第8章离散傅里叶变换V233

1、第第8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换 8.0 引言引言 8.1 周期序列的表示周期序列的表示:离散傅里叶级数离散傅里叶级数 8.2 离散傅里叶级数的性质离散傅里叶级数的性质 8.3 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 8.4 对傅里叶变换的采样对傅里叶变换的采样 8.5 有限长序列的傅里叶表示有限长序列的傅里叶表示:离散傅里叶变换离散傅里叶变换 8.6 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 8.7 用傅里叶变换实现线性卷积用傅里叶变换实现线性卷积 8.8 小结小结8.0 引言引言 连续时间、连续频率连续时间、连续频率傅里叶变换；傅里叶变换； 连续时间、离散频率连续时间、离散频率傅里叶级数

2、；傅里叶级数； 离散时间、连续频率离散时间、连续频率序列的傅里叶变换；序列的傅里叶变换； 离散时间、离散频率离散时间、离散频率离散傅里叶变换；离散傅里叶变换； 信号处理：时域、频域、空域等信号处理：时域、频域、空域等 希望：时域、频域都是离散的。便于进行数字希望：时域、频域都是离散的。便于进行数字信号处理。信号处理。 离散傅里叶变换。离散傅里叶变换。8.1周期序列离散傅里叶级数的表示周期序列离散傅里叶级数的表示10NnknNWnxkX分析式：101NKknNWkXNnx综合式：)/2(NjNeWkXnxDTFS 8.2 离散傅里叶级数的性质离散傅里叶级数的性质 线性线性11kXnxDTFS 2

3、121KXbkXanxbnxaDTFS 22kXnxDTFS 8.2 离散傅里叶级数的性质离散傅里叶级数的性质 序列移位序列移位kXWmnxkmNDFT lkXnxWDFTnlN 8.2 离散傅里叶级数的性质离散傅里叶级数的性质 对偶性对偶性 若若 则则 10NkknNWkXnxN10NnnkNWnXkxNkXnxDTFS kxNnXDTFS 10NnknNWnxkX101NKknNWkXNnx8.2 离散傅里叶级数的性质离散傅里叶级数的性质 周期卷积周期卷积213KXkXkX10213Nmmnxmxnx10123Nmmnxmxnx8.2 离散傅里叶级数的性质离散傅里叶级数的性质 周期卷积证明

4、周期卷积证明10213Nmmnxmxnx1010213) (NnNmknNmnxmxWkX10NnknNWnxkX周期卷积证明周期卷积证明1010213) (NnNmknNmnxmxWkXknNNnNmWmnxmxkX102101310213NmkmNkXWmxkXkXWmnxkmNDTFS 102121NmDTFSkXkXmnxmx212101kXkXkXWmxNmkmN周期卷积与非周期卷积的差别周期卷积与非周期卷积的差别 1. 在区间在区间 0,N-1 求和求和; 2. 区间区间 0,N-1 之外的之外的m值，周期重复。值，周期重复。10213Nmmnxmxnxmmnxmxnx213两个周

5、期序列的周期卷积过程两个周期序列的周期卷积过程 （1）画出）画出 和和 的图形；的图形； （2）将）将 翻转翻转,得到得到)0()(22mxmx)(2mx)(1mx)(2mx8.5 有限长序列的傅里叶表示有限长序列的傅里叶表示:离散傅里叶变换离散傅里叶变换 当当xn的长度小于或等于的长度小于或等于N时，可用如下公式表示时，可用如下公式表示rrNnxnx其它，010,Nnnxnx为模以Nnxnx)(NnxnxDFT的定义的定义 周期序列的傅立叶变换也是周期的，我们那将周期序列的傅立叶变换也是周期的，我们那将其中的一个周期称为离散傅立叶变换（其中的一个周期称为离散傅立叶变换（DFT）。）。 DFT

6、和和DFS的关系的关系其它，010,NkkXkX)()(NkXNkXkX为模以knNNnWnxkX10knNNkWkXNnx101 求和求和只涉只涉及到及到一个一个周期周期其它，010,10NkWnxkXknNNn其它，010,110NnWkXNnxknNNk DFT 分析式分析式 综合式综合式 记作记作 频域，在区间频域，在区间0，N-1外，外，Xk=0； 时域，在区间时域，在区间0，N-1外，外，xn=0；knNNnWnxkX10knNNkWkXNnx101kXnxDFT 例例:8.7矩形脉冲的矩形脉冲的DFT )(, 0,10, 5, 0, 511)5/2(240)5/2(其他keeek

