxxedxxAT/022/03511525*) (4 3SFBeknkmA高温时高温时, , x=x=（ / /T T ）0 0， e ex x 1+1+x x, , 得到得到 (7) (7) 在甚低温时在甚低温时, ,

14、x=x=（ / /T T ） , , 得到得到 =17.6=17.6A ( 8) ( 8)可见由平均声子模型得到的理论结果与实验规律是相符的可见由平均声子模型得到的理论结果与实验规律是相符的. .T4 92DAD5TD七高低温电阻率与温度的关系存在差七高低温电阻率与温度的关系存在差 异的原因异的原因 高温时：由高温时：由(4)(4)式得式得, , , , 由由(5)(5)式得式得, , 是一常数是一常数; ; 因此因此 。甚低温时甚低温时: : 由由(4)(4)式得式得, , , , 由由(5)(5)式得式得, , ; ; 因此有因此有 。TnpqT3TnpTq 5T八八. . 小结小结 1. 1. 本节是认识和理解电子与声子相互作用的最典型的例子本节是认识和理解电子与声子相互作用的最典型的例子 之一。之一。 2. 2. 费密面上的电子遭受声子散射是纯金属具有电阻率的根费密面上的电子遭受声子散射是纯金属具有电阻率的根 源。源。 3. 3. 纯金属的电阻率与声子浓度和纯金属的电阻率与声子浓度和声子平均动量的平方成正声子平均动量的平方成正 比。此结论把比。此结论把纯金属的电阻率与声子的参数联系了起纯金属的电阻率与声子的参数联系了起 来来。九思考题九思考题 由第三章由第