第06章位移法09(1)

1、第六章第六章 位移法位移法2021-11-25扬州大学水利科学与工程学院2PABCDjAjAjAPjAjAADBjAjAA 如果已知A结点的转角jA，则原结构的三根杆件可看成三个单跨超静定梁。 原结构可以看成是三个单跨超静定梁受到外荷载和杆端位移jA共同作用。CjAjAA 以某些结点位移为基本未知量，求出结点位移后再计算结构内力位移法的基本思路。需要解决以下几个问题：1、以哪些结点位移为基本未知量？2、如何求单跨超静定梁在荷载及杆端位移作用下的内力？3、如何求结点位移？一、单跨超静定梁的基本型式jAjBDABABABMABMBAFQABFQBA杆端转角jA、jB以及垂直于杆轴线的杆端相对线位移

2、DAB均以使杆件作顺时针转动为正。杆端弯矩MAB、MBA以及杆端剪力FQAB、 FQAB也均以使杆件作顺时针转动为正。二、杆端内力与杆端位移的正负号ABABABAB三、形常数jA=1F1=11M1图F2=1lM2图ABlF1F2基本系jA=1D1CD2CjA002C2221211C212111FFFFEIlEIlEIl23;2211232211llA2CA1C; 1jj2216;2lEIFlEIF2ABAB64lEIFlEIMQ；lEI4lEI2M图26lEIFQ图26lEI单位杆端位移引起的杆端力，即劲度系数。简图弯矩图MABMBAFQABFQBA0000单位杆端位移引起的单跨超静定梁杆端力

3、jA=1ABAB4iAB2iliAB6liAB62AB12li2AB12liAB3iliAB3liAB32AB3li2AB3liABiABiAB1jA=1ABAB1jA=1ABliAB6liAB6liAB3称为线抗弯刚度。表中，lEIiAB四、载常数 由杆上荷载或变温引起的杆端力。Pl/2l/2EI1FP/2P/201111PF11FM11MPP/2P/2Pl/4Pl/4EIl11EIPlP83181PlFPMFMM11MPPl/8Pl/8Pl/8五、等截面直杆的转角位移方程jADABABqjBt1t2 当单跨超静定梁受到支座移动以及荷载等因素共同作用时，其杆端内力可根据叠加原理计算。FQBA

4、AB2ABBABAABQBAFQABAB2ABBABAABQABFBAABABBABAABBAFABABABBABAABAB12661266642624FlililiFFlililiFMliiiMMliiiMjjjjjjjj内力，称为固端力。下的杆端为荷载及温度改变作用、其中，FQBAFQABFBAFABFFMM等截面直杆的转角位移方程五、等截面直杆的转角位移方程FQBAAB2ABAABQBAFQABAB2ABAABQABBAFABABABAABAB3333033FliliFFliliFMMliiMjjjjADABABqt1t2qjAABt1t20QBAFQABQABFBAAABBAFABAA

5、BABFFFMiMMiMjjABCDDDDC CD结点位移包括结点角位移（结点转角）和结点线位移。一、基本未知量2、线位移未知量 独立独立的结点线位移。 1、角位移未知量 结构上可转动刚结点的角位移。（1）忽略轴力产生的轴向变形；（2）结点转角和杆件弦转角是微小的。杆件变形后两个端点距离保持不变两个假设：3、独立结点线位移的确定方法DD CDABCDDDDD1D2 (1)直接判断法 将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。 (2)铰接体系法140练习确定独立结点线位移数：位移法的基

6、本思路以某些结点位移为基本未知量，求出结点位移后再计算结构内力。8m4mii2iABCD3kN/mD2D21DABCBDC1DD2D21D3kN/m 原结构可以看成是三个单跨超静定梁受到外荷载和杆端位移共同作用。二、基本系8m4mii2iABCD3kN/mD2D21DABCD刚臂位移法基本结构通过增加与基本未知量相应的约束，将原结构改造而成的单跨超静定梁组合体。刚臂只限制转动、不限制移动的约束。位移法基本结构二、基本系ABCDD21D3kN/mF1F28m4mii2iABCD3kN/mD2D21D位移法基本体系位移法基本体系基本系与原结构的差别：附加约束！ 0021FF二、基本系三、典型方程D

