空间解析几何第四讲--平面及其方程

1、朱立永朱立永北京航空航天大学 数学与系统科学学院答疑时间：星期二下午19:0020:30 (收发作业） 星期四下午19:0020:30 答疑地点：J4-105公共邮箱：linear_密 码：beihang20151 向量及其线性运算2 向量的内积、外积、混合积3 曲面及其方程4 空间曲线及其方程5 平面及其方程 解析几何的主要内容解析几何的主要内容6 空间直线方程 前面内容小结前面内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积(数量):),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积(向量):k

2、jixayazaxbybzbba混合积:2. 向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba第五节一、平面的点法式方程平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角平面及其方程 zyxo0Mn一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程),(0000zyxM设一平面通过已知点且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM称式为平面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.,),(zyxM任取点),(000

3、zzyyxx法向量.量, ),(CBAn nMM000nMMMM0则有 故的为平面称n*kji例例1 1 求过三点,1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解: 取该平面 的法向量为),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程346231nn3121MMMM此平面的三点式方程三点式方程也可写成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情况一般情况 : 过三点)3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程为说明说明:*特别特

4、别, ,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程截距式方程. *), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax时,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程为 PozyxRQ分析:利用三点式 按第一行展开得 即0ax yzab0a0c用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.设平面为设平面为, 0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解设平面为设平面为, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面与已知平面平

5、行得由所求平面与已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解,61161cba 化简得化简得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入体积式代入体积式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程为所求平面方程为二、平面的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程此方程称为平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一组满足上述方程的数,000zyx则0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA显然方程与此点法式方程等价, )0(222CBA

6、*),(CBAn 的平面, 因此方程的图形是法向量为 方程方程.特殊情形特殊情形* 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0(iCBn

7、例例4 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.解解: 因平面通过 x 轴 ,0 DA故设所求平面方程为0zCyB代入已知点) 1,3,4(得BC3化简,得所求平面方程03 zy三、两平面的夹角三、两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn *2平面的位置关系：平面的位置关系：*21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),

8、(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n例例5 5 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 两平面相交，夹角两平面相交，夹角.601arccos )2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 两平面平行两平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行但不重合两平面

9、平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合. .因此有例例6 一平面通过两点垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 设所求平面的法向量为,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC约去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和则所求平面故, ),(CBAn方程为 n21MMn且,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法

10、向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得. 0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解设平面为设平面为, 0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知, 0 D0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解外一点,求),(0000zyxP0DzCyBxA例例9 设222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解: :设平面法向量为),(1111zyxP在平面上取一点是平面到平面的距离d .0P,则P0

11、到平面的距离为01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (点到平面的距离公式)空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影M 已知向量已知向量 r, ,OMr 的终点的终点 M在轴在轴u上的投影为上的投影为M , ,那那么向量么向量 M O 称为向量称为向量 r 在轴在轴u上的上的分向量分向量.设设 eOM , ,则数则数 称为向量称为向量 r在轴在轴u上的投影上的投影, ,记作记作rjuPr 或或ur)(. . uoMe即即三条坐标轴上的投影，三条坐标轴上的投影，在在就是就是、中的坐标中的坐标在直角坐标系在直角坐标系向量向量aaaaOxyzazyxajaajaajazzyyxxPr,Pr,Pr 或记作.)(,)(,)(zzyyxxaaaaaa 向量的投影性质：.(*),cos|Pr(cos|)()1(轴的夹角轴的夹角与与为向量为向量其中其中即即uaaajaauu (2) ()( ) (Pr()PrPr).uuuuuaaj abj aj b即内容小结内容小结1.平面平面基本方程:一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzz