2022年长春市届高三第二次模拟考试数学试题含答案

1、长春市普通高中 20xx届高三质量检测（二）数学试卷（理科）一选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分. 在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1.已知集合0,1,2 ,|2 ,xaby yxa，则aba. 0,1,2b. 1,2c. 1,2,4d. 1,42.已知复数1zi，则下列命题中正确的是.2z；1zi； .z的虚部为i； z在复平面上对应的点位于第一象限. a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 3.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的函数是a. b. c. d. 4.圆2224xy关于直线33yx对称的圆的方程是a. 22314xyb. 22224

2、xyc. 2224xyd. 22134xy5.堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示.九章算术中有如下问题： “今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18 丈 6 尺，高为2 丈 5 尺，问它的体积是多少？”（注：一丈 =十尺），答案是a. 25500 立方尺b. 34300 立方尺c. 46500 立方尺d. 48100 立方尺6.在abc中， d 为三角形所在平面内一点，且1132adabac，则bcdabdssa. 16b. 13c. 12d.237.运行如图所示的程序框图，则输出结果为a. 1008 b. 1009 c.

3、2016 d. 2017 8.关于函数2sin314yx，下列叙述有误的是a. 其图象关于直线4x对称b. 其图像可由2sin14yx图象上所有点横坐标变为原来的13倍得到精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - -c. 其图像关于点11,012对称d.其值域为1,39.右图是民航部门统计的20xx 年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是a. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高b. 深圳和厦门的春运期间往返机票价格

4、同去年相比有所下降c. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州d. 平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门10.如图， 扇形 aob 的圆心角为120，点 p 在弦 ab 上， 且13apab，延长 op 交弧 ab 于点 c， 现向扇形aob 内投一点，则该点落在扇形aoc内的概率为a. 14b. 13c. 27d. 3811.双曲线c的渐近线方程为2 33yx，一个焦点为0,7f，点2,0a，点p为双曲线第一象限内的点，则当点p 的位置变化时，paf周长的最小值为a. 8 b. 10 c. 43 7d. 33 1712.已知定义域为r 的函数fx的图象经过点1

5、,1，且对xr,都有2fx，则不等式2log 2 313log31xxf的解集为a. ,00,1b. 0,c. 1,00,3d.,1二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.13.11exdxx. 14. 将 1,2,3,4正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10 行左数第 10 个数为. 15. 某班主任准备请20xx 年毕业生作报告，要从甲、乙等8 人中选 4人发言， 要求甲、 乙两人至少一人参加，若甲、 乙同时参加， 则他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有（种） .（用数字作答）16.已知四棱锥pabcd的底面为矩形，平面pbc平面abcd，pebc于点

6、e，1,6,3,2ecabbcpe，则四棱锥pabcd的外接球半径为. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - -三、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17. （本题满分12 分）已知数列na满足113,31.2nnaaann（1）若数列nb满足12nnba，求证：nb是等比数列；（2）若数列nc满足312log,nnnnca tccc，求证：1.2nn nt18. （本题满分12 分）为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研

7、， 力争有效的改良玉米品种，为农民提供技术支.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如右图（单位：厘米） ，设茎高大于或等于180 厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米 . （1）完成22列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？（2）按照分层抽样的方式，在上述样本中，从易倒伏和抗倒伏两组中抽取9 株玉米，设取出的易倒伏矮茎玉米株数为x，求x的分布列（概率用组合数算式表示） ；若将频率视为概率，从抗倒伏的玉米试验田中再随机抽取出50 株，求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差.19. （本题满分12 分）已知三棱锥abcd中，abc是等腰直角三角

8、形，且,2,acbc bcad平面,1.bcd ad（1）求证：平面abc平面acd；（2）若e为ab的中点，求二面角aced的余弦值 . 20. （本题满分12 分）已知抛物线2:20c ypx p与直线240 xy相切 . （1）求该抛物线的方程；（2）在x轴的正半轴上，是否存在某个确定的点m,过该点的动直线l与抛物线c 交于 a,b精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - -两点， 使得2211ambm为定值 .如果存在， 求出点 m 的坐标； 如果不存在， 请说明理由 . 21. （

9、本题满分12 分）已知函数211ln,.2fxxa xax ar（1）若fx存在极值点1，求a的值；（2）若fx存在两个不同的零点12,x x，求证：122.xx请考生在第22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分. 22. （本题满分10 分）选修 4-4 ：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy中，以 o 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 .曲线1c的极 坐 标 方 程 为223sin12， 曲 线2c的 参 数 方 程 为1cossinxtyt（t为 参数） ,0,.2（1）求曲线1c的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；（2）设曲线2c与曲线1c的交点为

