关于运算意义构建的思考

1、关于运算意义构建的思考小学数学中的运算主要有加、减、乘、除四种。目前，我们对加、减、乘、除这四种运算的定义基本上是这样的：加法，将两个数合并 成一个数的运算叫加法;减法，已知两个数的和与其中一个加数，求 另一个加数的运算叫减法;乘法，求几个相同加数和的简便运算;除 法，已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。从这些运算定义来看，加法是所有运算的源头。减法是依据加法 来定义的，是加法的逆运算;乘法也是依据加法来定义的，是加法的简便运算;除法是乘法的逆运算。乘法逆运算减法由此看来，所有的运算在本质上都是加法。那么，这样的定义合理吗？一、意义构建的两种基本样式我在小学数学概念教学的两种基

2、本样式一文中，对概念的意:义构建做过分类。类型一：概念本身能够在生活中找到原型。学生在生活中因为对原型的经历，已经具备该概念所包含的内涵和外延的理解。我们把这种概念的意义构建表述为：学生教师明改造型j明白学习白经验水平学科水平类型二：概念本身在生活中找不到原型。学生在生活中没有关于该概念的任何经历。我们把这种概念的意义构建表述为：学生教师空,输入型明白学习白按照这两种分类考察我们对运算意义的定义，应该属于第二种： 将学生视为空白定义运算意义。先定义一个加法，再以加法为标准， 定义减、乘、除，形成小学阶段的运算系统。这样的意义构建合理吗？二、力口、减、乘、除的运算原型力口、减、乘、除在生活中是各

3、有原型的。生活中的所有运算可分 为两类：分与合。这两种运算用政治语言来表达即统一与分裂，用物 理语言可以描述为聚与裂，用伦理语言可描述为结婚与离婚等，用数 学语言来表述就是加与减。由部分而为整的，我们称之为合，即加。由整而为部分的，我们 称之为分，即减。生活中，是先有分还是先有合？若先有合，那部分 从何而来？若先有分，那整体又从何而来？因此，分与合可以转化， 却不可从属。分与合是独立而又彼此相通的两种运算。合久必分，分 久必合。合就是合，分就是分。何为合，何为分？学生在生活中c经有了充分的认识，绝不会混 淆。那“比”是“分”,还是“合”呢？生活中有许多关于“比”的原型。就“境”而言，“比”应该

4、属 于分，即把一个比较物分为另一比较物与比余部分。讨论完加与减之后，再来讨论乘和除，乘、除有原型吗？生活中的运算分为分与合，这个世界是秩序井然的，是赋予生命 以安全感的，那这种秩序井然与安全感是怎么来的呢？因为世界的分 与合充满规律，这种规律性表现在运算上就是等合与等分。什么是等合？比如，今天合进来的一天有24小时，明天合进来 的一天也是24小时，不会突然变成2小时。这种等合是世界有序与 安全的原因。这种等合原型，生活中比比皆是，将此种原型定义为乘 法。那么等分呢？这种分法当然就更普遍了，我们将等分定义为除法。除法首先是独立于乘法而存在的一种运算，其次是可以与乘法相转化的一种运算。如果这一认识

5、成立，那小学数学的运算体系可以描述为:a加|（比） （比）等分三、为什么要讨论这个问题我们为什么要讨论加、减、乘、除的意义构建呢？我们先来分析 一个案例。小学一年级数学教师都有一种纠结，这个纠结来自以下类型的题0o这幅图用一个算式来表示，正确的算式是:但学生很喜欢用下列算式来表示：教师怎么跟学生讲也讲不明白，结果是，现在许多地方在改革的旗帜下变成这样的题目：让学生填出三个算式:5-2-35-3=22+ 3=5教师千万不要小看这种对题目题意的随意给学生数学学习带来 的伤害，造成这种困顿的原因来自我们对运算意义构建的不合理。现在，我们看这幅图。就图境而言，是在分还是在合？显然，所 有学生会认为这是

