[教学]整体思想的解题策略

1、整体思想的解题策略人们在考虑问题时，通常把一个问题分成若干个简单的小问题，尽可能地分 散难点，然后再各个击破，分而治z。本文所要介绍的解题方法与上述习惯方法 恰恰相反。在解题时，细察命题的外形，把握问题的特征，展开联想，将各个局 部因索合而为一，创设整体或整体处理，从而达到问题的解决，此方法称为整体 思想方法。这种方法运用得当，常能化难为易，使解题思路出现豁然开朗的情景, 达到快捷、简便的解题目的。一、构造整体在解题中，注意到问题的特征、创设整体，从而使问题得到解决。例1：证明丄x?xdx岂二246in丁2 + 1证：设 m二丄 x- x-xl, n=-x-x-x-,显然 m<n2462

2、n357 in 4-1则 mn=(- x- x- x 1)(- x- x-x -)=1246 2n 3572 + 12 + 1vm2<mnm2< 故 m< / i2h + 172/1 + 1评注：本解法抓住m, n这两个整体，使问题得到解决。本题述可以用数 学归纳法证明，但显然较为繁琐。例 2：设三个方程 ax2+bx+c=o, bx24-cx+a=0, cx2+ax+b=0 it公共实数解，求实数a、b、c之间的关系。解：设三个方程的公共实数根为x0,则axo2+bx()+c=o bxo2+cx()+a=o cxo2+axo+b=o +(a+b+c)( x0+x()+1 )

3、=0t xo2+xo+1 =(xo+ -)+- >0, / a+b+c=024评注：本题欲求a、b、c关系，似乎难以下手，若能构造a+b+c这一整体， 使问题的解决豁然开朗。二、整体求解解题过程屮，视所求问题为一整体，根据条件的结构特征，合理变形，直接 得到问题的答案。例3：设冇四个数,其屮每三个数z和分别为22、20、17、25,求此四个数。解：设此四个数之和为x,则得方程(x22)+(x 20)+(x 17)+(x25)=x,解得 x=28四数依次为8、3、6、11评注：本题解法考虑到四数z和问题的整体，可使问题屮四个数变为只 是一个未知数，从而使问题得到有效的解决。木题若按通常解题

4、习惯，须分别设 四个数，然后列出四个方程所组成方程组，解题较繁。一 -4 sin a + cos a +1 皿 /丄.例4： 已矢口 2sin a cos a =1,求的们sina-coso+1解:设 + l 贝ij(ik)sina +(l+k)cosa =k1 sina cosa+l又 2sin a cos a =1 角乍得 sin a 二 u cos a = (kh3)3 + k3 + £由(二l )2+( n )2二 i 解得 k=0 或 k=23 + k 3 + a故原式的值为0或2评注：木解法利用"2 + 30 + 1丸这一整体进行求解,能简捷解决问题。sino

5、cosg+ 1本题若曲已知条件2sin a cos a =1及sin2 a +cos2 a =1联立解得sin a、cos ci的值，再代入求值，计算较为繁琐。例5、三棱锥s-abc的个侧面互相垂直，它们的面积分别曇60?,4亦,和3m2, 求它的体积。解如图，设s-abc的三侧棱长 分别为xm,ym,zm,体积为z, 则由题意得xy=6, yz=4, zx=32 2 2得(xyz)2=(24)2,则 v=丄 xyz=丄 x 24=4m3b6 6注 本题没用解方程组的方法，先求x,y,z,而将xyz视为一整体求值，故简捷而 巧妙。例6、球而内接圆台的高为h,球心到母线的距离为p,则球内接圆台的

6、侧而 积s=2 兀 ph一 -、分析与证明：如图，需求的 片、弋是s= ji (r +r)l，但r,r,l均未知,!下面寻找它们与 卩a：b为此作辅助线，将r,r,l,h,p'都集中到有联系的图形z中。丿 /(1) 作 dd丄 ab => dd =h'、(2) 作e0丄ad ne为ad的屮点(垂直于弦的半径平分弦)(3) 作 ee ±00 n ee =-2在 rt add a 和 rt aee 0 中da 丄 oedd ±eef =>zadd =zoeezadd , zoee为锐角丿r + r=> add aee 0=> =即oe a

7、dp i=> (r+r ) l=2ph 代入得s=2 n ph注 按常规解法，必须把r,r,l分别用p,h表示出來，但这样做相当困难，且几乎 是不可能的。此时我们便该调整思路，用整体思想，将(r+门1视为-整体来求 值，这样问题便巧妙的得到解答。三、整体换元在解题中，往往巧设某一整体为辅助元或未知元，或将某未知元整体用另一些未知元整体代换，寻求解题思路。例7：等差数列临、bn的前n项和分别为sn和tn，若竺二王tn 3n +1求购贏的值。解：5+知_| =2q“，b + b2n_, = 2bn迅=如+如丿_；(2“-1)側+如丿=$2”_,b" 2(勺+妇1)2 2 1)

8、74;+) t“lim竺"十bn2 7 1) _4一23(2/? -1) + 1 6n 2评注：本解法是根据等差数列的性质，m、n> p、qwn,且m+n二p+q时， 则am+an=ap+qq,再将其作为一个整体代入，灵活又简便。例 8、：已知 f (x) =x5+ax3+bx- 8,且 f (- 2) =10,求 f (2)解： 设 g (x) =f (x) +8=x"+ax'+bx注意到g (x) = -g (-x),即g (x)是奇函数，因此，g (2) =- g (-2)f (2) =g (2) -8=-g (-2) - 8=- f (-2) +8-

9、8=-26评注：本题将f(-2)看作一个整体,注意到g (x) =f (x) +8= x5+ax3+bx 是一个奇函数。使计算过程大大简化。将x5+ax3+bx看作整体而用g (x)代换， 过程简捷明了。如用一般思路则会一筹莫展，这是因为，其一，a,b未知,其二，要 解5次方程，而5次方程无法解.四、整体变形解题屮，将条件等式看成一个整体，根据题目特点进行适当变形，以助解题 进行。例 9：求函数 f(x)=3sin(x+20° )+sin(x+80° )的最大值解：f(x)=3sin(x+20° )+sin(x+20° )+60° 1 v3=3

10、sin(x+20° )+ sin(x+20° )+ cos(x+20° )2 2=|sin(x+20° )+cos(x+20° )= vb sin(x+20° +")(其中 4)=arc tan)因此f(x)的最犬值为血评注：此题若按角形式展开，就没冇思路了。本解法抓住x+80° =(x+20。)+60。这一整体，巧妙变形，使得问题得到解决。例10：已知z是虚数，z2+2z是实数，m arg(3-z)=求复数z。 4解：将z2+2z视为一个复数，利用z2+2 z e rz2+2z=z2+2z, wz-z)(z+z)

11、=2(z一 z)vz 是虚数 az-zo az+z=2故可设 z=l+yi(yer,且 yho)jr.arg(3-z>arg(2-yi)=故尸一2,于是 z=l-2i评注：本解法将z2+2z将为一个整体，然后利用复数为实数的充要条件是 z=z,从而得到问题的解决。可以发现，运用整体思维方法，分析复数问题常 能得到事半功倍z效。五、整体代入在问题解决过程屮，往往涉及到较多的几个变量，但我们不必分别求出各个 量的具体值，而是将它们的某些关系作为一个整体，达到顺利而乂简捷地解决问 题的目的。例11：三棱锥的三个侧面两两互相垂直，它们的侧面积分别是6cn?, 4cm2, 3cm2,求此三棱锥的体