10、a,b ，1,0p,当72papb时，求cos的值 . 23. （本题满分10 分）选修 4-5 ：不等式选讲（1）如果关于x的不等式15xxm的解集不是空集，求实数m的取值范围；（2）若,a b均为正数，求证：abbaa ba b. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - -长春市普通高中20xx 届高三质量监测（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分）1. b 2. c 3. d 4. d 5.c 6. b 7. a 8. c

11、9. d 10. a 11. b 12. a简答与提示：1.【命题意图】本题考查集合中元素的计算与交集的运算. 【试题解析】b题意可知，1,2,4b，1,2ab. 故选 b. 2.【命题意图】本题考查复数的模、共轭复数、虚部与复数与平面内点的对应关系. 【试题解析】c 由已知，正确，错误.故选 c. 3.【命题意图】本题考查函数的单调性与奇偶性知识. 【试题解析】 da 、b 选项为偶函数，排除，c 选项是奇函数，但在(0,)上不是单调递增函数 .故选 d. 4.【命题意图】本题考查直线与圆的相关知识. 【试题解析】 d圆22(2)4xy的圆心关于直线33yx对称的坐标为(1, 3)，从而所求

12、圆的方程为22(1)(3)4xy.故选 d. 5.【命题意图】本题主要考查空间几何体的体积. 【试题解析】c 由已知，堑堵的体积为120 故选 c. 6.【命题意图】本题主要考查利用平面向量确定点的位置进而解决平几问题. 【试题解析】b由已知，点d在ab边的中位线上，且为靠近bc边的三等分点处，从而有12abdabcss，13acdabcss，111(1)236bcdabcabcsss，有13bcdabdss.故选 b. 7.【命题意图】本题考查直到型循环结构程序框图运算. 【试题解析】a有已知，01234201520161008s.故选 a. 精品学习资料 可选择p

13、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - -8.【命题意图】本题考查三角函数的有关性质. 【试题解析】c由已知，该函数图象关于点11(,1)12对称 .故选 c. 9.【命题意图】本题主要考查考试对统计图表的识别. 【试题解析】d 由图可知d 错误 .故选 d. 10.【命题意图】本题主要考查几何概型. 【试题解析】a 设3oa，则3 3,3abap，由余弦定理可求得3op，有30aop，所以扇形aoc的面积为34，扇形aob的面积为3，从而所求概率为31434.故选 a. 11.【命题意图】本题考查双曲线定义的

14、相关知识. 【试题解析】b由已知双曲线方程为22143yx，设双曲线的上焦点为f，则| | 4pfpf，paf的周长为| | 4 | 3pfpaafpfpa，当p点在第一象限时，|pfpa的最小值为| 3af，故paf的周长的最小值为10.故选b. 12.【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用. 【试题解析】a令( )( )2f xf xx，有( )( )20fxfx，所以( )f x在定义域内单调递增，由1)1 (f，得(1)(1)23ff，因为22(log|31|)3log| 31|xxf等价于22(log|31|)2log| 31|3xxf，令2log |31|xt，有( )

15、23f tt，则有1t，即2log |31| 1x，从而|31|2x，解得1,x且0 x. 故选 a. 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13. 212e14. 9115. 108016. 2简答与提示：13.【命题意图】本题考查定积分的求解. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - -【试题解析】22211111()(ln)12222eexeexdxxx. 14.【命题意图】本题考查考生有关数列归纳的相关能力. 【试题解析】由三角形数组可推断出，第n行共有21n项

16、，且最后一项为2n，所以第 10 行共 19 项，最后一项为100，左数第10 个数是 91. 15.【命题意图】本题考查排列组合综合问题. 【试题解析】若甲乙同时参加，有2226222120c a a种，若甲乙有一人参与，有134264960c c a种，从而总共的发言顺序有1080种. 16.【命题意图】本题考查四棱锥的外接球问题. 【试题解析】如图，由已知，设三角形pbc外接圆圆心为1o，由正弦定理可求出三角形pbc外接圆半径为102，f为bc边中点，进而求出112o f，设四棱锥的外接球球心为o，外接球半径的平方为221()42bdo f，所以四棱锥外接球半径为2. 三、解答题17.