6、一个“分”境，飞走两只天鹅，飞走了，用减法。 但就量而言，是两个部分，即飞的部分与不飞的部分，这两部分在同 一幅画中，自然要用加法。而小学数学加法的运算意义正是基于量的判断而建立起来的，学 生正是用我们所教的意义来认识的。因此，我们教学中遇到问题，没 有真正认识问题，而是用一种和稀泥的方法掩盖过去，美其名曰“一 题多解”，是一件十分有后患的事情。四、意义，问题解决的审题抓手加强运算意义的教学，沟通数学问题与运算意义的联系，以运 算意义的理解提升学生分析和解决问题的能力。新课程下的解决问题教学，不再分类型教学，学生遇到一个应 用问题时，就不再是联系类型思考问题，而必须思考情境中的问题与 运算意义

7、的联系。这样，运算意义的理解对能否有效的分析数量关系 起着关键的作用。因此，加强运算意义的教学，注意多种运算模型的 渗透，注意沟通数学问题与运算意义的联系，成为学生能否有效解决 问题的关键。首先，要加强运算意义的教学，让学生充分经历探索运算意义 的过程，理解整数、小数、分数的加减乘除各种运算的意义。例如， 整数加法意义的学习，一年级上册的“认识加法” 一课，（北师大版, 可插入课本图片）教材通过四个问题引导学生经历加法意义的形成过 程，其中问题1 “一共有几支铅笔”和问题2 “一共有几只熊猫”通 过两组动态的连环画情境，帮助学生体会“合起来”的过程。抽象出 算式，从而初步理解加法的意义。问题3

8、 “认一认”是在前两个问题 直观体会加法表示“合起来”的基础上，体会两个情境虽然内容不同, 但是表示的是同一件事情，都可以用3+2=5来表示，从而抽象出加法 算式。再通过观察淘气写出的算式，来引导学生认识加号以及算式的 读法和写法。问题4 “摆一摆，算一算”，通过结合图示情境摆一摆 学具，列出相应的加法算式，进一步巩固加法意义的初步认识。在加强运算意义教学时，教师还要通过情境的多元化帮助学生 多积累一些运算的原型，也就是理解运算意义不是背出某句话，而是 积累一些使用某种运算的例子，为学生理解数量关系以及实现顺利化 归提供必要的原型支撑。例如，乘法的意义可以从“几个几”、“面积”、 “倍数”、“

9、折扌ii”等方面来理解，这些运算意义的原型有：1、六年级平均每班有38人，一共有6个班，六年级一共有多 少人？2、教室长8米，宽6米，教室的面积是多少？3、我们班喜欢踢球的有8人，喜欢跳绳的人数是喜欢踢球人数 的15倍，喜欢跳绳的有多少人？4、一套衣服的原价为400元，现在打6折出售，现价多少元？ 等。在学生积累了比较多的运算意义的原型后，就能较好的理解运算 模型的内在结构，如加法可以作为剩余、比较、往回数、减少或加法 逆运算等的模型；乘法可以作为相等的数的和、面积计算、倍数、组 合等的模型。除法可以作为平均分配、比率或乘法逆运算等的模型等。其次，在具体解决问题时，教师要注意沟通运算意义与解决问题 的联系，促进学生对数量关系的理解。如这样一个简单实际问题：1只小象搬2根木头，3只小象搬几 根木头呢？学生中出现了 3种算式：2x3=6； 2+2+2二6； 3x2=6.老师追问： 2x3-6, 3x2-6你是怎么想的？ 一学生回答：1头大象搬2根木头， 这里就是“3个2”，可以用2x3或3x2.这里通过老师的追问，引 导学生沟通乘法算式与乘法运算意义之间的联系。再如这样一个问题：苏宁家电商场有电视机840台，第一天卖出 160台，第二天卖出剩下台数的丄。第二天卖出多少