7、XkjkjnnkjN108.6傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质一：线性一：线性二：序列的循环移位二：序列的循环移位三：对偶性三：对偶性四：对称性四：对称性五：循环卷积五：循环卷积8.6.1 线性线性 123123312x nxnxnax nbxnxnDFTXkaXkbXk两个有限长序列和线性组合如下：则的为： 12221112012220,01,01NknNnNknNnDFTXkx n WkNDFTXkxn WkN1122211222若xn的长度为N x n的长度为N 且NN则xn的N 点是：x n的N 点是： 11221212DFTDFTDFTx nXkxnXkax nbxnaXkbXk 若

8、且则00.20.40.60.811.21.41.600.511.5200.20.40.60.811.21.41.600.20.40.60.8100.20.40.60.811.21.41.6012300.20.40.60.811.21.41.6-5051000.20.40.60.811.21.41.6-202400.20.40.60.811.21.41.6-5051015 1x n 2xn+ 312xnx nxnDFTDFTDFT 1Xk 2Xk 312X k=DFTx nxn 1x nDFTDFTDFTDFTDFTDFT00.20.40.60.811.21.41.6-5051000.20.40

9、.60.811.21.41.6-202400.20.40.60.811.21.41.6-5051015 1Xk 2Xk+00.20.40.60.811.21.41.6-5051015 12DFTx nxn 12XkXk 1Xk 1Xk 2Xk 1Xk 12X k X k8.6.2 序列的循环移位序列的循环移位jnjdeXennxdjeXnx DFTx nX k 若： 1(2/)11DFTjk N mx nDFTx nXkeX k 令是一个有限长序列并且设其为： 11111( )( )( )( )DFTNNDFTNNx nxnX kXkx nx nxnXkXk 定义一个周期序列 (2/)112

10、( )/12 ( )/(2/)X X X X( )NNjk N mjkN mjkN mjk N mkekx nkekee的傅里叶级数的系数：注意：(2/)1X X jk N mkek1 () Nx nx nmxnm11 () ,01 0, Nx nxnmnNx n其它 DFTkmNx nmWX k 傅里叶级数的性质：序列的循环移位序列的循环移位(2/)() ,01XDFTjk N mNDFTxnmnNeK循环移位的性质：8.6.3 对偶性对偶性 ( ) X X( ) NNx nxnkk推导过程：构造周期序列： X X DFTDFTx nkNxknNxk DFT从而：由式Xn给出的对偶性，得 1

11、111111 ,01X 0, () ,01X 0, Nx nX nx nX nx nDFSX kNxkx nDFTNxkkNkNxkkNk如果定义周期序列，它的一个周期是有限长序列，则的系数是。因此的是其它等效为：其它 () ,01() DFTDFTNNDFTx nX kX nNxkkNNxkkN对于，对偶性可以表述为：若：则：序列就是Nx将变量反转且以 为模移位的情况DFT的对偶关系例题的对偶关系例题实有限长序列xnkxn对应DFT X 的实部kxn对应DFT X 的虚部kxn对应DFT X 的虚部x1xn对偶序列 n=Xn的实部x1xn对偶序列 n=Xn的虚部x1xn对偶序列 n=Xn的虚

12、部x1xn对偶序列 n的DFT周期序列共轭对称分量周期序列共轭对称分量)()(21)()(21)(*NNenNxnxnxnxnx周期序列共轭反对称分量周期序列共轭反对称分量 )()(21)()(21)(*NNonNxnxnxnxnx8.6.4 对称性对称性同样，有同样，有)()()()()()()(*nxnxnxnxnxnxnxooeeoe实部虚部虚部 x n*xn实部偶对称虚部奇对称-8-6-4-202468-2-1.5-1-0.500.511.5-8-6-4-202468-2-1.5-1-0.500.511.52-8-6-4-202468-2-1.5-1-0.500.511.5-8-6-4

13、-202468-2-1.5-1-0.500.511.52-8-6-4-202468-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-8-6-4-202468-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81黄色箭头表示原点e* xn+x -n /2x n+ +-8-6-4-202468-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-8-6-4-202468-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 x n*xno* xn-x -n /2x n- -实部奇对称虚部偶对称实部虚部虚部-8-6-4-202468-2-1.5-1-0

