理论力学 8 点的合成运动

1、8 点的合成运动点的合成运动 点或刚体相对于一个定坐标系的运动，可称为简单运动简单运动。同一物体相对于不同参考系表现不同的运动。研究物体相对于不同参考系的运动，分析物体相对于不同参考系运动之间的关系，可称为合成合成运动运动。本章研究某一瞬时点的速度合成定理和加速度合成定理。 重点：重点：点的运动的合成与分解，点的速度合成定理及加速度合成定理及其应用。 难点：难点： 牵连速度、牵连加速度及科氏加速度的概念，以及动点、动坐标系的选择。8. .1 合成运动的基本概念合成运动的基本概念 物体的运动是相对的，对于不同的参考系，其运动规律是不同的，即物体的运动相对于不同的参考系是不同的。 如图8-1（a）

2、所示沿x轴作纯滚动的圆轮。取Oxy、 为参考系（其中C为轮心，C点作直线运动，运动过程中 Ox， Oy。即 相对 作平动）。对于 参考系而言，动点M的运动轨迹曲线为旋轮线；对于 参考系而言，动点M的运动轨迹曲线为圆周线。Cx y CxCyCx y OxyOxyCx y C M x y x y O 图 8-1（a） x y O x A M1 M2 M0 M y 图 8-1（b） 如图8-1（b）所示，直管OA以角速度 在水平面内绕 O 轴转动，管内有一小球 M 沿直管向外运动。对于固连于地面的参考系 ，小球 M 作平面曲线运动，对于固连于直管的参考系 ，小球 M作直线运动。 OxyOx y 显然

3、，在两种参考系中，动点 M 的速度和加速度也都不同。 图8-1（a）中M点沿旋轮线运动，但对于 参考系，点 M 作圆周运动， 参考系相对 作平动。点 M 的运动可看成由圆周运动和平动复合而成。Cx y Cx y Oxy 图8-1（b）中点 M 的运动可看成由直线运动与定轴转动复合而成。 这种相对于某一参考系的运动可由相对于其他参考系的几个运动复合而成的运动称为合成运合成运动动。 把固定于其他物体上相对于定系运动的参考系称为动坐标系动坐标系（Moving reference system），简称动动系系，以 表示。 习惯上把固定于地球表面的坐标系称为定参考定参考系系（Fixed referenc

4、e system），简称定系定系，以 表示。OxyzO x y z 两种坐标系：两种坐标系： 三种运动：三种运动：绝对运动绝对运动（Absolute motion）：动点相对定系的运动。相对运动相对运动（Relative motion）： 动点相对动系的运动。牵连运动牵连运动（Carrier motion）： 动系相对定系的运动。取小球 M 为动点，取 为定系，取 为动系，点 M（小球）的相对运动是沿直管的直线运动，绝对运动则是曲线运动，而牵连运动则是绕 O轴的转动。 绝对运动和相对运动都是指动点的运动，可能是直线运动或曲线运动。 牵连运动为固连动系的刚体的运动，它可能是平动、定轴转动或其他较

5、复杂的刚体运动。 OxyOx y 绝对运动和相对运动都是指动点的运动，可能是直线运动或曲线运动。 牵连运动为固连动系的刚体的运动，它可能是平动、定轴转动或其他较复杂的刚体运动。 OxyOx y 对于如图8-1（b）所示运动系统，取小球 M 为动点，取 为定系，取 为动系，点 M（小球）的相对运动是沿直管的直线运动，绝对运动则是曲线运动，而牵连运动则是绕 O轴的转动。 轨迹、速度、加速度：轨迹、速度、加速度： 动点在绝对运动中的轨迹、速度、加速度分别称为绝对轨迹绝对轨迹、绝对速度绝对速度（Absolute velocity）、绝绝对加速度对加速度（Absolute acceleration）。

6、avaa绝对速度和绝对加速度分别以 和 表示。 rvra 动点在相对运动中的轨迹、速度、加速度分别称为相对轨迹相对轨迹、相对速度相对速度（Relative velocity）、相相对加速度对加速度（Relative acceleration）。相对速度和相对加速度分别以 和 表示。ev 某瞬时动系上与动点重合的点称为牵连点牵连点。 牵连点相对于定系的速度和加速度分别称为牵连速度牵连速度（Carrier velocity，Transport velocity）和牵连加速度牵连加速度（Carrier acceleration，Transport acceleration）。在不同的瞬时有不同的牵连

7、点。 某些比较复杂的运动，通过恰当地选择动系，可以看成是比较简单的牵连运动和相对运动的合成，或者说可以把复杂的运动分解两个比较简单的运动。 ea牵连速度和牵连加速度分别以 和 表示。 设动点M在动系 中沿曲线 AB运动（即曲线AB是点 M 的相对轨迹），而动系本身又相对于定系 作某种运动，如图8-2所示。在瞬时t，动系连同相对轨迹AB在定系中的I位置，动点则在曲线 AB上的 M 点。经过时间间隔 ，动系运动到定系中的II位置，动点运动到点 。如果在动系上观察点M 的运动，则它沿曲线 AB 运动到点 M2。O x y z OxyztM A ve y O x y z B M y z x B A M

8、 O O z M1 I II va vr 图 8-2 M2 8. .2 速度合成定理速度合成定理MM M M 2MM2MM1M M1M M动点 M 的绝对轨迹为 ，绝对位移为 。动点M 的相对轨迹为 ，相对位移为 。 为牵连点的位移， 为牵连点的轨迹。11MMMMM M11000limlimlimtttMMM MMMttt 是点M在瞬时t的绝对速度，其方向沿 在M点的切线方向。 MM 0limatM Mt v1M M10limetM Mt v 是在瞬时t的牵连速度，其方向沿 在M点的切线方向。 是点 M 在瞬时t的相对速度，其方向沿 在M点的切线方向。2MM1200limlimrttM MMM

9、tt vreavvv（8-1） 即动点的绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和，这就是速度合成定理速度合成定理。若以某瞬时的牵连速度和相对速度的矢量为邻边作平行四边形，则其对角线就是该瞬时的绝对速度矢量，如图8-2所示。 应用式（8-1）求解时，应注意三点： 一是动点和动系不能选在同一刚体上，否则，动点对动系无相对运动； 二是动点对动系的相对运动轨迹要简单明了，如为直线运动或圆周运动； 三是在推导速度合成定理时，并未限制动系作什么样的运动，因此，该定理适用于牵连运动是任何运动的情况。 步骤： （1）恰当地选择动点和动系，如无特殊说明，定系一般固连于地面上； （2）分析三种运动，进而确定三种速度

10、的大小和方向，哪些是已知的，哪些是未知的； （3）按速度合成定理作出速度平行四边形，利用三角关系或矢量投影定理求解。 例 8-1 汽车以速度 v1 沿直线的道路行驶，雨滴以速度 v2 铅直下落，如图8-3（a）所示，试求雨滴相对于汽车的速度。 v1 图 8-3（a） 解： 因为雨滴相对运动的汽车有运动，所以本题为点的合成运动问题，可应用点的速度合成定理求解。 （1）动点、动系：雨滴为动点，动系固定在汽车上。 （2）分析三种运动：绝对运动为雨滴的铅直直线运动，牵连运动为水平直线平动。 M va ve vr v1 图 8-3（b） （3）分析三种速度：由速度合成定理 reavvvavevrv速 度

11、大 小方 向 作速度平行四边形，如图8-3（b）所示。求得相对速度为222221raevvvvv12tanvvv2铅直向下v1水平向左?？ 例8-2 如图8-4（a）所示机构中，曲柄OA可绕固定轴O转动，滑块用销钉 A与曲柄相连，并可在滑道DE中滑动。曲柄转动时通过滑块带动滑道连杆 BCDE 沿导槽运动。已知曲柄长 OA = r，角速度为 。试求当OA杆与水平线成角 j时BC杆的速度。 O jy x D B C E A 图 8-4（a） x y O 解：因为滑块A沿运动着的滑道 DE 运动，所以本题为点的合成运动问题，可应用点的速度合成定理求解。 （1）选择动点及动系：动点取为滑块 A，动系固