7、2F2PD1F11F21F12F22ABCDD21D3kN/mF1F2F1P00222212112111PPFFFFFFFF3kN/m三、典型方程=1k21=1k12k22k11D1F11F21D2F12F22ii2i00222212112111PPFFFFFFFFDDDD0022221211212111PPFkkFkk三、典型方程ili5 . 161.5iili75. 033(2i)2i4i=1k21=1k12k22k21ii5 . 14604i6ik111.5ik12k2243i163ik11=10ik21= 1.5ik12= 1.5iik161522k11D1F11F21D2F12F22

8、ii2iDDDD0022221211212111PPFkkFkk01M2M三、典型方程F1PABCDF2P4kNm4kNmMPF2P040F1P6F1P=4kNmF2P=6kNDDDD0616155 . 1045 . 1102121iiiiDDii1580. 71737. 021叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图4.4213.625.691.4M(kNm)PMMMMDD2211ABCD3kN/mk11=10ik21= 1.5ik12= 1.5iik161522DDDD0022221211212111PPFkkFkk四、位移法的解题步骤1、确定基本未知量（D1、D2）与基本系（附加约束后的单跨超静定梁

9、组合体受原荷载和基本未知量位移作用）2、建立位移法典型方程3、作单位内力图与荷载内力图，求系数与自由项4、解典型方程5、叠加法作内力图DDDD0022221211212111PPFkkFkk0021FFPMMMMDD2211k11D 1+ k12D 2+ + k1nD n+F1P=0 k21D 1+ k22D 2 + + k2nD n+F2P=0 kn1D 1+ kn2D 2+ + knnD n+FnP=0 nnnnnnkkkkkkkkk.212222111211K具有具有n个独立结点位移的超静定结构，位移法典型方程：个独立结点位移的超静定结构，位移法典型方程：劲度劲度（刚度）（刚度）矩阵矩阵

10、主系数（ij）副系数（ij）FiP自由项kij劲度（刚度）系数j约束发生单位位移时在i约束产生的反力k11D 1+ k12D 2+ + k1nD n+F1P=0 k21D 1+ k22D 2 + + k2nD n+F2P=0 kn1D 1+ kn2D 2+ + knnD n+FnP=0 nnnnnnkkkkkkkkk.212222111211K具有具有n个独立结点位移的超静定结构，位移法典型方程：个独立结点位移的超静定结构，位移法典型方程：劲度劲度（刚度）（刚度）矩阵矩阵劲度(刚度)系数的特性：kii0； kij kji（反力互等定理）kij与荷载无关。例例1 1、用位移法作、用位移法作M图。

11、图。（1 1）基本未知量与基本系基本未知量与基本系4m4m5m4m2m q=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I04m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0123以结点以结点B、C的转角的转角D1、 D2和结点和结点D的水平线位移的水平线位移D3为为基本未知量，基本系如图基本未知量，基本系如图（2 2）典型方程）典型方程DDDDDDDDD000333323213123232221211313212111PPPFkkkFkkkFkkk（3 3）计算刚度系数、自由项）计算刚度系数、自由项计算线性刚度计算线性刚度i，设设EI0=1，21,43,1,

12、1CFBECDBCiiii1440IElEIiABABABi=1i=1i=1i=3/4i=1/23241.53k11=3+4+3=10k12=k21=2k31=?k22=4+3+2=9k32=?（3 3）计算刚度系数、自由项）计算刚度系数、自由项k111=1k21k31i=1i=1i=1i=3/4i=1/22=1k12k22k321M2M=k13=k231/21/29/89/8k33=(1/6)+(9/16)=35/48k31=k13= 9/8k32=k23= 1/2(1/12) 2052=41.7F1P=4041.7= 1.7F2P=41.7F3P=0i=1i=1i=1i=3/4i=1/2i

13、=1i=1i=1i=3/4i=1/2(1/8) 2042=40（3 3）计算刚度系数、自由项）计算刚度系数、自由项k33k23k13F2PF1PF3P3MPM3=1DDDDDDDDD04835218907 .41219207 . 189210321321321（4 4）解典型方程求结点位移：）解典型方程求结点位移：（5 5）叠加法作弯矩图）叠加法作弯矩图PMMMMDD2211DDD94. 194. 494. 0321ABCDFEM图（kNm）18.642.847.826.723.814.953.68.93.97位移法的校核：位移法的校核：结点及局部杆件的静结点及局部杆件的静力平衡条件的校核。力