14、.500.511.5-8-6-4-202468-2-1.5-1-0.500.511.52-8-6-4-202468-2-1.5-1-0.500.511.5-8-6-4-202468-2-1.5-1-0.500.511.52黄色箭头表示原点e x no xn+-8-6-4-202468-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-8-6-4-202468-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-8-6-4-202468-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-8-6-4-202468-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20

15、.40.60.81-8-6-4-202468-2-1.5-1-0.500.511.5-8-6-4-202468-2-1.5-1-0.500.511.52oex n+x n-8-6-4-202468-2-1.5-1-0.500.511.5-8-6-4-202468-2-1.5-1-0.500.511.52-8-6-4-202468-2-1.5-1-0.500.511.5-8-6-4-202468-2-1.5-1-0.500.511.52oex n+x n x n实部虚部虚部两者相同两者相同周期共轭对称分量周期共轭对称分量 （实数时，称为周期偶分量）（实数时，称为周期偶分量） )()()(21)(

16、)()(*nRnNxnxnRnxnxNNNNeep由于由于)()()()()()()()()()(nRnxnRnxnRnxnxnRnxnxNoNeNoeN所以所以)()()(nxnxnxopep有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量)()()(21)()()(*nRnNxnxnRnxnxNNNNoop周期共轭反对称分量周期共轭反对称分量 （实数时，称为周期奇分量）（实数时，称为周期奇分量） 共轭特性共轭特性证明：证明： kXnxDFT kRkXnxNNDFT * 10)(NnnkNWnxkX 10*)(NnnkNWnxkX10*)()(NnnkNWnx

17、nxDFTkl10*)(NnnlNNWnxlX00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91实 部00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91虚 部00.511.52-3-2-101234实 部00.511.52-1-0.500.511.522.533.54虚 部 kx nX-2-1.5-1-0.50-3-2-101234实 部-2-1.5-1-0.50-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51虚 部00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91实 部00.511.52-1-0.9-0.

18、8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10虚 部 * kx nX-2-1.5-1-0.50-3-2-101234实 部-2-1.5-1-0.50-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51虚 部00.511.52-3-2-101234实 部00.511.52-1-0.500.511.522.533.54虚 部 kX-2-1.5-1-0.50-3-2-101234实 部-2-1.5-1-0.50-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51虚 部相同！ kX实部偶对称实部偶对称虚部奇对称虚部奇对称 *NNXkRk共轭特性共轭特性证明：证明： kXnxD

19、FT kXnxDFTN* 10)(NnnkNWnxkX 10*)(NnnkNWnxkX10*)(NnnkNNWnxnxDFTnl 10*NnklNNWlxkX00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91实 部00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91虚 部00.511.52-3-2-101234实 部00.511.52-1-0.500.511.522.533.54虚 部 kx nX00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91实 部00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.8

20、0.91虚 部-2-1.5-1-0.5000.10.20.30.40.50.60.70.80.91实 部-2-1.5-1-0.50-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10虚 部 *x nNxn *kDFTNxnX -2-1.5-1-0.5000.10.20.30.40.50.60.70.80.91实 部-2-1.5-1-0.50-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10虚 部00.511.52-3-2-101234实 部00.511.52-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51虚 部00.511.52-

21、3-2-101234实 部00.511.52-1-0.500.511.522.533.54虚 部00.511.52-3-2-101234实 部00.511.52-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51虚 部00.511.52-3-2-101234实 部00.511.52-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51虚 部相同！ kX *kX kX实部相同实部相同虚部关于虚部关于X X轴翻转轴翻转5.共轭对称特性之三共轭对称特性之三)()()()(21)(Re)()(*kXkRkNXkXnxDFTnxDFTkXepNNN，则如果证明：证明：)()()()(21)()

22、()(21)()(21)(Re)()(21)(Re*kXkRkNXkXkRkNXkXnxDFTnxDFTnxDFTnxnxnxepNNNNN圆周共轭对称分量。的该序列复数序列实部的DFTDFT *00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91实 部00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91虚 部00.511.52-3-2-101234实 部00.511.52-1-0.500.511.522.533.54虚 部( )( )x nX k00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91-2-1012-1.5-

23、1-0.50-2-1012-5-4-3-2-1012345 1Re kx nX00.511.52-3-2-101234实 部00.511.52-1-0.500.511.522.533.54虚 部-2-1012-1.5-1-0.50-2-1012-5-4-3-2-1012345 epkkXX-2-1012-1.5-1-0.50-2-1012-5-4-3-2-1012345 epkX-2-1012-1.5-1-0.50-2-1012-5-4-3-2-10123453jXe两者一样！6.共轭对称特性之四共轭对称特性之四)()()()(21)(Im)()(*kXkRkNXkXnxjDFTnxDFTkX

24、opNNN，则如果证明：证明：)()()()(21)()()(21)()(21)(Im)()(21)(Im*kXkRkNXkXkRkNXkXnxDFTnxDFTnxjDFTnxnxnxjopNNNNN圆周共轭反对称分量。的该序列的复数序列虚部乘以DFTDFTj*-10-50510-6-4-20246-10-50510-0.500.511.522.53Im x n00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91D FT Im * jx nDFTIm * jx n-2-1012-8-6-4-202468实 部-2-1012-2.5-2-1.5-1-0.50虚 部 X k

25、 =DFT x n-10-50510-6-4-20246-10-50510-0.500.511.522.53 opXk7.共轭对称特性之五、六共轭对称特性之五、六)()(Im)()(RenxDFTkXjnxDFTkXopep，同样，可证明：8.X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性)()()()1 (kXkXkXopep、)()()()()()()3()()()()()()()2(*kRkNXkRkXkXkXkRkNXkRkXkXkXNNopNNopopopNNepNNepepep、00.511.5200.10.20.30.40.50.

26、60.70.80.91实 部00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91虚 部 x nD FT 00.511.52-3-2-101234实 部00.511.52-1-0.500.511.522.533.54虚 部D FTx n（） Xk Re( )( )epX kDFT xn00.511.52-0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.9实 部00.511.52-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5虚 部00.511.52-3-2-101234实 部epep DFT xnxn虚部为虚部为0 000.511.52

27、00.10.20.30.40.50.60.70.80.91实 部00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91虚 部00.511.52-0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.9实 部00.511.52-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5虚 部epx nxn00.511.52-3-2-101234实 部00.511.52-1-0.500.511.522.533.54虚 部 X kDFT x n00.511.52-3-2-101234实 部epDFT xn 的实部为 XK的实部，虚部为0。即：epDFT xn虚

28、部为虚部为0 0Re( )( )epX kDFT xnx nDFT D FTx n（） Xk 00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91实 部00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91虚 部00.511.52-3-2-101234实 部00.511.52-1-0.500.511.522.533.54虚 部Im( )( )opjX kDFT xn-2-1012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81实 部-2-101200.10.20.30.40.50.60.70.80.91虚 部00.511.52-3-

29、2-101234实 部00.511.52-1-0.500.511.522.533.54虚 部 x n00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91实 部00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91虚 部实部为实部为0 0 op2 Xkxn -2-1012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81实 部-2-101200.10.20.30.40.50.60.70.80.91虚 部op xn00.511.52-3-2-101234实 部00.511.52-1-0.500.511.522.533.54虚 部00.51

30、1.52-3-2-101234实 部00.511.52-1-0.500.511.522.533.54虚 部实部为实部为0 0DFT x n（ ）opDFT xn 的虚部和的虚部和 的虚的虚部相同，实部为部相同，实部为0 0。即：。即：opDFT xnDFT x n（ ）Im( )( )opjX kDFT xn9.实、虚序列的对称特性实、虚序列的对称特性 当当x(n)为实序列时，根据特性之三，则为实序列时，根据特性之三，则 X(k)=Xep(k)又据又据Xep(k)的对称性：的对称性：)()()(*kRkNXkXNNepep 当当x(n)为纯虚序列时，根据特性之四，则为纯虚序列时，根据特性之四，

31、则 X(k)=Xop(k)又据又据Xop(k)的对称性：的对称性：)()()(*kRkXkXNNopop)()()(*kRkNXkXNN)()()(*kRkXkXNN8.6.5 循环卷积循环卷积13120 ,01Nmx nx m x nmnN13120 ( ) () ,01NNNmx nxmxnmnN13120 () ,01NNmx nx m xnmnN31 x nx n2 x n32 x nx n1 x n13210 () NNmx nx m xnm1 1 1 1 0 0 0 00 3 6 5 4 3 2 11 1 1 1 0 0 0 00 1 2 3 4 5 6 36 1 1 1 1 0 0 0 03 0 1 2 3 4 5 66 61 1 1 1 0 0 0 06 3 0 1 2 3 4 56 6 101 1 1 1 0 0 0 05 6