12、积。解：设三条棱长分别为x、y、z,贝ij xy=6, xz=4, yz=3/. v= xyz= j(兀y)(应:)(yz) = v6x4x3 = v2 cm26 6 6评注：本解法着重抓住xy=6, xz=4, yz=3,而不是具体求出x、y、z的值, 从而达到简捷解决问题的口的。2 2例12：已知p是椭圆+= 一点，fr f°是焦点，zf】pf严30° ,251611-求4f,pf2的面积。解：易知 a=5,b=4,c=3在4f.pf中，由余弦定理可知|片耳| $二片+ |"2-2ipfjipfjcos300=(ip f.i+ipfj)2 -2ip f,iip

13、 fj-2ip f, iip f2 icos30°由椭圆定义可知 ipfj+ipf=10, ffuwlpf, iip f21=16 (73-1)因此，saf/pf7=|lpfliipf2l=8 ( v3-1)例 13、解不等式：4x2-10x-a/2x2-5% + 2 >0分析本题按一般的解法，移项，使不等式一边为有理项，一边为无理项，然后 两边同时平方，去无理项，问题将变得复杂，但将g -5x + 2视为一整体求解, 问题便得到简洁、有效的解答。解：令t=v2x2-5x4-2 ,则原不等式化为2r-2t-21>07解之得 t<-(舍)或 t>32即 j2兀2

14、5兀+ 2 >3 即 2x2-5x-7>07解之得x>-或x<-12例14、解庐程组x+y二2丫 xy-z2= 1分析 两个方程，求三个未知数，似不可求，但由于x+y=2,所以可令x=l+t,y=lt,并将其视为整体，用均值整体代换便可。解：令x=l+t, y=l-t (t为实数)(l-t)(l+t)-z2=l/.t2+z2=0t=0 且 z=0；原方程组的解为x=l§ y=il z=()六、整体思维解决问题过程中，需要将要解决问题看作一个整体，通过研究问题的整体形 式，整体结构，整体功能，以便达到解题目的。例15：双曲线过原点，实轴长为2,它的一个焦点f|(

15、4,0),求双曲线中心的 轨迹方程：解：设双曲线另一个焦点为f2，贝ijiof2l-iof1l=±2a=±2设双曲线中心为p(x,y),则另一个焦点f2(2x-4,2y) 7(2x-4)2 + (2y)2 -4 = ±2，化简得(x-2)2+y2=9 或(x-2)2=l评注：题设给定双曲线的一个焦点和一支上的一个特殊点，如果仅用这些条 件，按常规方法很难求得中心的轨迹方程。但若整体研究所给双曲线及两焦点与 屮心的位置关系，再利用原点在双曲线上，则解题思路豁然开朗。例16：椭圆存泊上有两点p、q,。是坐标原点，若。p、0q斜率之 积为o4(1)求证:iopi2+io

16、qi2为定值求pq的中点m的轨迹方程解:设p、q两点坐标分别为p(xi、yj, qg y2)tp、q分别在椭圆上,li kop koq=-|2 24y： = 16 - x； 故=16-兀；4儿儿=_“2% y164x2才亠么=1 ,164片儿_ 1 _ x x 4 x 得 16y 12y22= 162 16(x 12+x22) - x 12x22 代入得xi2+x22=16+得 yi2+y22=8 ( x2+x22)=4 iopi2+ioqi2= xi2+yr+ x22 +y22=20设 p q 中点为 m(x, y),则冇 xi+x2=2x y4-y2=2y +x2 得 4(y/ +y2+

17、2y】y2)=32 (x】+ x2?+2 x(x2) ：4(y)+y2)2=32 (x)+x2)2294/嗨32,即才+才故pq的中点m的轨迹方程为：+ - = 18 2评注：在处理曲线与直线的关系时，往往运用问题屮整体与部分关系，通过 整休代入，整体运算，整休消元，整体合并等方法，常常可以简化运算过程，提 高解题速度，并从屮感受到整体思维的和谐美。七、整体配凑运用数学的对称性，整体配凑，构造对称形式，使解题方便。例 17> 计算 sin210° +cos240° +sinlo° cos40°分析 本题可运用常规解法，先降幕，然后运用积化和差，和差化积求解，但