数理统计方法：ch3 随机变量及其分布-1

1、下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 定义定义1 1 设设 随机试验的样本空间为随机试验的样本空间为 ，如果对于每一个结果，如果对于每一个结果( (样本点样本点) ) ，有一个实数，有一个实数 与之对应，这样就得到一个与之对应，这样就得到一个定义在定义在 上的实值函数上的实值函数 ，称为随机变量。随机变，称为随机变量。随机变量通常用量通常用X,Y,Z,X,Y,Z,或或 来表示。来表示。 XXX12,X X 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 下一张下一张 主主

2、页页 退退 出出 上一张上一张 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 n例例 设有10件药品，其中3件是次品，现从中任取4件，试求抽样药品中次品数X的概率分布律,n并求P(X1.5) 、P(0X2) 。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 用这两条性质用这两条性质判断是否是分布律判断是否是分布律 例例: 设随机变量设随机变量X的分布律为：的分布律为：.10, 2 , 1,10)( kakXP试求常数试求常数a. 11101apkk解：由设随机变量设随机变量X的分布律为：的分布律为：,3,2, 1,)32( kbkX

3、pk试确定常数试确定常数b.解：由分布律的性质，有解：由分布律的性质，有 11)32()(kkkbkXP1213232 bb21 b为常数。为常数。0,.,2 , 1 , 0,!)( kkakXPk例例: 设随机变量设随机变量X的分布律为：的分布律为：xkkekx 0!提示：提示：试求常数试求常数a.0001,!.kkkkkkpaaaekkae解解：由由得得， 。设设X X为一随机变量为一随机变量, , 为任意实数为任意实数, ,称称为为定义域为：定义域为：值域为：值域为：x)()(xXPxF xa函数函数F(a)的值等于的值等于X的取值落入区间的取值落入区间(-,a内的概率值。内的概率值。)

4、,( x1 , 0)( xF记为:X F(x) 3）)()()()()()2(aFbFaXPbXPbXaP )()()1(bFbXP )(1)(1)()3(bFbXPbXP )(xF)()(xXPxF ()( )( )P aXbF bF a()P aXb( )( )()F bF aP Xa()P aXb( )( )()()F bF aP XaP Xb()P aXb( )( )()F bF aP Xb ； 0 0 01 0 0 aFaXaFbFbXaaFaXaFbFbXaaFaFaXaFbFbXaPPPPPP)()(xXPxF 例例1：已知随机变量：已知随机变量X的分布律为的分布律为:)23()

5、23()1( : XPF解解),(),()2( xxF求求.23)(处的值处的值在在 xxF.),(并作图并作图xF(1)求求X的分布函数的分布函数(2)求求X的分布函数的分布函数43)1()0( XPXP0)()(0 xXPxFx时，时，当当)()(xXPxF )()(10 xXPxFx 时时，当当)()(21xXPxFx 时时，当当)()(2xXPxFx 时时，当当 2, 121, 4/310, 4/ 10, 0)(xxxxxF41) 0( XP43) 1() 0( XPXP1) 2() 1() 0( XPXPXP求求P(0.2X1.5)()(xXPxF 是右连续函数，即是右连续函数，即0

6、)(lim)( xFFx是一个单调不减函数是一个单调不减函数且且, 1)(0)2( xF)() 1 (xF)()3(xF1)(lim)( xFFx)()(lim0 xFxFxx )()(xXPxF 求求: (1) 常数常数A，B的值；的值； (2) P(0X1)例：设随机变量例：设随机变量X的分布函数为：的分布函数为：xBarctgxAxF,)( 1)(0)()1(FF由性质由性质解：解： 1)2(0)2( BABA 121BA)0()1()10()2(FFXP 41 0,10,0)()(xxxxxFC例例 :下列函数中可作为随机变量分布函数的是下列函数中可作为随机变量分布函数的是 ( )ar

7、ctgxxFBxxFA2143)()(11)()(212)()(arctgxxFD10)()(FA 说明：021)()(FB 12)()(FD ) 0()(lim)1)(, 0)()()(00FxFiiiFFiixFiCx单增为正确答案易证C连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量的取值充满一个区间，连续型随机变量的取值充满一个区间，不能象离散型的那样用分布律描述，不能象离散型的那样用分布律描述，连续型随机变量是用概率密度描述。连续型随机变量是用概率密度描述。连续型随机变量及其概率密度定义： 对于随机变量X的分布函数 若存在 非负的函数 使对于任意实数 有： ( ),f x()( )( )xP

8、 XxF xf t dt( ),F x, x( )f x其中 称为X的概率密度函数，简称概率密度概率密度。 则称X为连续型随机变量， 记为:X F(x)注: 随机变量X的概率密度函数和分布函数通 称为随机变量X的概率分布00()( )()( )( )xxF xxF xP xXxxf xF xlimlimxx( )f x 的性质：1) ( )0f x +2) ( )1f x dx2112211221 () ( ) ( )( )xxxx xxP xXxf t dtF xF x3) 对于任意的实数 ，4) ( ) ( )( )f xx F xf x在连续点 ，( )f x即在的连续点5）连续型随机变

9、量）连续型随机变量X取任一实数的概率值取任一实数的概率值为零为零.)(0)(:为任一实数即aaXP注意注意: 求连续型随机变量落在一个区间上的概求连续型随机变量落在一个区间上的概率值时，不必考虑区间端点的情况。即率值时，不必考虑区间端点的情况。即)()()(bXaPbXaPbXaP+2) ( )1f x dx 100( )00 xAexf xx 均匀分布 定义：X具有概率密度称X在区间(a,b)上服从均匀分布均匀分布，记为XU(a,b)0 ( ) 1 xaxaF xaxbbaxb1 ( , )( )0 xa bf xba其他 f x0bxa1b a Fx0bxa1()( )( )xP XxF xf t dt例例 已知连续型随机变量已知连续型随机变量X的分布函数为：的分布函数为：1, 110,0, 0)(2xxxxxF求求(1) P(0. 3 X a）n试求：