12、连在滑道连杆BCDE上。 （2）分析三种运动：绝对运动是以O为圆心，OA长为半径的圆周运动，相对运动是沿滑道DE的直线运动，牵连运动为水平平动。 （3）分析三种速度：由速度合成定理 reavvvavevrv速 度大 小方 向r垂直OA？水平方向?铅直方向 O jy x D B C E A v a v e v r 图 8-4（b） x y O 作速度平行四边形，如图8-4（b）所示。求得牵连速度的大小为sinsineavvrjj 牵连速度就是滑道DE及BC杆的速度， sinBCevvrj 例例 8-3 如图8-5（a）所示曲柄滑道机构，T字形杆BC部分处于水平位置，DE部分处于铅直位置并放在套筒

13、A中。已知曲柄OA以匀角速度 rad / s绕O轴转动，OA = r = 10 cm，试求当曲柄 OA 与水平线的夹角 、 、 、 时，T形杆的速度。 解：（1）选择动点及动系：选套筒A为动点，动系固连于T字形杆上。 20 0j306090 B C D A O E j图 8-5（a） （2）分析三种运动：绝对运动为圆周运动，相对运动为沿DE的直线运动，牵连运动为T字形杆的平动。 B C D A O E jva vr ve 图 8-5（b） （3）分析三种速度：reavvvavevrv速 度大 小方 向r垂直OA？水平方向?铅直方向 作速度平行四边形，如图8-5（b）所示。求得牵连速度的大小为s

14、insineavvrjj故T字形杆的速度为Tsinevvrj0jTsin200 sin00vrj30jTsin200 sin30100 cm/svrj60jTsin200 sin60173.2 cm/svrj90jTsin200 sin90200 cm/svrj 例例 8-4 曲柄OA以匀角速度 绕O轴转动，其上套有小环 M，而小环 M又在固定的大圆环上运动，大圆环的半径为 R，如图8-6（a）所示。试求当曲柄与水平线成的角 时，小环 M 的绝对速度和相对曲柄 OA 的相对速度。 解：（1）选择动点及动系：小环M为动点，动系固连在OA上。 （2）分析三种运动：绝对运动为圆周运动，相对运动为沿O

15、A的直线运动，牵连运动为定轴转动。tj O M R j图 8-6（a） C A O M R jjve vr va 图 8-6（b） C A avevrv速 度大 小方 向？垂直CMOM水平方向?沿OA 作速度平行四边形，如图8-6（b）所示。求得绝对速度和相对速度的大小分别为 （3）分析三种速度：由速度合成定理 reavvv2cos2coscoseavRvRjjjtan2costan2sin2sinrevvRRRtjjjj 例 8-5 如图8-7（a）所示，半径为R，偏心距为e的凸轮，以匀角速度绕O轴转动，并使滑槽内的直杆AB上下移动，设OAB在一条直线上。图示位置时，轮心C与O 轴在水平位置

16、，试求该瞬时时杆AB的速度。 解：（1）选择动点及动系：选杆AB上的A点为动点，动系固连在凸轮上。 （2）分析三种运动：绝对运动为直线运动，相对运动为圆周运动，牵连运动为定轴转动。 A C O B e 图 8-7 （a） avevrv速 度大 小方 向？铅垂OA垂直OA?垂直CA 作速度平行四边形，如图8-7(b)所示。 （3）分析三种速度：由速度合成定理 reavvvcotaeevv OAeOA求得绝对速度的大小为 A C O B e ve vr va 图 8-7（b） 解：（1）选择动点及动系：选轮心C为动点，动系固连在杆AB上。 （2）分析三种运动：绝对运动为圆周运动，相对运动为圆周运动