14、平衡条件的校核。例例2：用位移法作：用位移法作M图图1EIl2llqEI2EI2EI1EIql对称结构受对称荷载作用位移法中利用对称性简化计算的方法：半结构法半结构法力法中利用对称性简化计算的方法：采用对称基本系采用成组的基本未知量采用半结构利用对称性简化计算！一、奇数跨一、奇数跨(1)(1)对称荷载对称荷载(2)(2)反对称荷载反对称荷载ABEl/2PABEl/2q1I1I2IPPABCDE二、偶数跨二、偶数跨(1)(1)对称荷载对称荷载qCqCPPI2IP(2)(2)反对称荷载反对称荷载例例2：用位移法作：用位移法作M图图1EIl2llqEI2EI2EI1EIqlq1EIllqEIEI2E

15、I半结构基本系01111DPFk11k2/12li2/6li211/18lik1EIllqEIEI2EIM16i/lq基本系8/31qlFPiql48/31DPMMMD11PF18/3qlq8/2qlMP01111DPFk211/18lik1EIllqEIEI2EIM16i/lq基本系11122111)8(2qlM 例例3：作：作M图，图， EI=常数常数k11D1+FR1C=0CMMMD11D1cck11ccli 3MCik811licFcR/31lc 8/31DFR1C由结果可见：支座移动引起的位移与由结果可见：支座移动引起的位移与EI大小无关，内力与大小无关，内力与EI大小有关大小有关2

16、i4i3iiM1D1=1基本系lic 4/3lic 8/3lic 8/15lic 2/3M例例4：作：作M图，图， EI=常数常数ik811ttttttttt tttltl01111DtRFkD1k112i4i3iiM1D1=1基本系例例4：作：作M图，图， EI=常数常数ik811tiFtR918/91tDFR1tttttttttt tttltltlli6Mttlli301111DtRFkD1基本系例例4：作：作M图，图， EI=常数常数tMMMD11由结果可见：温度变化引起的位移与由结果可见：温度变化引起的位移与EI大小无关，内力与大小无关，内力与EI大小有关大小有关tttttttD1k1

17、12i4i3iiM1D1=14/15 ti8/3 ti2/3 ti8/9 tiM基本系FR1ttlli6Mttlli3ik811tiFtR918/91tD01111DtRFk例例5：作：作M图，图，EI=常数常数, t1t2tRtRtRFFF111 2/ )(, 2/ )(21210tttttt1t2t1thFR1t2t2t1t1t同上例ik811FR1t的计算:0t0t0t0ttRF1tttttRF1 1t2t1t2tD1基本系例例5：作：作M图，图，EI=常数常数, t1t2tRtRtRFFF111 tMMMD112/ )(, 2/ )(21210ttttttFR1t2t2t1t1tFR1

18、t的计算:0t0t0t0ttRF1tttttRF1 019tiFtR同上例01111DtRFkt t htli/3t t htli/2ltlihlti33hlti/2hl til tlihl tiFtR 2331ABCDF1F28m4mii2iABCD3kN/mD2D21DD21D3kN/m位移法基本体系位移法基本体系0021FF一、位移法典型方程的实质含义DDDD0022221211212111PPFkkFkkDDDD0022221211212111PPFkkFkk3(2i)2i4i=1k21k11D1F21ii2i1MABCDili5 . 161.5iili75. 03=1k12k22D2

19、F12F222MABCDk11iM61BCiM41BAk1202BCMiM5 . 12BAF1PABCDF2P4kNm4kNmMP3kN/mF1P4PBAM0PBCM0PBCPBA22BC2BA11BC1BADDMMMMMM一、位移法典型方程的实质含义DDDD0022221211212111PPFkkFkk3(2i)2i4i=1k21k11D1F21ii2i1MABCDili5 . 161.5iili75. 03=1k12k22D2F12F222MABCDk11iM61BCiM41BAk1202BCMiM5 . 12BAF1PABCDF2P4kNm4kNmMP3kN/mF1P4PBAM0PBC