17、(本小题满分12 分) 【命题意图】本题考查等比数列及利用不等式性质证明与数列前n项和有关的不等式. 【 试 题 解 析 】 (1) 由 题 可 知*1113()()22nnnaan， 从 而 有13nnbb，11112ba，所以nb是以 1 为首项， 3 为公比的等比数列. （6 分）(2) 由(1)知13nnb，从而1132nna，11331log (3)log 312nnncn，有12(1)01212nnn ntcccn，所以(1)2nn nt. （12 分）18.(本小题满分12 分) 【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，oo1fepdcba精品

18、学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - -同时考查学生的数据处理能力. 【试题解析】解： (1) 根据统计数据做出22列联表如下：抗倒伏易倒伏合计矮茎15 4 19 高茎10 16 26 合计25 20 45 经计算7.2876.635k，因此可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关 . （4 分）(2) (i) 按照分层抽样的方式抽到的易倒伏玉米共4 株，则x的可能取值为0,1,2,3,4. 416420(0)cp xc，13416420(1)ccp xc，2241642

19、0(2)ccp xc，31416420(3)c cp xc，44420(4)cp xc即x的分布列为：x0 1 2 3 4 p416420cc13416420ccc22416420ccc31416420c cc44420cc(ii) 在抗倒伏的玉米样本中，高茎玉米有10 株，占25，即每次取出高茎玉米的概率均为25，设取出高茎玉米的株数为，则2(50,)5b，即250205enp，23(1)501255dnpp. （12 分）19.(本小题满分12 分 )【命题意图】 本题以三棱锥为载体，考查平面与平面垂直，求二面角问题等. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析

20、】 （1）证明：因为ad平面,bcd bc平面bcd，所以adbc，又因为,acbc acada，所以bc平面,acdbc平面abc，所以平面abc平面acd. （6 分）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - -（2）由已知可得3cd如图所示建立空间直角坐标系，由已知(0, 0,0)c，(0,2,0)b，( 3,0,1)a，( 3,0,0)d，31(,1,)22e. 有31(,1,)22ce，(3,0,1)ca，(3,0,0)cd，设平面ace的法向量( , , )nx y z，有300

21、,310022xzn can cexyz，令1x，得(1 ,0,3)n，设平面ced的法向量( , , )mx y z，有300,310022xm cdm cexyz，令1y，得(0,1, 2)m，二面角aced的余弦值|2 315cos5| |2 5n mnm.（12 分）20.(本小题满分12 分 ) 【命题意图】 本小题考查直线与抛物线的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】(1) 联立方程有，22402xyypx，有22 280ypyp，由于直线与抛物线相切，得28320,4ppp，所以28yx. （4 分）(2) 假设存在满足条件的点(,0)(0)m

22、 mm，直线:lxtym，有28xtymyx，2880ytym，设112(,) ,(,)axybxy，有12128,8yytyym，22222111|()(1)amxmyty，22222222|()(1)bmxmyty，222122222222222212121111114()()|(1)(1)(1)(1)4yytmambmtytyty ytm，当4m时，2211|ambm为定值，所以(4,0)m. （12 分）zyxabcde精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - -21.(本小题满分1

23、2 分 ) 【命题意图】 本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力. 【试题解析】(1) ( )1afxxax，因为( )f x存在极值点为1，所以(1)0f，即220,1aa，经检验符合题意，所以1a. （4 分）(2) ( )1(1)(1)(0)aafxxaxxxx当0a时，( )0fx恒成立，所以( )f x在(0,)上为增函数，不符合题意；当0a时，由( )0fx得xa，当xa时，( )0fx，所以( )f x为增函数，当0 xa时，( )0fx，所( )f x为减函数，所以当xa时，( )f x取得极小值( )f a

24、又因为( )f x存在两个不同零点12,x x，所以( )0f a，即21(1)ln02aa aaa整理得1ln12aa，作( )yf x关于直线xa的对称曲线( )(2)g xfax，令2( )( )( )(2)( )22lnaxh xg xf xfaxfxaxax222222( )220(2)()aah xax xxaa所以( )h x在(0, 2 )a上单调递增，不妨设12xax，则2()( )0h xh a，即2221()(2)()()g xfaxf xf x，又因为212(0, ),(0, ),axa xa且( )fx在(0, )a上为减函数，故212axx，即122xxa，又1ln12aa，易知1a成立，故122xx. （12 分）22.(