17、，牵连运动为平动。 讨论讨论：作速度矢量图，如图8-7（c）所示。杆AB的速度为eavv OCe O e C A B ve va vr 图 8-7（c） 例8-6 如图8-8（a）所示机构中，半径为r的半圆柱凸轮向左运动，推动杆OA绕 O 轴作定轴转动。在图示位置时，凸轮的速度为u ， 。试求该瞬时OA杆转动的角速度。 分析：本例中凸轮水平向左平动，通过凸轮与杆在B点的接触传递运动。且接触点（无论是凸轮上还是杆上）在不同的时刻对应着不同的点，即接触点随时间而变。不能 B点作为动点，否则相对运动轨迹难以确定。但运动过程中，杆 OA 始终与凸轮相切，轮心C至杆OA的距离始终不变，因此可选点C为动点

18、。 30j C O u y B r x A jx y 图 8-8（a） 解：（1）选择动点及动系：选点C为动点，动系固连于杆OA上。 （2）分析三种运动：绝对运动为水平向左的直线运动 ，相对运动为平行于杆OA的直线运动 ，牵连运动为绕O轴的定轴转动。 （3）分析三种速度：牵连速度为牵连点的速度，而本题中牵连点为动系平面上与C点重合的点，由于动系绕O轴转动，所以牵连速度垂直该点与转轴的连线，即垂直于OC。 avevrv速 度大 小方 向u水平向左 ？垂直OC?平行OA作速度平行四边形，如图8-8(b)所示。由速度合成定理 reavvv求得牵连速度的大小为 C O u y B r x A jx y

19、 va vr ve OA 图 8-8（b） 3tan303eavvuOA杆转动的角速度为 326eeOAvvuOCrr 在图8-9中，设 为定系， 为动系且作平动，M为动点。动点M在动系中的坐标为 、 、 ，动系单位矢量为 、 、 。动系平动， 、 、 的方向不变。OxyzO x y z xyz i j k i j k r z y i x j k O M z y x O r Or 图 8-9 8. .3 牵连运动是平动时点的加速度合成定理牵连运动是平动时点的加速度合成定理动点M的相对速度为ddddddddrxyzttttrvijk（8-2） 22222ddddddddddrr222xyzttt

20、ttvra =ijk动点M的相对加速度为（8-3） 动点M相对于O点的矢径为()OOxyz rrr = rijk求二阶导数，得 222222ddddddOatttrrra22222dddd()ddddO222xyzttttr=ijk 牵连运动是平动，动系上各点加速度相等，即牵连点的加速度与原点 的加速度相等 O22ddOOetraaaeraaa（8-4） 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理： 当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度和相对加速度的矢量和。 普遍的形式： nnnaaeerraaaaaa2naaava，2nrrrva2neeeva，（

21、8-5） 应用加速度合成定理解题的步骤，与应用速度合成定理解题时基本相同： （1）恰当地选择动点和动系； （2）分析三种运动； （3）分析三种速度； （4）分析三种加速度，并作出加速度矢量图； （5）应用矢量投影定理求解。 一般情况下，在进行加速度分析时先要分析进行速度分析。 步骤： 应用举例： 例8-7 如图8-10（a）所示半圆柱凸轮。凸轮在水平面内向右作减速运动。若已知凸轮在半径为 R。图示瞬时时，凸轮的速度为 u，加速度为 a。试求该瞬时导杆AB的加速度。 B A 30 o x u 图 8-10 (a) a R y O 解：（1）选择动点及动系：动点取为导杆AB上的A点，动系固连在凸轮

22、上。 （2）分析三种运动：绝对运动为沿AB的直线运动，相对运动为圆周运动，牵连运动为凸轮的平动。 （3）分析速度：由速度合成定理avevrv速 度大 小方 向u铅直方向 ？水平向右?垂直OA 作速度平行四边形，如图8-10(b)所示。求得相对速度的大小为 reavvv 30 o A v r v e v a 图 8-10 (b) 2sin30ervvu （4）分析加速度：由牵连运动是平动时的加速度合成定理naerraaaaaaeanrara2/rvR加速度大 小方 向铅直方向 水平向左 指向点O垂直OA?a? 作加速度矢量图，如图8-10（c）所示。 a a nra a e 30 o A x y