20、M 0PBC22BC11BCPBA22BA11BADDDDMMMMMM0BCBA MM一、位移法典型方程的实质含义DDDD0022221211212111PPFkkFkk3(2i)2i4i=1k21k11D1F21ii2i1MABCD2Mili5 . 161.5iili75. 03=1k12k22D2F12F22ABCDF1PABCDF2P4kNm4kNmMP3kN/mk21iFQ5 . 11BA01CDQFk22432BAiFQ1632CiFDQF2P6PBAQF0PCDQF0CDBAQQFF一、位移法典型方程的实质含义位移法典型方程的实质含义是位移法典型方程的实质含义是静力平衡方程静力平衡

21、方程0BCBA MM（1 1）确定基本未知量；）确定基本未知量；（3 3）整体分析）整体分析利用原结构的平衡条件建立位移法基利用原结构的平衡条件建立位移法基本方程本方程; ;（5 5）由杆件的内力与位移关系式求出各杆件内力。）由杆件的内力与位移关系式求出各杆件内力。二、转角挠度法的基本步骤（2 2）单元分析）单元分析利用转角挠度方程写出各杆件的内力利用转角挠度方程写出各杆件的内力与位移关系式；与位移关系式；（4 4）解方程求出基本未知量）解方程求出基本未知量; ;DDBMABFQABMBAFQBADB例例1. 1. 用转角挠度法分析图示刚架。用转角挠度法分析图示刚架。 解解 （1 1）基本未知

22、量）基本未知量B、D（2 2）单元分析）单元分析12434622DiiMBAB12434642DiiMBBA8m4mii2iABCD3kN/m675. 05 . 12412462DDiiqliiFBBQBAMBCDFQCDFQDCMDCBBCiM)2( 3D43iMDCBBCD243iFQCD例例1. 1. 用转角挠度法分析图示刚架。用转角挠度法分析图示刚架。 解解 （1 1）基本未知量）基本未知量B、D（2 2）单元分析）单元分析DDB8m4mii2iABCD3kN/mMBCMBA（3 3）位移法方程）位移法方程0BM0BCBAMM041510DiiB0 xFFQBA + FQCD =002

23、475. 36DiiBFQBAFQCD45 . 12DiiMBAB45 . 14DiiMBBABBCiM6DiMDC75. 0D243iFQCD675. 05 . 1DiiFBQBADDB8m4mii2iABCD3kN/m（4 4）解位移法方程）解位移法方程（4 4）解位移法方程）解位移法方程iiB58. 7737. 0D（5 5）弯矩图）弯矩图MAB= -13.896 kNmMBA= -4.422kNmMBC= 4.422kNmMDC= -5.685kNmFQBA= -1.42kNFQCD= -1.42kNABCD13.8964.4224.4225.685M图（kNm）45 . 12DiiM

24、BAB45 . 14DiiMBBABBCiM6DiMDC75. 0D243iFQCD675. 05 . 1DiiFBQBA02475. 36DiiB045 . 110DiiB力法力法 基本未知量：多余约束力基本未知量：多余约束力 基本结构：一般为静定结构。基本结构：一般为静定结构。 典型方程（协调条件）典型方程（协调条件） 作单位和外因内力图，由内力作单位和外因内力图，由内力图自乘、互乘求系数和自由项。图自乘、互乘求系数和自由项。 解方程求多余约束力解方程求多余约束力 叠加作内力图叠加作内力图 用变形条件进行校核用变形条件进行校核位移法位移法 基本未知量：结点独立位移基本未知量：结点独立位移

25、基本结构：单跨超静定梁组基本结构：单跨超静定梁组合体合体 典型方程（平衡条件）典型方程（平衡条件） 作单位和外因内力图，由内作单位和外因内力图，由内力图的结点、隔离体平衡求力图的结点、隔离体平衡求系数和自由项。系数和自由项。 解方程求独立结点位移解方程求独立结点位移 叠加作内力图叠加作内力图 用平衡条件进行校核用平衡条件进行校核0022221211212111PPFFFFDDDD0022221211212111PPkkkkFFll2/ l2/ lBCDEFqlqqlBCDEFqBCDEFqlqlEI=常数EA=联合法联合法是联合应用力法、位移法解题，一个计算简图用同是联合应用力法、位移法解题，一个计算简图用同一种方法。一种方法。BCDEFql2l2lBCDq 图(j1=1