不定积分基本公式和运算法则直接积分法

1、·复习1 原函数的定义。2不定积分的定义。3 不定积分的性质。4不定积分的几何意义。·引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。·讲授新课第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法一基本积分公式由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：导数公式1 (kx) k2( 1 x 2 )x23( 1 )1xx24(ln x )1x5 ( x 1 ) x16xx(e )e7a x)ax(ln a8 (sinx) cos

2、x9 ( cosx) sinx1(tanx)sec2 xdx微分公式积分公式d(kx)kdxkdxkxC ( k0)d (1x2 )xdxxdx12C2x2d (1)12 dx11Cxxx2 dxxd(lnx )1 dx1 dxlnxCxxd( x 1) x dxx dxx 1C11(1)d(ex ) exdxexdxexCd( a x) a x dxa x dxa xClnaln ad(sinx)cosxdxcos xdxsin xCd(cosx)sinxdxsinxdxcosx Cd(tan x)sec2 xdx1dx2tanx Ccos2 xsec xdx012212( cot x) c

3、sc xd( cotx) csc xdxsin2dx csc xdx cot x Cx11(secx)secxtanxd(secx)secxtan xdxsecx tan xdxsecxC21( csc)xcscxcotxd( csc)xcscxcotxdxcscxcot xdxcscxC31(arctan x)12d(arctan x)12dx12dx arctan x C1 xx1 x141(arcsin x)1d(arcsin x)1dx1dx arcsin x C1 x 21 x 21x25以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。求

4、函数的不定积分的方法叫积分法。例 1.求下列不定积分 .（ 1）12 dx（ 2 ）xxdxx解：（ 1）12 dx x 2 dxx 21C1Cx21x325（ 2 ） x xdx x 2 dx2Cx5此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x 的形式，然后应用幂函数的积分公式求积分。二 不定积分的基本运算法则法则 1两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 f (x)g (x)dxf ( x)dxg (x)dx法则 1 对于有限多个函数的和也成立的法则 2被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即kf ( x)dxkf ( x)dx（ k0 ）例 2 求(2 x3

5、1 ex )dx解(2 x31 ex )dx =2x3dx +dx - exdx=1 x4xexC 。2注其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C 写在末尾，以后仿此。注检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例由于 (1 x4xexC ) = 2x31ex ，所以结果是正确的。2三直接积分法在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结

6、果，这样的积分方法叫直接积分法。例 3求下列不定积分 .（ 1 ）( x1)( x1)dx（ 2）x 21xx 21dx解：（1）首先把被积函数(x1)( x1) 化为和式，然后再逐项积分得x( x1 )( x1) dx( x xx11x) dxxxxdxxdx51 x 22 x 2x 2x5212dx1 dxxC 。注：（ 1 ）求函数的不定积分时积分常数C 不能丢掉，否则就会出现概念性的错误。（ 2 ）等式右端的每个不定积分都有一个积分常数，因为有限个任意常数的代数和仍是一个常数，所以只要在结果中写一个积分常数C 即可。（ 3 ）检验积分计算是否正确，只需对积分结果求导，看它是否等于被积函

7、数。若相等，积分结果是正确的，否则是错误的。（ 2 ）x21dxx2 1 2dx (12)dxx21x21x21dxdxx2arctan xC 。2 2x1上例的解题思路是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，是一种重要的解题方法，须掌握。x33x22 x 42x21dx ， 3x42 dx 。练习 1x2dx ， 22( x21)1 xx答案 11x23x 2ln|x| 4C， 2arctan x1C ，2xx31x3x arctanxC3例 4 求下列不定积分 .（ 1 ）tan 2 xdx（ 2 ） sin 2x dx2解：（ 1）tan2 xdx(sec2 x1)dxsec2 xdxd

8、xtan xx C（ 2 ）2x1cosx1x1Csindx2dx2sin x22上例的解题思路也是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，不过它实现化和是利用三角式的恒等变换。练习 1cot 2 xdx2cos2 x dx 3cos2xdx2cosx-sinx答案 1cot xxC21 (x sin x)C23 sin x - cos xC例 5 设 f (sin 2 x) cos2 x ，求 f (x) .解：由于f(sin2 )cos2x1sin 2x，x所以 f ( x)1x ，故知 f ( x)是 1x 的原函数，因此f ( x )( 1x )dxxx2C 2小结基本积分公式，不定积分

9、的性质，直接积分法。练习求下列不定积分.（1） (12sin x2 )dx （ 2 ）(12)dx ，xcos2 xsin2x（ 3 ）(t1) 2 dt ，（ 4 ） (2t 213)dt ，（ 5 ） (6 xx6 )dx ，t1t 2（ 6 ）x41，（ 7） csc(cscxcot) ，（8）cos2x，1x2 dxx dxsin2dxx（ 9 ） (cos tsin t )2 dt ，（ 10 ）(tan 2x1)，（ 11）xx2e x)dx。22dxe (31 x2答案 1x 2cosx2ln |x | C， 2tan x - cot xC ，31t 22tln | t | C ， 42arcsint 3arctanC，256x1x71x3xC ，ln 67C ， 637cot xcsc xC ， 8cot x2C ，9tcostC ， 10 tan x2xC