23、 30 o 图 8-10 (c) ra （5）应用矢量投影定理，向y轴投影，得 cos60cos30naeraaa Ruaaa/8 32 另外，还可向x轴投影求得，请读者自己求解。 例8-8 如图8-11（a）所示机构中，曲柄OA可绕固定轴O转动，滑块用销钉A与曲柄相连，并可在滑道DE中滑动。曲柄转动时通过滑块带动滑道连杆BCDE 沿导槽运动。已知曲柄长OA = 10 cm。当 时，曲柄的角速度为 ，角加速度 。试求图示位置时BC杆的加速度。 解：（1）选择动点及动系：动点取为滑块A，动系固连在滑道连杆BCDE上。 （2）分析三种运动：30j1 rad/s12rad/s O jB C E A

24、图 8-11（a） D 绝对运动是以O为圆心，OA长为半径的圆周运动 相对运动是沿滑道DE的直线运动，牵连运动为水平平动。 （3）分析加速度：由牵连运动是平动时的加速度合成定理naaeraaaanaaaaeara?加速度大 小方 向指向O点垂直OA水平铅直方向OA2OA?作加速度矢量图，如图8-11（b）所示。 O jnaaB C E A ae ar 图 8-11（b） D aa （5）应用矢量投影定理，向水平轴投影，得 cossinnaaeaaajj 213.66ea cm/s 牵连加速度就是BC杆的加速度，即213.66BCeaacm/s 设 的端点 A 的矢径为 ，则点 A 的速度为 设

25、动系 以角速度 绕定轴 z 转动，如图8-12所示。 牵连运动是定轴转动时，动系 坐标的单位矢量 、 、 的方向随时间在不断变化，是时间 t的函数。因此，先分析单位矢量对时间的导数。 O x y z i j k rA z y i x j k O A z y x O Or 图 8-12 e O x y z e kArddAaeAtrvr （8-6） 8. .4 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理AOrrkdd()ddOeOttrkrk ddOOeOtrvr ddetkk ddAaeAtrvr 同理可得 ddetii ddetjj （8-7） 无论动系作何

26、种运动，点的速度合成定理及其对时间的一阶导数都是成立 ddddddaertttvvv（8-8） ddaatvaddet?vddrt?v考虑 ddetvO x y z e如图8-13所示。当绕定轴 z 以角速度转动时，牵连速度为 r z y i x j k O M z y x O Or 图 8-13 e r e eevr ddddddeeetttvrr （8-9） 求导 ddddddeeetttvrr ddeet ddaertrvvvd()deeeertvrvv eeeervaddeeertvav （8-10） 考虑 ddrtv（8-11） 求导 ddddddddrxyzttttrvijk222

27、ddddddddr222xyzttttvijkddddddddddddxyzttttttijk+222ddddddr222xyztttijkaddetkk ddetii ddetjj ddddddddddddxyzttttttijkddd()()()dddeeexyztttijk dddd()()()ddddrreeexyzttttva +ijkdddd() =ddddrrererxyzttttva +ijka +v 提出e （8-12） （8-13） （8-14） =2aereraa +a +v = 2cerav 科氏加速度科氏加速度（Coriolis acceleration）。它等于动系

28、角速度矢与点的相对速度矢积的两倍。 =aercaa +a +a 牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理：当牵连运动为定轴转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。 +=+nnnaaeerrcaaaaaaa（8-15） （8-16） （8-17） 矢量 垂直于 和 ，指向按右手法则确定。如图8-14所示。= 2cerav ca大小：= 2sincerav方向：ervcaerv 为 与 两矢量间的最小夹角。 e vr ac 图 8-14 ca科氏加速度：科氏加速度： 例8-9 如图8-15（a）所示机构中，O1A 杆以匀角速度 作定轴转动运动。图示位置时 ， ，O1A 杆长为 L。试求